云南省临沧地区中学2025-2026学年高三上学期轮测（一）数学试题【含答案】

这是一份云南省临沧地区中学2025-2026学年高三上学期轮测（一）数学试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．的展开式中,含x2的项的系数为
A．4B．6C．10D．12
2．设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（ ）．
A．B．5C．D．8
3．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知的外接圆圆心为，且，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．某高校的教授为了完成一个课题，将4名研究生助理分配到3个实验室进行为期一周的实验来共同协助该教授完成该课题，要求每名研究生助理只去1个实验室进行实验，且每个实验室至少安排1名研究生助理，则不同的安排方法的种数为（ ）
A．72B．54C．48D．36
6．已知是公比不为1的等比数列的前n项和，则“成等差数列”是“对任意，，，成等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．在四面体中，，，，则它的外接球的表面积
A．B．C．D．
8．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知锐角三角形中，角的对边分别为，有，则的取值不可能是（ ）.
A．B．C．D．
10．食物盲盒是当下店家掀起的“外卖热”，现有编号依次为1，2，3的三个食物格子，其中1号格子装有2个汉堡和3个鸡腿，2号格子装有3个汉堡和2个鸡腿，3号格子中有5个汉堡.已知汉堡完全一样，鸡腿也完全一样.已知店员任意选择食物格子的概率是相同的，若店员在一份外卖中装入2个汉堡的记为事件A，装入2个鸡腿记为事件B，装入1个鸡腿，1个汉堡记为事件C，事件（，2，3）表示食物取自i号格子，下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线与它的右支交于、两点，与轴相交于点，的内切圆与边相切于点，设，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则；
B．记，则的面积；
C．若，过点且斜率为的直线与有2个交点，则；
D．若，则的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为.
三、填空题
12．已知等差数列的通项公式为，则等于 ．
13．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为2的等边三角形，则顶点到轴的距离是 .
14．已知e是自然对数的底数．若，使，则实数m的取值范围为 ．
四、解答题
15．2024年4月25日，第18届北京国际汽车展览会在中国国际展览中心开幕，本届展会以“新时代新汽车”为主题，在展览会上国内新能源车引得了国内外车友的关注.为了解人们的买车意向，在车展现场随机调查了40名男观众和40名女观众，已知男观众中有32人偏向燃油车，女观众中有16人偏向燃油车，剩余被调查的观众则偏向新能源车.
(1)根据已知条件，填写下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断男观众和女观众买车意向的偏向情况是否有差异；
(2)现按比例用分层随机抽样的方法从被调查的偏向燃油车的观众中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人，记表示这4人中女观众的人数，求的分布列和数学期望.
附：.
16．设函数．
（Ⅰ）求的最小正周期．
（Ⅱ）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值．
17．如下图，在中，，，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且；将沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥；

(1)求证：；
(2)若，二面角是直二面角，求二面角的正切值；
(3)当时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围．
18．已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：b²>3a;
（3）若， 这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围．
19．已知动点到定点的距离和到直线的距离的比是常数.
（1）求点的轨迹.
（2）若为轨迹与轴左侧的交点，直线交轨迹于两点不与重合，连接，并延长交直线于两点，且，问：直线是否经过定点？若是，请求出该定点；若不是，试说明理由
（3）在（2）的条件下，若直线斜率的取值范围是，求面积的取值范围
偏向燃油车
偏向新能源车
总计
男观众
女观众
总计
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
《云南省临沧地区中学2025-2026学年高三上学期轮测（一）数学试题》参考答案
1．C
【分析】将（1+x）4展开，进而求出(1+)(1+x)4的展开式中含x2的项的系数
【详解】(1+x)4=x0+x1+x2+x3+x4
展开式中含x2项的系数为C42+C43=10．故选C
【点睛】求两个因式之积的特定项的系数,可先展开二项式，或利用通项公式，分析得到特定项有几种情况，再分别求出对应项的系数，进而得解
2．A
【分析】由复数的几何意义知，再由复数的四则运算，即可求解．
【详解】因为复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，且，
所以，所以．
故选：A．
3．C
【分析】根据分式不等式的求解化简，再进行交集和补集运算即可．
【详解】令，所以，化简得，故有且，
解得，故，
所以，因为，
所以，故C正确．
故选：C
4．C
【分析】分析出为直角三角形，求出的值，结合投影向量的定义可求得结果.
【详解】如下图所示，因为，则为等边三角形，即，
因为，则为的中点，
所以，，故，故，
设在上的投影向量为，
故，所以，，
因此，在上的投影向量为.
故选：C.
5．D
【分析】根据分组分配及分步计算原理，先将4人分成3组，再分配到3个实验室可解.
【详解】将4名研究生助理分成3组，有种方法，再将3个组分配到3个实验室有种方法.
故选：D.
6．C
【分析】利用等差等比数列的性质及充分必要条件即可求解.
【详解】由题意知为等比数列，设其公比为，，
充分性：若成等差数列，则，即，得，
由，，，，
所以，
因为，所以，所以成等差数列，故充分性满足；
必要性：若成等差数列，即，
即，
化简得，则，
所以，即，所以成等差数列，故必要性满足；
综上，“成等差数列”是“对任意，，，成等差数列”的充要条件，故C正确.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握等比数列的求和公式及其变形，从而得解.
7．D
【分析】由勾股定理得出，得知为该三棱锥外接球的直径，再利用球体的表面积公式可计算出该外接球的表面积．
【详解】如下图所示：
，，，，
所以，，，
为该三棱锥的外接球球心，为球的直径，设其半径为，则，
因此，三棱锥外接球的表面积为，故选D．
【点睛】本题考查多面体的外接球，考查球体表面积的计算，解本题的关键在于找出外接球球心的位置，找出外接球的一条直径，考查逻辑推理能力，属于中等题．
8．B
【分析】构造函数 进而利用单调性即得.
【详解】，， 构造函数且
当时,此时;
当时,此时.
故当单调递减,当单调递增.
故 故
又 即
故
故选: B
9．ABD
【分析】结合正弦定理、两角和的正弦公式及二倍角公式化简可得或，进而结合为锐角三角形，讨论求解即可.
【详解】由，则，
则，
根据正弦定理得，，
则，所以或.
当时，，
因为为锐角三角形，
则，解得，
则；
当时，由，则，即，此时条件中的分母为0，表达式无意义，故舍去.
综上所述，的取值范围为.
故选：ABD
10．BD
【分析】根据条件概率即可求解AD，根据全概率公式即可求解BC.
【详解】对于A, ,故A错误，
对于B, ,故B正确，
对于C, ，故C错误，
对于D,由于,故，D正确，
故选：BD
11．AD
【分析】根据双曲线的定义和基本性质可判断选项A；根据双曲线焦点三角形面积公式可判断选项B；对于选项C，过某一定点的直线与双曲线有两个交点，则联立直线与双曲线方程，根据判别式求出k的取值范围；对于选项D，将三角形内切圆面积问题转化为内切圆的半径问题，再结合图形分析三角形内切圆半径与双曲线中线段之间的关系，从而得出两内切圆面积之和的最小值.
【详解】因为的内切圆与边相切于点，如图，，为另外两个切点，
由切线长定理可知，，，因为在轴上，所以，
所以
，
，，，
双曲线的方程为：，
若，则，所以，故A正确；
对于B，因为的面积，故B错误；
对于C，若，则，，，双曲线的方程为，
直线的方程为，联立，消得，
则，
解得且，故C错误；
对于D，若，则，，，双曲线的方程为，
如图，设两内切圆圆心分别为，，半径分别为，，设、、与圆分别相切于点，，，
由切线长定理得
，
而，两式相加得，所以是双曲线的右顶点，
轴，所以的横坐标为，
同理可求得的横坐标为，则，
设直线的倾斜角为，则，
在，中有
，，
设，所以，
显然，当，即，即取得最小值8，
记的内切圆面积为，的内切圆面积为，
故的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为，故D正确.
故选：BD.
12．25
【分析】因项数较少，依次写出，求和即可.
【详解】因，则
故答案为：25
13．
【分析】利用斜二测画法推导出原图形，根据边角关系求解.
【详解】如图①中，过作平行轴，交轴于点，
如图②，在平面直角坐标系中，在轴上取，
过点作平行轴，取，连接，则即原图形.
故为到轴距离，设则.
在①中过作垂直轴，且交轴于，
则，
，即，解得.
故答案为：.
14．
【分析】先讨论时，不等式成立；时，不等式变形为，构造函数，由单调性得到，参变分离后构造函数，
求出最大值即可求解.
【详解】当时，，显然成立，符合题意；
当时，由，，可得，即，，
令，，在上单增，又，故，
即，即，，即使成立，令，则，
当时，单增，当时，单减，故，故；
综上：.
故答案为：.
【点睛】本题关键点在于当时，将不等式变形为，构造函数，借助其单调性得到，再参变分离构造函数，求出其最大值，即可求解.
15．(1)列联表见详解，男观众和女观众买车意向的偏向情况有差异
(2)分布列见详解，
【分析】（1）根据题意完善列联表，求，并与临界值对比分析；
（2）求样本中男女生人数，结合超几何分布求分布列和期望.
【详解】（1）由题意可得列联表：
零假设：男观众和女观众买车意向的偏向情况没有差异，
则，
根据小概率值的独立性检验可知：零假设不成立，
所以可以认为男观众和女观众买车意向的偏向情况有差异.
（2）因为抽取的9人中有名男观众，名女观众，
可知的可能取值为0，1，2，3，则有：
，
，
所以的分布列为
的数学期望.
16．（Ⅰ）8；（Ⅱ）
【详解】解：（Ⅰ）=
==
故的最小正周期为T = =8
(Ⅱ)解法一：在的图象上任取一点，它关于的对称点 .
由题设条件，点在的图象上，从而
==
当时，，因此在区间上的最大值为 ;
解法二：因区间关于x = 1的对称区间为，且与的图象关于
x = 1对称，故在上的最大值为在上的最大值.
由（Ⅰ）知＝
当时，,因此在上的最大值为 .
17．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明线面垂直得出线线垂直；
（2）根据直二面角建立空间直角坐标系求二面角余弦进而求出正弦值计算正切值即可；
（3）先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用以及对勾函数单调性得出范围即可.
【详解】（1）因为，
所以，即平面，
平面，平面，
所以
（2）因为二面角是直二面角，
所以平面平面，平面平面，平面，平面，

以分别为轴建立空间直角坐标系，
设平面法向量为，
设平面法向量为
，
令，得，所以，
设二面角为，
.
，
（3）分别以反方向和方向分别为轴，过F做的垂线为z轴，
设，，显然，
，
，得出，则，则，
根据翻折后勾股定理得，
化简得，因为构成直角三角形，则，且，解得，
设平面的法向量为，
设直线PE与平面ABC所成角为，
，
则，
令，，令，则，且，
，
根据对勾函数在上单调递减，且恒大于0，
则函数在单调递增，则，即，
则，即正弦值的取值范围.
【点睛】方法点睛：先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用基本不等式得出范围即可.
18．（1），定义域为.（2）见解析（3）.
【详解】试题分析：（1）先求导函数的极值：，再代入原函数得，化简可得，根据极值存在条件可得；（2）由（1）得，构造函数，利用导数研究函数单调性，可得，即；（3）先求证的两个极值之和为零，利用根与系数关系代入化简即得，再研究导函数极值不小于，构造差函数，利用导数研究其单调性，在上单调递减．而，故可得的取值范围．
试题解析：解：（1）由，得.
当时，有极小值.
因为的极值点是的零点.
所以，又，故.
因为有极值，故有实根，从而，即.
时，，故在R上是增函数，没有极值；
时，有两个相异的实根，.
列表如下
故的极值点是.
从而，
因此，定义域为.
（2）由（1）知，.
设，则.
当时，，从而在上单调递增.
因为，所以，故，即.
因此.
（3）由（1）知，的极值点是，且，.
从而
记，所有极值之和为，
因为的极值为，所以，.
因为，于是在上单调递减.
因为，于是，故.因此a的取值范围为.
点睛:涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象的交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路．
19．（1）；（2）过定点，定点为；（3）.
【分析】（1）、由点到直线距离公式和两点间距离公式列出方程，化简即可求出点的轨迹；
（2）、分析可知直线的斜率存在，故设直线方程为，将与轨迹的方程联立，得到关于的一元二次方程根据韦达定理写出根与系数的关系，
结合题意求得两点坐标，计算、，由计算得到与的关系，验证即可得出直线经过的定点坐标；
（3）、结合（2）中条件写出表达式，根据的取值范围是即可求出面积的取值范围.
【详解】解：（1）、动点到定点的距离和到直线的距离的比是常数，化简得：，即点的轨迹为；
（2）、由已知得：直线的斜率存在，设，联立得：，
设，则由韦达定理得：，
因为,则直线，则直线，
延长线交直线于两点，，，则，，
由得，代入化简得：，解得或
当时，直线，直线经过直线,不成立.
当时，直线，检验满足，故经过定点；
（3）、由（2）得，
将，代入化简得：，
又，所以，即，故.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
C
C
D
C
D
B
ABD
BD
题号
11









答案
AD









偏向燃油车
偏向新能源车
总计
男观众
32
8
40
女观众
16
24
40
总计
48
32
80
0
1
2
3
x
+
0
–
0
+
极大值
极小值