云南省临沧市部分学校2025^2026学年高三上学期开学考试数学试题[有答案]

这是一份云南省临沧市部分学校2025^2026学年高三上学期开学考试数学试题[有答案]，共14页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2. 已知向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，，则（ ）
A. 10B. 8C. 6D. 4
4. 已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6. 当时，曲线与的交点个数为4个，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 为庆祝五四青年节，某校举行了师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠.如图，四个半径都是1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每个弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知抛物线：，过焦点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，为平面上一点，为的重心，则的面积的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数，互为共轭复数，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（ ）
A. B. 时，
C. 时，随着的增大而增大D. 时，随着的增大而减小
11. 如图，半径为1的动圆沿着圆外侧无滑动地滚动一周，圆上的点形成的外旋轮线，因其形状像心形又称心脏线．已知运动开始时点与点重合．以下说法正确的有（ ）．
A. 曲线上存在到原点的距离超过的点
B. 点在曲线上
C. 曲线与直线有且仅有一个交点
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 一组统计数据为84，79，80，82，77，83，86，75，则这组数据的75%分位数为______.
13. 已知数列满足，，则数列的通项公式为______．
14. 在如图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 __种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是 __．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设 .
（1）求的单调递增区间；
（2）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求周长的取值范围.
16. 强基计划某试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标x（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标y（考察逻辑推理、问题建模等能力）.随机抽取5名考生的测试结果如下表：
（1）若学科知识整合能力指标的平均值，
（ⅰ）求t的值；
（ii）求y关于x的经验回归方程，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标；
（2）现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立；
甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量X；
乙高校：第一门科目通过概率为，第二门科目通过概率为，第三门科目通过概率为，通过科目数记为随机变量Y；
若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校.
（附:经验回归方程中和的最小二乘估计分别为：）
17. 已知函数．
（1）若曲线在处的切线过点，求实数a的值；
（2）当时，证明：．
18. 如图，在四棱锥中，为矩形，且，，.
（1）求证：平面；
（2）若（N在S的左侧），设三棱锥体积为，四棱锥体积为，且.
①求点到平面的距离；
②求平面与平面所成夹角的正弦值.
19. 双曲线的一个顶点在直线上，且其离心率为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点在直线上，且过点恰好可作双曲线E的两条切线，设这两条切线的切点分别为和．
（i）设点的横坐标为，求的取值范围；
（ii）设直线和直线分别与直线交于点和点，证明：直线和直线交点在定直线上．
（附：双曲线以点为切点的切线方程为）
答案
1-8
【正确答案】A
【正确答案】C
【正确答案】B
【正确答案】A
【正确答案】B
【正确答案】B
【正确答案】B
【正确答案】C
9.【正确答案】ABC
10.【正确答案】ABC
11.【正确答案】BD
12.【正确答案】
13.【正确答案】
14.【正确答案】 ①. 24 ②. 112
15.（1）
，
由，
得，
的单调增区间为，
（2）因为，
可得，
由题意知A为锐角，则，
由正弦定理可得，
则，，
所以
，
因为，解得，
则，所以，则，
所以，
即周长的取值范围为 .
16.（1）（i）根据表格中的数据，可得，解得.
（ⅱ），，
所以.
故所求经验回归方程为，
当时，，
所以当学科知识整合能力指标为14时，创新思维能力指标的预测值为7.5；
（2）该考生通过甲高校的考试科目数为X，则，
则.
设该考生通过乙高校的考试科目数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以，
当时，此时，得，
当时，此时，又，得，
当时，此时，又，得，
所以，当时，该考生报考甲高校或乙高校都可以；
当时，该考生更应报考甲高校；
当时，该考生更应报考乙高校.
17.（1）函数的定义域为，，所以，
又，
所以在处的切线方程为，
将点代入得，解得．
（2）证明：，设，则，
因为，所以当时，，即单调递减；
当时，，即单调递增；
时，，即，
，，
所以当时，.
，，
所以存在唯一的，使得，即，
且当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以当时，函数在处取得极小值，即为最小值，
所以，
因为，所以，故，
则，得证．
18.（1）在中，，，，
所以，解得：，
所以，所以，
又，为平面内两条相交直线，
所以平面；
（2）（2）由（1）知，平面，，
所以平面，又在平面内，所以平面平面，
在平面内，所以，
在三角形中，，，，
所以，又，
所以，
又，
又，
所以，又，
所以，
取的中点， ，可知：，
因为平面平面，交线为，
又在平面内，
所以平面，如图建立空间直角坐标系
易得：,
所以，
设平面的法向量为，
则，
所以，
令，得，即，
又，
所以求点到平面的距离，
②，
设平面的法向量，
则，所以，
令，则，可得：，
设平面与平面所成夹角为，
所以，
所以，
即平面与平面所成夹角的正弦值为.
19.（1）直线方程中，令，则，
则直线与轴交于，所以．离心率，
所以，故．
所以双曲线的标准方程为．
（2）（i）经检验，当一条切线斜率不存在时，
若，显然另一条切线方程斜率存在，设切线方程为，
联立双曲线方程得，
则，
解得，而双曲线渐近线方程为，则此时不符合题意，
当时，此时只有一条切线，显然不合题意，
则两条切线斜率均存在，设切线斜率为，切线方程为，
与双曲线方程联立得：，
令．
整理得：，由于，所以且．
上式整理得：．
由题意，有两个相异实根，所以，
且．
整理得：，解得：．
综上所述，的取值范围是．
（ii）设．
直线和方程分别为和．
联立得点．
又点在直线上，代入整理得：．①
在直线方程中，令，则，得点．
，
故直线方程为：．
设直线与直线交点为，联立两直线方程：．
解得：．
设直线与直线交点为，
同理可得：．
由①式，作差的分子有
，
作差的分母有
.
则可得和表达式的分子分母分别相等．
故，两点重合，所以直线与的交点在定直线上．
11
21
31
40
12
22
33
42
13
22
33
43
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34
44
6
8
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5
6