山西省部分学校2025届高三下学期5月模拟联考数学试题（含答案及解析）

这是一份山西省部分学校2025届高三下学期5月模拟联考数学试题（含答案及解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合，，则（ ）
2. 已知，则（ ）
3. 已知，，则（ ）
4. 已知母线长为2的圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥的体积为（ ）
5. 已知向量，，均为单位向量，且，则（ ）
6. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
7. 已知函数在上单调递减，则正数的取值范围是（ ）
8. 已知函数的图象上两点，处的切线互相垂直，则的取值范围是（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（ ）
10. 已知抛物线，焦点为，过的直线交于点，，其中在第一象限，在第四象限，为坐标原点，连接交抛物线的准线于点，则下列说法正确的是（ ）
11. 已知函数，，，是和的图象的两个交点，则下列说法正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
12. 已知曲线表示双曲线，则的取值范围是________．
13. 新世纪中学校园有一排长条形区域用来栽种鲜花（如图所示），该区域被分为个部分（且），现有三种花，分别为牡丹、茉莉、玫瑰，分别在每个区域选择一种进行种植，要求相邻区域不能用同一种花，将总的栽种方案记作，则________．
14. 一边长为2的正方体，如图所示，则两个三棱锥，的公共部分的内切球的表面积为________．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 9 分，共 45 分)
15. 如图，在三棱柱中，所有的棱长均相等，是的中点，在上底面的投影为的重心．
(1)证明：；
(2)求平面与平面的夹角的正弦值．
16. 设的内角，，的对边分别为，，，且满足．
(1)证明：；
(2)已知，求取得最小值时的值．
17. 无人驾驶技术是汽车研发领域的一个重要方向．某学校技术俱乐部研发了一个感知路况障碍的小汽车模型，该模型通过三个传感器共同判断路段是否有路障．在对该模型进行测试中，该俱乐部同学寻找了80个不同的路段作为测试样本，数据如下表：
假设用频率估计概率，且三个传感器对路况的判断相互独立．
(1)从这80个路段中随机抽取一个路段，求传感器2对该路况判断正确的概率；
(2)从这80个路段中随机抽取一个无障碍的路段进行测试，设为传感器1和传感器2判断正确的总路段数，求的分布列和数学期望；
(3)现有一辆小汽车同时装载了以上3种传感器．在通过某路段时，只要3个传感器中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速．那么是否可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于？（结论不要求证明）
18. 折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸．

步骤1：设圆心是，在圆内不是圆心处取一点，标记为；
步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过点，此时圆周上与点重合的点标记为；
步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕，此时与折痕交于点；
步骤4：不断重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕和越来越多的交点．
现取半径为4的圆形纸片，定点到圆心的距离为2，按上述方法折纸．以线段的中点为原点，线段所在直线为轴，建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的标准方程；
(2)已知圆，为圆上的任意一点，过作曲线的两条切线，切点分别为，，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值．
19. 已知函数，从点作轴的垂线，交的图象于点，过点作曲线的切线交轴于点，再过点作轴的垂线，交的图象于点，重复这一过程，得到两个点列，，，点的坐标记作．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)证明：．(切线不等式)
山西省部分学校2025届高三下学期5月模拟联考数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、三角函数与解三角形、等式与不等式、复数、空间向量与立体几何、平面向量、函数与导数、平面解析几何、数列、计数原理与概率统计
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．1
A．
B．
C．
D．
A．0
B．
C．2
D．
A．
B．
C．4
D．7
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．是递增数列
B．在的所有前项和中，前五项和最小
C．在的所有前项积中，前五项积最小
D．在的所有前项积中，前四项积最大
A．的最小值是4
B．
C．直线平行于轴
D．的面积的最大值为
A．若函数，则在上单调递增，在上单调递减
B．实数的取值范围是
C．曲线与曲线始终有两条公切线
D．直线的斜率大于4
测试结果真实路况
传感器1
传感器2
传感器3
有障碍
无障碍
无法识别
有障碍
无障碍
无法识别
有障碍
无障碍
无法识别
无障碍
4
15
1
1
15
4
8
12
0
有障碍
40
10
10
45
5
10
45
10
5
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
4
适中
8
较难
4
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
交集的概念及运算；求含sinx(型)函数的值域和最值；解不含参数的一元二次不等式
2
0.85
共轭复数的概念及计算；复数的除法运算
3
0.85
二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
4
0.94
圆锥表面积的有关计算；锥体体积的有关计算
5
0.65
数量积的运算律；已知模求数量积
6
0.65
基本不等式求和的最小值；基本不等式“1”的妙用求最值
7
0.65
利用正弦型函数的单调性求参数
8
0.65
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；已知直线垂直求参数
二、多选题
9
0.65
判断数列的增减性；等差数列通项公式的基本量计算
10
0.4
抛物线中的三角形或四边形面积问题；与抛物线焦点弦有关的几何性质；由导数求函数的最值（不含参）；直线与抛物线交点相关问题
11
0.65
用导数判断或证明已知函数的单调性；由导数求函数的最值（不含参）；两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题；利用导数研究函数的零点
三、填空题
12
0.85
根据方程表示双曲线求参数的范围
13
0.85
分步乘法计数原理及简单应用；涂色问题
14
0.4
球的表面积的有关计算；多面体与球体内切外接问题
四、解答题
15
0.65
求二面角；线面垂直证明线线垂直；证明线面垂直；面面角的向量求法
16
0.65
由导数求函数的最值（不含参）；正弦定理边角互化的应用；用导数判断或证明已知函数的单调性；三角恒等变换的化简问题
17
0.4
计算古典概型问题的概率；写出简单离散型随机变量分布列；独立事件的乘法公式；求离散型随机变量的均值
18
0.4
轨迹问题——椭圆；椭圆中的定值问题；利用椭圆定义求方程
19
0.15
写出等比数列的通项公式；错位相减法求和；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；数列不等式恒成立问题
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
三角函数与解三角形
1,3,7,16
3
等式与不等式
1,6
4
复数
2
5
空间向量与立体几何
4,14,15
6
平面向量
5
7
函数与导数
8,10,11,16,19
8
平面解析几何
8,10,12,18
9
数列
9,19
10
计数原理与概率统计
13,17