【25年秋季】新人教版八年级数学上册专项讲练专题11.17 三角形几何模型-8字型（基础篇）

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如图：∠AOC、∠BOD为对顶角，由这样的两个三角形构成的图形称之为
“8字型三角形模型”
结论：（1）∠A+∠C=∠B+∠D，
（2）若∠A=∠D，则∠B=∠C.
【模型证明】
如图，线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，
求证：∠A+∠C=∠B+∠D.
证明：如图，在△AOC中，∠COB一个外角,
由外角的性质可得:∠COB=∠A+∠C，
同理:在BOD中，∠COB=∠B+∠D，
∴∠A+∠C=∠B+∠D，
∴当∠A=∠D时，

一、单选题
1．如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A＋∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D
2．如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝50°，则∠D的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
3．如图，AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝40°，则∠3的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
4．直线 ABCD，且AD⊥BC于点E，若∠ABE＝32°，则∠ADC的度数为（ ）
A．68°B．58°C．48°D．68°
5．如图，∠C＝88°＝∠D，AD与BE相交于点E，若∠DBC＝23°，则∠CAE的度数是（ ）
A．23°B．25°C．27°D．无法确定
6．如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠3＝∠4D．∠1＝∠5
7．如图，∠B+∠C+∠D+∠E―∠A等于（ ）
A．180°B．240°C．300°D．360°
8．如图，已知，那么的度数是（ ）
A．180°B．280°C．320°D．360°
9．一副三角板按如图所示的位置摆放，若，则∠1的度数是（ ）
A．65°B．70°C．75°D．80°
10．如图，ABCD，∠A=40°，∠D=55°，则∠1的度数为（ ）
A．5°B．40°C．55°D．95°
11．如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE．若∠A＝35°，∠B＝25°，∠1＝70°，则∠C的大小为（ ）
A．40°B．50°C．75°D．85°
二、填空题
12．如图，E为△ABC的BC边上一点，点D在BA的延长线上，DE交AC于点F，∠B＝46°，∠C＝30°，∠EFC＝70°，则∠D＝______．
13．如图，线段，垂足为点，线段分别交、于点，，连结，．则的度数为______．
14．如图，一副三角板按如图放置，则∠DOC的度数为______．
15．如图，BD⊥CF于点E，∠A＝38°，∠B＝30°，则∠C的度数是 ___．
16．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝___．
17．如图，AC和BD相交于点O，，，则的度数为_______．
18．如图，已知∠A＝27°，∠CBE＝90°，∠C＝30°，则∠D的度数为___．
19．一副三角板如图所示摆放，若，则的度数是______．
20．下图是某工人加工的一个机器零件（数据如图），经过测量不符合标准．标准要求是：，且、、保持不变为了达到标准，工人在保持不变情况下，应将图中____（填“增大”或“减小”）_____度．
21．如图，______°．
22．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_____．
三、解答题
23．如图所示，求的度数.
24．如图，已知∠A＝50°，∠D＝40°．
(1)求∠1度数；
(2)求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
25．如图∠A＝20°，∠B＝45°，∠C＝40°，求∠DFE的度数．
26．如图，，与交于点O，，，求的度数．
参考答案
1．D
【分析】
利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可．
解：∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，
∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，
∴∠2＞∠D，
故选项A，B，C正确，
故选D．
【点拨】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键．
2．B
【分析】
利用两个三角形的内角和都为180°，结合相等的角即可求解．
解：∵AB⊥BD，AC⊥CD，
∴∠B＝∠C＝90°，
又∵∠BEA＝∠CED，且∠BEA+∠B+∠A＝∠CED+∠C+∠D＝180°，
∴∠D＝∠A＝50°，
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形的内角和等于180°，熟记三角形的内角和公式是解题的关键．
3．C
【分析】
利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等，得出∠A和∠1相等，再利用三角形外角的性质即可求出答案．
解：∵AB∥CD，∠1＝30°，
∴∠A＝∠1＝30°，
又∠2＝40°，
∵∠3＝∠A+∠2＝70°，
故选：C．
【点拨】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，牢固掌握以上知识点是做出本题的关键．
4．B
【分析】
根据ABCD，可得∠ABE=∠BCD，再由直角三角形两锐角互余，可求出答案．
解：∵ABCD，且∠ABE＝32°，
∴∠ABE=∠BCD=32°；
∵AD⊥BC于点E，
∴∠CED=90°，
∴∠ECD＋∠EDC=90°，
∴∠ADC=58°，
故选：B．
【点拨】本题考查平行线的性质，垂直的定义，熟练运用性质转化角度关系是解题的关键．
5．A
【分析】
利用三角形的内角和180°和对顶角相等求解即可．
解：∵∠C+∠CEA+∠CAE=180°，∠D+∠DEB+∠DBC=180°，
又∠C=∠D，∠CEA=∠DEB，
∴∠CAE=∠DBE=23°．
故选：A．
【点拨】本题考查三角形的内角和定理、对顶角相等，熟练掌握三角形的内角和是180°是解答的关键．
6．A
【分析】
根据平行线的性质和对顶角的性质进行判断．
解：A、∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，本选项说法正确；
B、∵AD与AB不平行，
∴∠2≠∠3，本选项说法错误；
C、∵AD与CB不一定平行，
∴∠3≠∠4，本选项说法错误；
D、∵CD与CB不平行，
∴∠1≠∠5，本选项说法错误；
故选：A．
【点拨】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质和对顶角的意义与性质是解题关键．
7．A
【分析】
根据三角形的外角的性质，得∠B+∠C=∠CGE=180°-∠AGF，∠D+∠E=∠DFG=180°-∠AFG，两式相加再减去∠A，根据三角形的内角和是180°可求解．
解：∵∠B+∠C=∠CGE=180°-∠AGF，∠D+∠E=∠DFG=180°-∠AFG，
∴∠B+∠C+∠D+∠E-∠A=360°-（∠AGF+∠AFG+∠A），
又∵∠AGF+∠AFG+∠A=180°，
∴∠B+∠C+∠D+∠E-∠A=180°，
故选A．
【点拨】本题考查了三角形外角的性质、三角形内角和定理，熟练掌握三角形外角的性质以及三角形内角和等于180度是解题的关键．
8．C
【分析】
利用利用三角形外角定理：三角形的外角等于与它不相邻的内角和，进行计算即可．
解：如图所示，
∵ ，，
∴，
∵ ，，
∴，
∴．
故选：C．
【点拨】本题主要考查的是三角形的外角定理，找到对应的三角形是解题的关键．
9．C
【分析】
由平行线的性质可得∠2＝∠B＝45°，再由三角形的外角性质可得∠1＝∠2＋∠D即可求解．
解：如图所示：
∵BC∥DE，
∴∠2＝∠B＝45°，
∴∠1＝∠2＋∠D＝45°＋30°＝75°，故C正确．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，三角形的外角性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
10．D
【分析】
根据两条直线平行内错角相等，可得，再根据三角形的外角的性质即可求得的值．
解：∵，
∴，
∵，
而，
∴，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解答本题的关键是熟练掌握并运用以上两个知识点．
11．B
【分析】
根据三角形内角和定理可求出的大小，再根据三角形外角性质即可求出的大小．
解：∵，，
∴，
∴．
故选B．
【点拨】本题考查三角形内角和定理和三角形外角的性质．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
12．34°##34度
【分析】
根据题意先求∠DAC，再依据△ADF三角形内角和180°可得答案．
解：∵∠B=46°，∠C=30°，
∴∠DAC=∠B+∠C=76°，
∵∠EFC=70°，
∴∠AFD=70°，
∴∠D=180°-∠DAC-∠AFD=34°，
故答案为：34°．
【点拨】本题考查三角形内角和定理及三角形一个外角等于不相邻的两个内角的和，解题的关键是掌握三角形内角和定理．
13．270°##270度
【分析】
由题意易得，然后根据三角形内角和定理可进行求解．
解：∵，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
同理可得：，
∴，
故答案为270°．
【点拨】本题主要考查三角形内角和、垂直的定义及对顶角相等，熟练掌握三角形内角和、垂直的定义及对顶角相等是解题的关键．
14．
【分析】
根据题意得：∠ACB=30°，∠ACD=45°，∠D=90°，从而得到∠OCD=15°，再由再由直角三角形两锐角互余，即可求解．
解：根据题意得：∠ACB=30°，∠ACD=45°，∠D=90°，
∴∠OCD=∠ACD-∠ACB=15°，
∴∠DOC=90°-∠OCD=75°．
故答案为：75°
【点拨】本题主要考查了直角三角形的性质，根据题意得到∠ACB=30°，∠ACD=45°，∠D=90°是解题的关键．
15．22°
【分析】
根据三角形内角和求出∠ADB，再利用外角的性质即可求解．
解：∵∠A＝38°，∠B＝30°，
∴∠ADB=180°-∠A-∠B=112°，
∵BD⊥CF，
∴∠CED=90°，
∴∠C=∠ADB-∠CED=22°，
故答案为：22°．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是发现∠C和∠ADB的外角关系．
16．
【分析】
根据三角形的外角性质可得，，根据三角形内角和定理可得，进而即可求得答案．
解：如图，
，
故答案为：
【点拨】本题考查了三角形内角和定理和三角形的外角性质，掌握以上知识是解题的关键．
17．60°
【分析】
根据三角形的内角和定理，可得∠A+∠B=∠C+∠D，进而即可求解．
解：∵∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD=180°，∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D=20°+40°=60°，
故答案是：60°．
【点拨】本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°，是解题的关键．
18．
【分析】
根据外角的性质得到∠DFC＝∠A＋∠C＝27°＋30°＝57°，由对顶角的性质得到∠FBD＝∠CBE＝90°，根据三角形的内角和即可得到结论．
解：∵∠DFC＝∠A＋∠C＝27°＋30°＝57°，
∵∠FBD＝∠CBE＝90°，
∴∠D＝90°−∠DFB＝33°，
故答案为：33°．
【点拨】本题考查了三角形的内角和，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．
19．
【分析】
根据直角三角形的性质求出∠5，根据三角形的外角性质求出∠3，根据对顶角相等求出∠4，再根据三角形的外角性质计算，得到答案．
解：如图，
一副三角板如图所示摆放，
∠5 = 90°- 30°= 60°，
，
∠3 =∠1 - 45°= 35°，
∠4 =∠3 = 35°，
∠2 =∠4 +∠5 = 95°，
故答案为：95°．
【点拨】本题考查的是三角形的外角性质、直角三角形的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
20． 减小 15
【分析】
延长EF到H与CD交于H，先利用对顶角的性质和三角形内角和定理求出DCE=60°，然后根据三角形外角的性质得到∠DHE=∠E+∠DCE=100°，∠DFE=∠D+∠DHF，由此求解即可．
解：如图，延长EF到H与CD交于H，
∵∠DCE=∠ACB=180°-∠A-∠B，∠A=70°，∠B=50°，
∴∠DCE=60°，
∴∠DHE=∠E+∠DCE=100°，
∵∠DFE=∠D+∠DHF，
∴∠D=∠DFE-∠DHF=120°-100°=20°，
∴∠D从35°减小到20°，减小了15°，
故答案为：减小，15．
【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，对顶角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
21．180
【分析】
如图根据三角形的外角的性质，三角形内角和定理可知∠1＝∠B＋∠2，∠2＝∠D＋∠E，∠A＋∠1＋∠C＝180°，由此不难证明结论．
解：如图，
∵∠1＝∠B＋∠2，∠2＝∠D＋∠E，∠A＋∠1＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠D＋∠E＋∠C＝180°，
故答案为：180．
【点拨】本题考查三角形的外角的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
22．##180度
【分析】
利用三角形的外角的性质将五个角转化为三角形的三个角的和即可．
解：如图：
利用三角形的外角的性质得：
，，
所以，
故答案为：．
【点拨】本题考查了多边形的内角与外角及三角形的内角和与外角和的知识，解题的关键是能够正确的将几个角转化为三个角，难度不大．
23．.
【分析】
首先利用三角新的外角的性质，然后根据多边形的外角和定理即可求解．
解：∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，
又∵∠1+∠2+∠3=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
【点拨】本题考查了三角形的外角的性质以及多边形的外角和是360°，理解定理是关键．
24．(1)(2)
【分析】
（1）根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）设∠1的同旁内角为∠2，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
(1)∠1＝∠A+∠D＝90°；,
(2)设∠1的同旁内角为∠2，如图，
∵∠1＝∠A+∠D，∠2＝∠B+∠E，∠1+∠2+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
【点拨】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
25．105°
【分析】
先根据三角形的外角性质求出∠ADB，再根据三角形的外角性质计算即可．
解：∵∠ADB＝∠B+∠C，∠B＝45°，∠C＝40°，
∴∠ADB＝40°+45°＝85°，
∵∠DFE＝∠A+∠ADB，∠A＝20°，
∴∠DFE＝85°+20°＝105°．
【点拨】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
26．
【分析】
由AB与CD平行，利用两直线平行内错角相等求出的度数，在中，利用三角形内角和定理即可求出的度数．
解：∵，，
∴，
∵，
∴．
【点拨】此题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和定理是解本题的关键．