数学八年级上册（2024）16.3.2 完全平方公式课堂检测

这是一份数学八年级上册（2024）16.3.2 完全平方公式课堂检测，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：
1．多项式与的公因式是（ ）
A．B．C．D．
2．下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知下列多项式：①；②；③；④．其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（ ）
A．②③④B．①③④C．②④D．①②③
4．计算：1252-50×125+252=( )
A．100B．150C．10000D．22500
5．若a+b+1=0，则3a2+3b2+6ab的值是( )
A．1B．-1C．3D．-3
6．如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为a、，周长为20，面积为16，请计算的值为（ ）
A．96B．480C．320D．160
7．若x2＋（m﹣1）x＋1可以用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（ ）
A．﹣3B．1C．﹣3，1D．﹣1，3
二、填空题：
8．多项式x3+x2，x2+2x+1，x2-1的公因式是______ ．
9．在多项式：①x2+2xy-y2 ②- x2+2xy-y2 ③ x2+xy+y2 ④ 1+x+中，能用完全平方公式分解因式的是__________（填序号即可）
10．因式分解：__________．
11．分解因式：﹣8a3b+8a2b2﹣2ab3＝_____．
12．分解因式：_____．
13．若，则的值是____________．
14．计算的结果是___________．
三、解答题：
15．因式分解：
(1) (2) (3) (4)
16．已知，先因式分解，再求值：．
17．如图1、图2所示，其中．
(1)用含a、b的代数式表示它们阴影面积，则______，______；
(2)因式分解，并求出当，时式子的值．
能力提升篇
一、单选题：
1．已知a、b满足等式，x＝a2﹣6ab+9b2．y＝4a﹣12b﹣4，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＝yB．x＞yC．x＜yD．x≥y
2．不论x，y取何实数，代数式x2－4x＋y2－6y＋13总是（ ）
A．非负数B．正数C．负数D．非正数
3．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足，则此三角形是（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．无法确定
二、填空题：
4．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为_________．
5．已知为等腰三角形ABC，其中两边满足，，则的周长为_______________________
6．已知：，则的值为________．
三、解答题：
7．某老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维训练力度，他补充了一道这样的题：对多项式进行因式分解，有个学生解答过程如下，并得到了老师的夸奖：
解：设．
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
根据以上解答过程回答以下问题：
(1)第四步的结果继续因式分解得到结果为________；
(2)请你模仿以上方法对多项式进行因式分解．
8．阅读材料：
上面的方法称为多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．根据以上材料，解答下列问题：
(1)因式分解：；
(2)求多项式的最小值；
(3)已知、、是△ABC的三边长，且满足，求△ABC的周长．
14.3.3 运用完全平方公式因式分解
夯实基础篇
一、单选题：
1．多项式与的公因式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用平方差公式、完全平方公式对两个多项式进行因式分解，再根据公因式的定义即可得．
【详解】解：，
，
则多项式与的公因式是，
故选：B．
【点睛】本题考查了利用公式法进行因式分解、公因式，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
2．下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据提取公因式法和公式法进行因式分解，逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项错误，不符合题意；
D、，则此项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题关键．
3．已知下列多项式：①；②；③；④．其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（ ）
A．②③④B．①③④C．②④D．①②③
【答案】C
【分析】根据完全平方公式的结构，逐个分析判断即可求解．
【详解】解：①不能用完全平方公式进行因式分解；
②，能用完全平方公式进行因式分解；
③不能用完全平方公式进行因式分解；
④，能用完全平方公式进行因式分解；
因此能用完全平方公式进行因式分解的有②④．
故选：C．
【点睛】本题考查用完全平方公式进行因式分解，掌握完全平方公式是解题的关键．
4．计算：1252-50×125+252=( )
A．100B．150C．10000D．22500
【答案】C
【详解】试题分析：原式＝1252﹣2×25×125＋252＝(125－25)2＝1002＝10000．
故选C．
点睛：本题考查了完全平方公式的应用，熟记完全平方公式的特点是解决此题的关键．
5．若a+b+1=0，则3a2+3b2+6ab的值是( )
A．1B．-1C．3D．-3
【答案】C
【分析】对3a2+3b2+6ab利用完全平方的方法进行因式分解,将a+b=-1代入即可求值.
【详解】解：∵3a2+3b2+6ab=3（a+b）2,
∵a+b+1=0，即a+b=-1，
∴原式=3×（-1）2=3,
故选C.
【点睛】本题考查了用完全平方的方法化简求值,属于简单题,熟悉整体代入的思想,用完全平方的方法因式分解是解题关键.
6．如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为a、，周长为20，面积为16，请计算的值为（ ）
A．96B．480C．320D．160
【答案】A
【分析】根据长方形的周长和面积求出a+b和ab的值，根据完全平方公式的变形得到a-b的值，对多项式进行因式分解，整体代入求值即可．
【详解】解：∵长方形的边长为A、b（a＞b），周长为20，面积为16，
∴2（a+b）=20，ab=16，
∴a+b=10，
∴（a-b）2=（a+b）2-4ab=102-4×16=100-64=36，
∵a＞b，
∴a-b=6，
∴原式=ab（a-b）=16×6=96．
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解-提公因式法，掌握（a-b）2=（a+b）2-4ab是解题的关键．
7．若x2＋（m﹣1）x＋1可以用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（ ）
A．﹣3B．1C．﹣3，1D．﹣1，3
【答案】D
【分析】利用完全平方公式的运算判断即可．
【详解】∵ x2＋（m﹣1）x＋1可以用完全平方公式进行因式分解，
∴ m﹣1＝±2，
解得：m＝﹣1或m＝3．
故选：D．
【点睛】此题考查使用完全平方公式的条件，属于基础题．
二、填空题：
8．多项式x3+x2，x2+2x+1，x2-1的公因式是______ ．
【答案】
【分析】把第一个多项式用提取公因式的方法因式分解，把第二个多项式用完全平方和公式进行因式分解，把第三个多项式用平方差的公式进行因式分解，然后找到其中相同的因式即为公因式.
【详解】


由分解的结果可知，公因式为
故答案为
【点睛】本题考查了因式分解的直接提公因式法和公式法，涉及到的因式分解的公式有平方差公式和完全平方和公式.
9．在多项式：①x2+2xy-y2 ②- x2+2xy-y2 ③ x2+xy+y2 ④ 1+x+中，能用完全平方公式分解因式的是__________（填序号即可）
【答案】②④
【分析】能用完全平方公式分解因式的多项式必须是完全平方式，即符合a2±2ab+b2结构，由此对各项判定后即可解答．
【详解】①所给出的多项式不符合完全平方式，故不能用完全平方公式分解因式．
②- x2+2xy-y2=-（ x2-2xy+y2）=-（x-y）2．
③所给出的多项式不是完全平方式，故不能用完全平方公式分解因式．
④1-x+=（1- ）2．
∴②④能用完全平方公式分解因式．
故答案为②④．
【点睛】本题考查了用完全平方公式法进行因式分解的能力，应用公式的前提是准确认清公式的结构．
10．因式分解：__________．
【答案】（m+3）2##（3+m）2
【分析】先计算第一部分的乘法运算，再运用公式法分解因式即可．
【详解】解：
＝m2+6m+9
＝（m+3）2．
故答案为：（m+3）2．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用完全平方公式是解题关键．
11．分解因式：﹣8a3b+8a2b2﹣2ab3＝_____．
【答案】﹣2ab（2a﹣b）2
【分析】先提取公因式-2ab，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【详解】解：原式＝﹣2ab（4a2﹣4ab+b2）
＝﹣2ab（2a﹣b）2，
故答案为：﹣2ab（2a﹣b）2．
【点睛】本题考查提公因式法，公式法分解因式，解题的关键在于提取公因式后要继续进行二次分解因式．
12．分解因式：_____．
【答案】
【分析】把（x-y）看成整体，利用完全平方公式分解即可．
【详解】
=
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了公式法因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．
13．若，则的值是____________．
【答案】18
【分析】先因式分解，再整体代入计算即可．
【详解】
故答案为：18
【点睛】本题考查因式分解的应用，先根据完全平方公式进行因式分解再整体代入是解题的关键．
14．计算的结果是___________．
【答案】400
【分析】根据完全平方公式进行简便计算即可．
【详解】解：
=
=
=400；
故答案为400．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用完全平方公式公式进行简便计算是解题的关键．
三、解答题：
15．因式分解：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先提公因式，然后根据平方差公式因式分解；
（2）先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解；
（3）先提公因式，，然后根据平方差公式因式分解；
（4）先提公因式，即可求解．
（1）
解：原式＝
；
（2）
解：原式＝
；
（3）
解：原式＝
；
（4）
解：原式
．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
16．已知，先因式分解，再求值：．
【答案】；
【分析】先将公共因式提出来，然后利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：
当，时，
原式．
【点睛】本题考查因式分解的应用、完全平方公式，解题的关键是提出公共因式．
17．如图1、图2所示，其中．
(1)用含a、b的代数式表示它们阴影面积，则______，______；
(2)因式分解，并求出当，时式子的值．
【答案】(1)，
(2)，6
【分析】（1）根据正方形的面积公式列代数式即可；
（2）根据（1）得出的结果因式分解，再代入数据即可求解．
（1）
解：图1的面积是；
图2的面积是；
故答案为：；；
（2）
解：
=
=
=
=，
当，时，原式=．
【点睛】此题考查了因式分解，列代数式，用到的知识点是正方形的面积公式，多项式的乘法，关键是根据所给出的图形列出相应的代数式．
能力提升篇
一、单选题：
1．已知a、b满足等式，x＝a2﹣6ab+9b2．y＝4a﹣12b﹣4，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＝yB．x＞yC．x＜yD．x≥y
【答案】D
【分析】计算x，y的差，利用完全平方公式将a2﹣6ab+9b2-4a+12b+4转化为，再根据平方的非负性解题．
【详解】解：x-y= a2﹣6ab+9b2-（4a﹣12b﹣4）
a2﹣6ab+9b2-4a+12b+4
故选：D．
【点睛】本题考查整式的加减，涉及完全平方公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
2．不论x，y取何实数，代数式x2－4x＋y2－6y＋13总是（ ）
A．非负数B．正数C．负数D．非正数
【答案】A
【分析】先把原式化为，结合完全平方公式可得原式可化为从而可得答案.
【详解】解：x2－4x＋y2－6y＋13


故选A
【点睛】本题考查的是代数式的值，非负数的性质，利用完全平方公式分解因式，掌握“”是解本题的关键.
3．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足，则此三角形是（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．无法确定
【答案】A
【分析】先移项，将等式右边化为0，再结合完全平方公式及平方数的非负性解题即可．
【详解】
是等边三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查因式分解的应用、等边三角形的判定等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
二、填空题：
4．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为_________．
【答案】
【分析】根据题意可知a、b是相互独立的，在因式分解中b决定常数项，a决定一次项的系数，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值，代入原多项式进行因式分解．
【详解】解：∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为，
∴在＝x2+6x+8中，a＝6是正确的，
∵分解因式x2+ax+b时，乙看错了a，分解结果为，
∴在＝x2+10x+9中，b＝9是正确的，
∴x2+ax+b＝x2+6x+9＝．
故答案为：
【点睛】本题考查因式分解和整式化简之间的关系，牢记各自的特点并能灵活应用是解题关键．
5．已知为等腰三角形ABC，其中两边满足，，则的周长为_______________________
【答案】7或8
【分析】先运用平方差公式将等式的前三项因式分解得，再根据非负性求出，的值，再代入求值即可．
【详解】解：，
，
，，
当腰为3时，等腰三角形的周长为，
当腰为2时，等腰三角形的周长为．
故答案为：7或8．
【点睛】此题考查了配方法的应用，三角形三边关系及等腰三角形的性质，解题的关键熟练掌握完全平方公式．
6．已知：，则的值为________．
【答案】16
【分析】先对等式进行移项，然后配方法因式分解求得a、b得值，最后计算即可.
【详解】解：由，
得，
即，
，
，
∴或-4，
，
故答案为：16.
【点睛】本题主要考查配方法的应用以及偶次方非负数的性质，熟练掌握配方法因式分解是解题的关键.
三、解答题：
7．某老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维训练力度，他补充了一道这样的题：对多项式进行因式分解，有个学生解答过程如下，并得到了老师的夸奖：
解：设．
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
根据以上解答过程回答以下问题：
(1)第四步的结果继续因式分解得到结果为________；
(2)请你模仿以上方法对多项式进行因式分解．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）检查第四步结果，利用完全平方公式分解即可；
（2）仿照阅读材料中的方法将原式分解即可．
（1）解：第四步的结果还能继续因式分解，结果为．
故答案为：；
（2）解：根据题意，设，则
；
∴
【点睛】本题考查了因式分解——运用公式法，以及提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
8．阅读材料：
上面的方法称为多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．根据以上材料，解答下列问题：
(1)因式分解：；
(2)求多项式的最小值；
(3)已知、、是△ABC的三边长，且满足，求△ABC的周长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先配方后，再利用平方差公式进行因式分解；
（2）配方后根据平方的非负性求最小值；
（3）配方后根据非负性求出a，b，c的值即可．
（1）解：
；
；
（2），
∵，
∴多项式的最小值为；
（3）由题意得：，
∴．
∴．
又∵，，，
∴，，，
∴，，，
∴的周长为．
【点睛】本题考查了配方法因式分解以及因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．