江苏省泰州中学2025届高三下期末四模数学试题（含答案及解析）

这是一份江苏省泰州中学2025届高三下期末四模数学试题（含答案及解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知复数满足，则（ ）
2. 已知集合，，则（ ）
3. 如图，某社区为墙面A、B、C、D四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（ ）
4. 已知函数，则“”是“”的（ ）
5. 在中，，点满足，且，则（ ）
6. 甲、乙、丙三人各自计划去珠海市旅游，他们在5月13日到5月15日这三天中的一天到达珠海市，他们在哪一天到达珠海市相互独立，且他们各自在5月13日到5月15日到达珠海市的概率如下表所示（，，）.
若甲、乙两人同一天到达珠海市的概率为，乙、丙两人同一天到达珠海市的概率为，甲、丙两人同一天到达珠海市的概率为，则（ ）
7. 如图，已知双曲线：（，）的右焦点为，点是双曲线的渐近线上的一点，点是双曲线左支上的一点.若四边形是一个平行四边形，且，则双曲线的离心率是（ ）
8. 已知个大于2的实数，对任意，存在满足，且，则使得成立的最大正整数为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知复数，，则下列说法正确的是（ ）
10. 如图，在棱长为4的正方体中，分别为棱，底面的对角线上的动点，且，则下列结论正确的是（ ）
11. 已知数列的各项均为正数，且满足（是常数，），则下列四个结论中正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 若，则________．
13. 的二项展开式中含的项的系数为______（用数字作答）．
14. 已知在四棱锥中，面底面，且，，则四棱锥体积的最大值为________．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 11 分，共 55 分)
15. 已知等比数列的前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
16. 如图，四棱柱中，底面．四边形为梯形，，且．过三点的平面记为与的交点为．
(1)证明：为的中点；
(2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；
(3)若，梯形的面积为6，求平面与底面所成二面角大小．
17. 已知椭圆：的离心率为，A，B分别是E的左、右顶点，P是E上异于A，B的点，的面积的最大值为.
(1)求E的方程；
(2)设O为原点，点N在直线上，N，P分别在x轴的两侧，且与的面积相等.
（i）求证：直线与直线的斜率之积为定值；
（ⅱ）是否存在点P使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.
18. 为提升学生用数学知识解决现实生活或其他学科领域中的问题的能力，发展学生数学建模素养，某市面向全市高中学生开展数学建模论文征文活动.对于参加征文活动的每篇论文，由两位评委独立评分，取两位评委评分的平均数作为该篇论文的初评得分.从评委甲和评委乙负责评审的论文中随机抽取10篇，这10篇论文的评分情况如下表所示.
(1)从这篇论文中随机抽取1篇，求甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过的概率；
(2)从这篇论文中随机抽取3篇，甲、乙两位评委对同一篇论文的评分之差的绝对值不超过的篇数记为，求的分布列及数学期望；
(3)对于序号为的论文，设评委甲的评分为，评委乙的评分为，分别记甲、乙两位评委对这10篇论文评分的平均数为，，标准差为，，以作为序号为的论文的标准化得分.对这10篇论文按照初评得分与标准化得分分别从高到低进行排名，判断序号为2的论文的两种排名结果是否相同?（结论不要求证明）
19. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知，．
(1)若曲线和有两个公共点，求a的取值范围；
(2)已知B为曲线上一点，其中为的导函数，O为坐标原点，把绕着原点O沿顺时针方向旋转后得到点P，记点P的轨迹为E．
（ⅰ）求E的方程；
（ⅱ）求曲线E的内接等腰直角三角形面积的最小值．
江苏省泰州中学2025届高三四模数学试题
整体难度：适中
考试范围：复数、集合与常用逻辑用语、等式与不等式、不等式选讲、计数原理与概率统计、三角函数与解三角形、平面向量、平面解析几何、函数与导数、空间向量与立体几何、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A
B
C
D
A．12种
B．24种
C．48种
D．84种
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
到达日期
5月13日
5月14日
5月15日
0.4
0.4
0.2
0.3
0.2
0.5
0.7
A．
B．
C．
D．
A．
B．2
C．
D．3
A．14
B．16
C．21
D．23
A．
B．
C．若，则为纯虚数
D．若，为实系数方程的两虚根，则
A．三棱锥的体积为
B．平面
C．存在实数，使得
D．若直线与平面所成角的正弦值为，则
A．若且，则数列是等比数列
B．若，则数列是递增数列
C．若数列是常数列，则
D．若数列是周期数列，则最小正周期可能为2
序号
评委甲评分
评委乙评分
初评得分
1
67
82
74.5
2
80
86
83
3
61
76
68.5
4
78
84
81
5
70
85
77.5
6
81
83
82
7
84
86
85
8
68
74
71
9
66
77
71.5
10
64
82
73
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
3
较易
4
适中
8
较难
3
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
共轭复数的概念及计算；复数的除法运算；复数代数形式的乘法运算
2
0.65
交集的概念及运算；解不含参数的一元二次不等式；几何意义解绝对值不等式
3
0.65
分步乘法计数原理及简单应用；涂色问题
4
0.85
求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；判断命题的充分不必要条件
5
0.85
数量积的运算律
6
0.94
计算古典概型问题的概率；独立事件的乘法公式
7
0.65
已知方程求双曲线的渐近线；求双曲线的离心率或离心率的取值范围
8
0.4
用导数判断或证明已知函数的单调性；求已知函数的极值
二、多选题
9
0.65
复数的乘方；根据除法运算结果求复数特征；求复数的模；复数范围内方程的根
10
0.4
锥体体积的有关计算；证明线面平行；线面角的向量求法
11
0.65
判断数列的增减性；由递推数列研究数列的有关性质；由定义判定等比数列；数列周期性的应用
三、填空题
12
0.94
已知弦（切）求切（弦）；用和、差角的正弦公式化简、求值；正、余弦齐次式的计算
13
0.94
求二项展开式的第k项；求指定项的系数
14
0.4
面积、体积最大问题；锥体体积的有关计算；由导数求函数的最值（不含参）；求含sinx(型)函数的值域和最值
四、解答题
15
0.85
等比数列前n项和的基本量计算；裂项相消法求和；等比数列通项公式的基本量计算；求等比数列前n项和
16
0.65
锥体体积的有关计算；求二面角；面面平行证明线线平行
17
0.65
根据离心率求椭圆的标准方程；椭圆中存在定点满足某条件问题；椭圆中的定值问题
18
0.65
用方差、标准差说明数据的波动程度；超几何分布的分布列；计算古典概型问题的概率；超几何分布的均值
19
0.15
利用导数研究函数的零点；求平面轨迹方程；函数单调性、极值与最值的综合应用；特殊角的三角函数值
序号
知识点
对应题号
1
复数
1,9
2
集合与常用逻辑用语
2,4
3
等式与不等式
2
4
不等式选讲
2
5
计数原理与概率统计
3,6,13,18
6
三角函数与解三角形
4,12,14,19
7
平面向量
5
8
平面解析几何
7,17,19
9
函数与导数
8,14,19
10
空间向量与立体几何
10,14,16
11
数列
11,15