河北省秦皇岛市河北昌黎第一中学2026届高三第一次调研考试数学试题（含答案及解析）

这是一份河北省秦皇岛市河北昌黎第一中学2026届高三第一次调研考试数学试题（含答案及解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，六；二倍角的正弦公式等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上不可能位于（ ）
2. 已知集合，，则（ ）
3. 已知等比数列，则（ ）
4. 某地区组织了一次高三模拟考试，对该地区3000名考生的考试成绩进行统计分析发现，数学成绩近似服从正态分布，已知数学成绩高于105分的人数与低于65分的人数相同，据此可以估计本次考试的数学成绩高于100分的人数大约为（ ）
（参考数据：若，有，，）
5. 已知直线与：交于两点，若在上的投影向量的模为，则的值为（ ）
6. 已知函数的值域为，则的值为（ ）
7. 已知，则（ ）
8. 已知，是单位向量，且，若向量满足，则的最大值为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 函数的部分图象如图所示，则（ ）

10. 在棱长为1的正方体中，O为上底面的中心，则（ ）
11. 在平面直角坐标系中，设，定义的范数为.若，则下列结论正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
12. 设，则______.
13. 设数列的前n项和为，若，则______.
14. 已知不等式对恒成立，则实数的取值范围是_______________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 9 分，共 45 分)
15. 在平面四边形中，，，，.

(1)求的长.
(2)若为锐角三角形，求面积的取值范围.
16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，平面，，，点为线段上的三等分点.

(1)证明：平面平面.
(2)求二面角的余弦值.
17. 已知函数（，且）.
(1)当时，证明：.
(2)若不等式恒成立，求a的值.
18. 已知椭圆的离心率为，右焦点为F，点在C上，过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点.
(1)求椭圆C的方程.
(2)若直线l的斜率为，求的面积.
(3)设点Q满足，求点Q的轨迹方程.
19. n阶拉丁方阵是一种的方阵，在这种的方阵里，恰有1到n这n个不同的正整数，每一个不同的正整数在同一行或同一列中只出现一次.例如，如图是一个3阶拉丁方阵.
(1)分别计算2阶和3阶拉丁方阵的个数.
(2)求4阶拉丁方阵的个数，并证明：n阶拉丁方阵的个数是的倍数.
(3)设A为的方阵，且1到n这n个不同的正整数恰好在A中各出现n次，记全体方阵A构成的集合为S，从S中任取一个方阵，记此方阵为n阶拉丁方阵的概率为.证明：.
参考公式：.
河北省秦皇岛市河北昌黎第一中学2026届高三第一次调研考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：复数、集合与常用逻辑用语、函数与导数、数列、计数原理与概率统计、平面解析几何、平面向量、三角函数与解三角形、空间向量与立体几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
A．
B．
C．
D．
A．3
B．±3
C．
D．
A．580
B．480
C．380
D．280
A．
B．
C．
D．
A．
B．0
C．1
D．
A．1
B．2
C．或2
D．1或2
A．2
B．
C．
D．1
A．当最小时，
B．的图象关于直线对称
C．不等式的解集为
D．若在上有三个零点，则
A．平面
B．
C．直线与的距离为
D．直线与平面所成角的正弦值为
A．
B．
C．
D．
1
2
3
2
3
1
3
1
2
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
较易
4
适中
10
较难
5
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
与复数模相关的轨迹（图形）问题；判断复数对应的点所在的象限
2
0.85
并集的概念及运算；由指数函数的单调性解不等式；由对数函数的单调性解不等式
3
0.85
等比数列通项公式的基本量计算；等比数列下标和性质及应用
4
0.85
特殊区间的概率；正态分布的实际应用
5
0.65
已知点到直线距离求参数；由标准方程确定圆心和半径；求投影向量
6
0.65
已知函数最值求参数；根据分段函数的值域（最值）求参数；由导数求函数的最值（含参）
7
0.65
已知弦（切）求切（弦）；二倍角的余弦公式；诱导公式五、六；二倍角的正弦公式
8
0.4
已知数量积求模；向量与几何最值；由标准方程确定圆心和半径
二、多选题
9
0.65
求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；由图象确定正（余）弦型函数解析式；根据函数零点的个数求参数范围；求含sinx(型)函数的定义域
10
0.65
空间位置关系的向量证明；线面角的向量求法；异面直线距离的向量求法
11
0.4
判断与幂函数相关的复合函数的单调性；用导数判断或证明已知函数的单调性
三、填空题
12
0.65
二项展开式的应用；求指定项的系数
13
0.65
积化和差公式；裂项相消法求和
14
0.65
利用导数研究不等式恒成立问题
四、解答题
15
0.65
正弦定理解三角形；求三角形面积的最值或范围；用和、差角的正弦公式化简、求值；三角形面积公式及其应用
16
0.65
证明面面垂直；面面角的向量求法
17
0.4
利用导数证明不等式；利用导数研究不等式恒成立问题；函数单调性、极值与最值的综合应用
18
0.4
求平面轨迹方程；椭圆中三角形（四边形）的面积；根据离心率求椭圆的标准方程；根据韦达定理求参数
19
0.4
全排列问题；计算古典概型问题的概率；代数中的组合计数问题
序号
知识点
对应题号
1
复数
1
2
集合与常用逻辑用语
2
3
函数与导数
2,6,9,11,14,17
4
数列
3,13
5
计数原理与概率统计
4,12,19
6
平面解析几何
5,8,18
7
平面向量
5,8
8
三角函数与解三角形
7,9,13,15
9
空间向量与立体几何
10,16