2024-2025学年河北省保定市莲池区七年级（下）期末数学试卷 （含解析）

这是一份2024-2025学年河北省保定市莲池区七年级（下）期末数学试卷 （含解析），共28页。试卷主要包含了5 毫米黑色墨水签字，2小时．等内容，欢迎下载使用。
生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、
姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字
笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（共12题，每小题3分共36分）
1．下列国货品牌标志图案中是轴对称图形的是
A．B．C．D．
2．下列计算正确的是
A．B．C．D．
3．目前，全球建成的散裂中子源装备仅有4个，中国散裂中子源被誉为探索物质材料微观结构的“超级显微镜”，能够为探索科学前沿，解决国家重大需求和产业发展中的关键科学问题提供科技利器．已知中子的半径约为，将0.0000000000000016用科学记数法表示为
A．B．C．D．
4．有6张扑克牌，如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上，若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是
A．B．C．、D．
5．已知关于的二次三项式是完全平方式，则实数的值为
A．2B．C．4D．
6．随着人工智能技术的进步，机器狗正变得越来越“聪明”．它们不仅能完成预设任务，还能通过机器学习不断优化自身行为．如图所示，机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为
A．B．C．D．
7．为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端，的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量，的距离，甲、乙两位同学分别设计了如下两种方案：
甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可．
乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可．
其中可行的测量方案是
A．只有方案甲可行B．只有方案乙可行
C．方案甲和乙都可行D．方案甲和乙都不可行
8．如图，在△中，点是边的中点，点是边的中点，连接、，若，则
A．2B．4C．6D．8
9．若为正整数，则 （其中括号内为个相乘）
A．B．C．D．
10．小明家、报亭、乒乓球馆在一条直线上．小明从家跑步到乒乓球馆打球，再去报亭看报，最后回家．小明离家的距离与时间之间的关系如图所示．下列结论正确的是
A．小明从家到乒乓球馆的速度是
B．小明在报亭停留时间为
C．乒乓球馆在小明家与报亭之间
D．小明从乒乓球馆到报亭的速度比从报亭到家的速度慢
11．如图，等腰的底边长为6，腰长为8，垂直平分，点为直线上一动点，则的最小值
A．6B．8C．10D．14
12．已知，求作：的平分线，甲、乙、丙三位同学的方案如图所示，则正确的方案是
A．只有甲、乙正确B．只有甲、丙正确
C．只有乙、丙正确D．甲、乙、丙都正确
二、填空题（共4题，每小题3分，共12分）
13．若等腰三角形的两边长分别是4和8，则它的周长是 ．
14．计算： ．
15．如图，在△中，，，点、、分别在边、、上，如果，，那么 ．
16．如图，是△内一点，且平分，，连接，若△的面积为9，那么△的面积是 ．
三、简答题（本大题共8个小题共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）先化简，再求值：，其中，．
18．如图，已知，，则．下面是小戆同学的思考过程，请你在横线上填写班由、依据或者内容．
，（已知）
，
．
．
．
．
．
．
19．研究表明，学生每日观看短视频的时间会影响注意力持续时间．某实验记录的数据如下：
（1）请写出注意力持续时间（分钟）与观看短视频时间（小时）之间的关系式．
（2）在合理范围内，观看短视频时间为8小时，注意力持续时间是多少？
（3）若某学生注意力持续时间为24分钟，求其当日观看短视频的时间．
20．小军和小明一起做游戏，设计了一个可以自由转动的转盘（如图所示），转盘被等分成了10个扇形区域，并涂上了不同的颜色．
（1）转动一次转盘，求指针指向红色区域的概率．
（2）小军说：“如果指针指向蓝色区域自己获胜，如果指针指向黑色区域小明获胜”．请问小军设计的游戏规则对双方公平吗？试通过计算说明理
由．
21．发现与探索
综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断，如图：
操作一：若折叠三角形纸片，使与边在一条直线上，得到折痕；
操作二：若折叠三角形纸片，得到折痕，使点、、在一条直线上．
完成以上操作后把纸片展平，判断是△的 （从中线、角平分线、高线中选填）， ．
（2）深入探究
操作三：过点折叠三角形纸片，使点落在折痕上，得到折痕，把纸片展平．
根据以上操作，如图，判断和是否相等？并说明理由．
（3）结论应用
已知，，则 ．
22．【操作与发现】
已知正方形与正方形，面积均为4．
将正方形的顶点与正方形的中心重合摆放．
（1）如图1，当经过点，经过点时，此时两个正方形重叠部分的面积是 ．
（2）如图2，将正方形绕点旋转，在旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积 发生变化（填“会”或“不会” ，请说明理由．
【类比探究】
如图3，将两个大小一样的正六边形按照一个正六边形的顶点与另一个的中心重合的方式摆放．探究重叠部分的面积和一个正六边形面积之间的数量关系，请求出探究结果．
23．我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．观察以下4组代数恒等式和图形，写出它们的对应关系：
①；②；③；④．
（1）探究：①对应 ，②对应 ，③对应 ，④对应 ．
利用上述公式，阅读下面的材料：
若，则，
所以，
所以．
（2）应用：
若，则 ， （用含有的式子表示）．
（3）拓展：若，下列等式：
①；
②，
当为自然数时，有且仅有一个成立，请判断哪个等式成立，并说明理由．
24．如图，△中，，，．点从点出发沿路径向终点运动；点从点出发沿路径向终点运动．点和分别以和 的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过和作于，于．
（1）如图1，当时，设点运动时间为 ，当点在上，点在上时，
①用含的式子表示和，则 ， ；
②当时，△与△全等吗？并说明理由；
（2）请问：当时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形，有没有可能全等？若能，请求出符合条件的值；若不能，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共12题，每小题3分共36分）
1．下列国货品牌标志图案中是轴对称图形的是
A．B．C．D．
解：由题意可知，只有选项的图形能找到一条直线，使图形沿这条直线对折后两边完全重合，所以选项是轴对称图形，选项、、不是轴对称图形．
故选：．
2．下列计算正确的是
A．B．C．D．
解：与不是同类项，无法合并，则不符合题意，
，则符合题意，
，则不符合题意，
，则不符合题意，
故选：．
3．目前，全球建成的散裂中子源装备仅有4个，中国散裂中子源被誉为探索物质材料微观结构的“超级显微镜”，能够为探索科学前沿，解决国家重大需求和产业发展中的关键科学问题提供科技利器．已知中子的半径约为，将0.0000000000000016用科学记数法表示为
A．B．C．D．
解：将0.0000000000000016用科学记数法表示为，
故选：．
4．有6张扑克牌，如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上，若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是
A．B．C．、D．
解：由条件可知：抽到黑桃的概率为，抽到红心的概率为，抽到梅花的概率为0，抽到方块的概率为，
抽到的花色可能性最大的是红心，
故选：．
5．已知关于的二次三项式是完全平方式，则实数的值为
A．2B．C．4D．
解：关于字母的二次三项式是完全平方式，
．
故选：．
6．随着人工智能技术的进步，机器狗正变得越来越“聪明”．它们不仅能完成预设任务，还能通过机器学习不断优化自身行为．如图所示，机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为
A．B．C．D．
解：过作，
，
，
，，
，
，
，，
．
故选：．
7．为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端，的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量，的距离，甲、乙两位同学分别设计了如下两种方案：
甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可．
乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可．
其中可行的测量方案是
A．只有方案甲可行B．只有方案乙可行
C．方案甲和乙都可行D．方案甲和乙都不可行
解：由题意得，
在与中，
，
，
，
故甲同学的方案可行．
乙同学方案：
在和中，
只能知道，，不能判定与全等，故方案不可行．
故选：．
8．如图，在△中，点是边的中点，点是边的中点，连接、，若，则
A．2B．4C．6D．8
解：点是边的中点，
，
，
，
点是边的中点，
，
故选：．
9．若为正整数，则 （其中括号内为个相乘）
A．B．C．D．
解：原式．
故选：．
10．小明家、报亭、乒乓球馆在一条直线上．小明从家跑步到乒乓球馆打球，再去报亭看报，最后回家．小明离家的距离与时间之间的关系如图所示．下列结论正确的是
A．小明从家到乒乓球馆的速度是
B．小明在报亭停留时间为
C．乒乓球馆在小明家与报亭之间
D．小明从乒乓球馆到报亭的速度比从报亭到家的速度慢
解：根据函数图象，小明家到乒乓球馆的距离是，用时为，
小明从家到乒乓球馆的速度是，
故选项结论错误，不符合题意；
图象中第二段与轴平行的图象，表示在报亭停留时间，
对应的轴上用时从39到49，用时为，
故选项结论正确，符合题意；
根据函数图象，小明先到乒乓球馆，再往回走到报亭，再回到家，
乒乓球馆不在小明家与报亭之间，
故选项结论错误，不符合题意；
小明从球馆出来到报亭用时，走了，速度为，
从报亭回到家用时，走了，速度为，
小明从乒乓球馆到报亭的速度比从报亭到家的速度快，
故选项结论错误，不符合题意，
故选：．
11．如图，等腰的底边长为6，腰长为8，垂直平分，点为直线上一动点，则的最小值
A．6B．8C．10D．14
解：连接，
垂直平分，
，
，
当时，值最小，
等腰腰长为8，
，
的最小值为8，
故选：．
12．已知，求作：的平分线，甲、乙、丙三位同学的方案如图所示，则正确的方案是
A．只有甲、乙正确B．只有甲、丙正确
C．只有乙、丙正确D．甲、乙、丙都正确
解：甲：，
，
，
，
，
是的平分线，故甲的方案正确；
乙：，，，
△△，
，
，即，
又，，
△△，
，
在△和△中，
，
△△，
，
是的平分线，故乙的方案正确；
丙：，
，
，
，
不能证明△△，得不到是的平分线，故丙的方案不正确；
综上所述，只有甲、乙正确，
故选：．
二、填空题（共4题，每小题3分，共12分）
13．若等腰三角形的两边长分别是4和8，则它的周长是 20 ．
解：等腰三角形有两边分别分别是4和8，
此题有两种情况：
①4为底边，那么8就是腰，三角形的三边为4，8，8能构成三角形，则等腰三角形的周长为，
②8底边，那么4是腰，，所以不能围成三角形应舍去．
该等腰三角形的周长为20，
故答案为：20．
14．计算： ．
解：原式
，
故答案为：．
15．如图，在△中，，，点、、分别在边、、上，如果，，那么 ．
解：在△中，，，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．如图，是△内一点，且平分，，连接，若△的面积为9，那么△的面积是 18 ．
解：如图，延长交于点，
平分，，
，，
，，
△的面积为9，
△的面积是18．
故答案为：18．
三、简答题（本大题共8个小题共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）先化简，再求值：，其中，．
解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
当，时，
原式．
18．如图，已知，，则．下面是小戆同学的思考过程，请你在横线上填写班由、依据或者内容．
，（已知）
邻补角的定义 ，
．
．
．
．
．
．
解：，（已知），
（邻补角的定义），
（同角的补角相等），
，
（两直线平行，内错角相等），
，
，
（同位角相等，两直线平行），
故答案为：邻补角的定义；同角的补角相等；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行．
19．研究表明，学生每日观看短视频的时间会影响注意力持续时间．某实验记录的数据如下：
（1）请写出注意力持续时间（分钟）与观看短视频时间（小时）之间的关系式．
（2）在合理范围内，观看短视频时间为8小时，注意力持续时间是多少？
（3）若某学生注意力持续时间为24分钟，求其当日观看短视频的时间．
解：（1）根据表格，观看短视频时间增加1小时，注意力持续时间减少5小时，
注意力持续时间（分钟）与观看短视频时间（小时）之间的关系式为．
（2）当时，，
注意力持续时间是10分钟．
（3）当时，得，
解得．
答：其当日观看短视频的时间为5.2小时．
20．小军和小明一起做游戏，设计了一个可以自由转动的转盘（如图所示），转盘被等分成了10个扇形区域，并涂上了不同的颜色．
（1）转动一次转盘，求指针指向红色区域的概率．
（2）小军说：“如果指针指向蓝色区域自己获胜，如果指针指向黑色区域小明获胜”．请问小军设计的游戏规则对双方公平吗？试通过计算说明理
由．
解：（1）转盘被等分成了10个扇形区域，红色扇形有2个，
指针指向红色区域的概率为；
（2）小军设计的游戏规则对双方不公平；
理由：转盘被等分成了10个扇形区域，蓝色扇形有2个，黑色扇形有1个，
指针指向蓝色区域的概率为，指针指向黑色区域的概率为，
即小军自己获胜的概率为，小明获胜的概率为，
，
小军自己获胜的概率较大，小军设计的游戏规则对双方不公平．
21．发现与探索
综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断，如图：
操作一：若折叠三角形纸片，使与边在一条直线上，得到折痕；
操作二：若折叠三角形纸片，得到折痕，使点、、在一条直线上．
完成以上操作后把纸片展平，判断是△的 角平分线 （从中线、角平分线、高线中选填）， ．
（2）深入探究
操作三：过点折叠三角形纸片，使点落在折痕上，得到折痕，把纸片展平．
根据以上操作，如图，判断和是否相等？并说明理由．
（3）结论应用
已知，，则 ．
解：（1）折叠△，使与边在一条直线上，得到折痕，
，
是△的角平分线；
折叠△，得到折痕，使点、、在一条直线上，
，
故答案为：角平分线，．
（2），
理由：设点的对应点为点，
过点折叠△，使点落在折痕上，得到折痕，
垂直平分，
点在上，
，
由（1）得，，
，
，
．
（3），，
，
，
，
故答案为：．
22．【操作与发现】
已知正方形与正方形，面积均为4．
将正方形的顶点与正方形的中心重合摆放．
（1）如图1，当经过点，经过点时，此时两个正方形重叠部分的面积是 1 ．
（2）如图2，将正方形绕点旋转，在旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积 发生变化（填“会”或“不会” ，请说明理由．
【类比探究】
如图3，将两个大小一样的正六边形按照一个正六边形的顶点与另一个的中心重合的方式摆放．探究重叠部分的面积和一个正六边形面积之间的数量关系，请求出探究结果．
解：（1）如图，过作于，
由题意得，△是等腰直角三角形，
，
；
（2）如图，两个正方形重叠部分的面积不会发生变化，
理由：设，交于，，交于，连接，，
点是正方形的中心，
△是等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
△△，
，
两个正方形重叠部分的面积不会发生变化，
故答案为：不会；
（3）如图，连接，，
由题意得，，，
，
，
△△，
重叠部分的面积四边形．
即．
23．我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．观察以下4组代数恒等式和图形，写出它们的对应关系：
①；②；③；④．
（1）探究：①对应 ，②对应 ，③对应 ，④对应 ．
利用上述公式，阅读下面的材料：
若，则，
所以，
所以．
（2）应用：
若，则 ， （用含有的式子表示）．
（3）拓展：若，下列等式：
①；
②，
当为自然数时，有且仅有一个成立，请判断哪个等式成立，并说明理由．
解：（1）①表示边长为的正方形的面积，
这个正方形的面积也可表示为，符合，
故①对应；
②表示边长为的正方形的面积，
这个正方形的面积也可表示为，符合，
故②对应；
③表示长、宽分别为、的矩形的面积，
这个矩形的面积也可表示为，符合，
故③对应；
④表示边长为的正方形的面积，
这个正方形的面积也可表示为，符合，
故④对应；
故答案为：；；；；
（2）若，则，
，
，
故答案为：；；
（3）等式①成立，理由如下：
由（1）知，若，，，
，
，
．
24．如图，△中，，，．点从点出发沿路径向终点运动；点从点出发沿路径向终点运动．点和分别以和 的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过和作于，于．
（1）如图1，当时，设点运动时间为 ，当点在上，点在上时，
①用含的式子表示和，则 ， ；
②当时，△与△全等吗？并说明理由；
（2）请问：当时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形，有没有可能全等？若能，请求出符合条件的值；若不能，请说明理由．
解：（1）①由题意得： ， ，
则，，
故答案为：，；
②当时，△与△全等，理由如下：
当时，，，
，
，
，
又于，于，
，
，
，
在△和△中，
△△；
（2）当时，△与△有可能全等，分三种情况：
①当点在上，点在上时，△△，如图，
则，
，
解得；
②如图，
点与点重合，
△与全等，
，
，
解得；
③当点在上，点到点时，△△，如图，
则，
，
；
综上，符合条件值为1或或6．
甲
①利用直尺和三角板画；
②在上截取；
③作射线，即为所求．
乙
①利用圆规截取，；
②连接，，相交于点；
③作射线，即为所求．
丙
①在上取点，利用圆规截取；
②过点，作；
③作射线，即为所求．
观看短视频时间（小时）
0
1
2
3
4
5
6
注意力持续时间（分钟）
50
45
40
35
30
25
20
甲
①利用直尺和三角板画；
②在上截取；
③作射线，即为所求．
乙
①利用圆规截取，；
②连接，，相交于点；
③作射线，即为所求．
丙
①在上取点，利用圆规截取；
②过点，作；
③作射线，即为所求．
观看短视频时间（小时）
0
1
2
3
4
5
6
注意力持续时间（分钟）
50
45
40
35
30
25
20