重庆市第八中学校2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题含答案解析含答案解析含答案解析

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
2. 已知集合，，若，则所有满足条件的实数m组成的集合为（ ）
A. B. C. D.
3. 某校一个课外学习小组为研究小鸡的成活率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行实验，由实验数据得到下面的散点图：
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为成活率y和温度x的回归方程类型的是（ ）
A. B. C. D.
4 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 等差数列的公差为d，前n项和为，若，，则当取得最大值时，（ ）
A 4B. 5C. 6D. 7
6. 已知正数x，y满足，则的最小值为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
7. 某医院拟组成4医生3护士共7人的工作队，派驻到3个地区A、B、C进行工作．若每一个地区至少派驻1医生1护士两位工作人员，且医生甲必须派驻到A地区，则不同的派驻方式有（ ）
A. 36种B. 72种C. 98种D. 108种
8. 已知函数（，e为自然对数的底数）的图像上存在2个点、分别与的图像上2个点、关于x轴对称，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在的二项展开式中，下列说法中正确的有（ ）
A. 所有奇数项的二项式系数和为B. 所有项的系数和为
C. 二项式系数最大的项为第5项或第6项D. 展开式中的常数项是第9项
10. 某校为了解高二段学生每天数学学习时长的分布情况，随机抽取了100名高二学生进行调查，得到了这100名学生的日平均数学学习时长（单位：分钟）的频率分布直方图如图所示，则下列选项正确的为（ ）
A. 每天学习数学时长在60到70分钟的频率为0.04
B. 中位数估计为65
C. 平均数估计为67
D. 众数估计为65
11. 已知函数，的定义域均为，且，．若的图象关于点对称，，则（ ）
A. 函数为偶函数B. 函数关于点对称
C. 函数周期为4D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 随机变量X服从正态分布，，______．
13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______．
14. 现有12道四选一的单选题，其中9道题学生甲会做，3道题学生甲不会做．会做的题做对的概率为1，不会做的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为．现从这12道题中随机选择1题让学生甲回答，已知学生甲答对了该题，则学生甲猜对的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为，的中点．
（1）求证：∥平面ABC；
（2）求直线AC与平面所成角的正弦值．
16. 重庆八中渝北校区有俭园、味园两个食堂．
（1）随机询问110名学生在就餐时的选择偏好，得到如表所示的抽样数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为在不同食堂就餐与学生性别有关联？
（2）现从选择在俭园就餐的学生中，采用按比例分配的分层随机抽样的方法随机抽取12名学生，再从这12名学生中随机抽取3人，设抽取的3人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：．
17. 抛物线C：与直线：相切．
（1）求抛物线C的方程．
（2）设抛物线C的焦点为F，过F的直线交C于A，B，点满足，求直线的方程．
18. 重庆八中举办拔河比赛，经过预选赛最终确定由甲乙丙丁4支队伍角逐冠军．先进行半决赛：将4支队伍采用抽签的方式随机分成2队一组共两组进行比赛，每组的胜者再进行最后的决赛．已知在任何一场比赛中甲队的获胜概率均为，乙队的获胜概率均为，丙队胜过丁队的概率为．
（1）求甲队夺冠概率．
（2）半决赛怎样分组可以使丙队的夺冠概率最大？
（3）求甲队能与丁队相遇的概率．
19. 已知函数．
（1）讨论函数的单调性．
（2）当时，，求a的取值范围．
性别
就餐地点
俭园
味园
男
40
20
女
20
30
0.050
0.010
0.001
3841
6.635
10.828