2024-2025学年浙江省杭州市拱墅区杭州第十一中学高一下学期期中考数学试卷（含答案）

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1.已知复数z=(i−2)2i，则z在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2..设向量a=(1,x−1)，b=(x+1,3)，若a,b共线，则( )
A. x=±2B. x=2C. x=−2D. x=12
3.用斜二测画法画一个平面四边形ABCD的水平放置的直观图，得到一个如图
所示的边长为1的正方形A′B′C′D′，则原图中AD的长度为( )
A. 1B. 2
C. 3D. 2 2
4.如图，一个底面半径为4 cm，母线长为4 5 cm的圆锥形封闭容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的12，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于桌面时，液面的高度为( )
A. 237 cmB. 4 cmC. 6 cmD. 437 cm
5.已知a= 3,b=(2,2),|a−2b|= 51，则a在b方向上的投影向量为( )
A. (1,1)B. (−1,−1)C. (2 2,2 2)D. (−2 2,−2 2)
6.某校高二年级开展课外实践活动，数学建模课题组的学生选择测量凤山妈祖石像的高度．如图，为测量石像AH的高度，在距离平台1.2米高的C处测得石像顶的仰角为60∘；后退18米到达距离平台1.2米高的D处测得石像顶的仰角为30∘，则石像的高度为( )米．
A. 9 3+1.2B. 9 6+1.2C. 10 3+1.2D. 18 3+1.2
7.国家统计局发布的2018年至2022年我国居民消费水平情况如图所示，则下列说法正确的是(居民消费水平=农村居民消费水平×农村人口数+城镇居民消费水平×城镇人口数农村人口数+城镇人口数)( )
A. 2018年至2022年我国居民消费水平逐年提高
B. 2018年至2022年我国城镇居民消费水平逐年提高
C. 2018年至2022年我国居民消费水平数据的极差为6463元
D. 2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多
8.在△ABC中，若AC2+BC2=5AB2，则tanCtanA+tanCtanB=( )
A. 23B. 12C. 32D. 22
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z1，z2是方程x2+x+1=0的两根，则
A. z ​1+z ​2=1B. |z 1|=|z 2|=1C. z12=z2D. z1+1z1∈R
10.采购经理指数(PMI)是国际上通用的监测宏观经济走势的指标，具有较强的预测、预警作用.2023年12月31日，国家统计局发布了中国制造业PMI指数(经季节调整)图，如下图所示，则下列说法正确的是( )
A. 图中前三个数据的平均值为49.9%
B. 2023年四个季度的PMI指数中，第一季度方差最大
C. 图中PMI指数的极差为3.8%
D. 2023年PMI指数的75%分位数为50.1%
11.我们熟知的五面体有三棱柱、三棱台、四棱锥等．《九章算术》中将有三条棱互相平行且不全相等，有一个面为矩形的五面体称之为“刍甍”，对于“刍甍”下列判断正确的是( )
A. 三棱台体不是“刍甍”B. “刍甍”有且仅有两个面为三角形
C. 存在有两个面为平行四边形的“刍甍”D. “刍甍”存在两个互相平行的面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在▵ABC中，若c=3,C=π3，其面积为 3，则a+b= ．
13.定义平面非零向量之间的一种运算“∗”，记a∗b=acsθ+bsinθ(其中θ是非零向量a，b的夹角).若e1，e2均为单位向量，且e1⋅e2=12，则e1∗ 3e2= ．
14.已知复数z1，z2满足z1+2z1=−3−i，z2−z1=1，则z2+2i的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在▵ABC中，a,b,c分别是角A、B、C的对边，且(2a+c)csB+bcsC=0
(1)求角B的大小；
(2)若b= 13，a+c=4，求▵ABC的面积．
16.(本小题15分)
某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数，满分为100)作为样本(样本容量n)进行统计，按照[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]的分组作出频率分布直方图，已知得分在[50,60)、[90,100]的频数分别为8、2．
(1)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；
(2)估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数．
17.(本小题15分)
在▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2sinC=sinB，csA=4bc，且▵ABC的面积为2 3.若BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，如图所示．

(1)求∠BMA的余弦值；
(2)求MP2+NP2的值．
18.(本小题17分)
如图，已知正方形ABCD的边长为2，点P为正方形内一点．
(1)如图1：
(i)求AP⋅BC+PC⋅BC的值；
(ii)求AP⋅AB+BP⋅BC+CP⋅CD+DP⋅DA的值．
(2)如图2，若点M、N满足DM=2MA，BN=2NC．点P是线段MN的中点，点Q是平面上动点，且满足2PQ=λPA+(1−λ)PB，其中λ∈R，求QM⋅QN的最小值．
19.(本小题17分)
“费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点.对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120∘时，使∠APB=∠BPC=∠CPA=120∘的点P即为费马点.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acsC+ 3asinC−b−c=0，a=2，点P是△ABC的“费马点”．
(1)求角A;
(2)若PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA=−1，求△ABC的周长;
(3)若AC⊥BC，|PA|+|PB|=λ|PC|，求实数λ的最小值．
参考答案
1.C
2.A
3.C
4.D
5.B
6.A
7.D
8.B
9.BD
10.AB
11.AB
12. 21
13. 132
14. 10+1/1+ 10
15.【详解】(1)因为(2a+c)csB+bcsC=0，所以由正弦定理可得
−2sinAcsB=sinBcsC+csBsinC=sin(B+C)=sin(π−A)=sinA，
因为A∈0,π，所以sinA>0，
所以csB=−12，又因为B∈0,π，所以B=2π3；
(2)由(1)知B=2π3，所以由余弦定理b2=a2+c2−2accsB
可得13=a2+c2+ac=(a+c)2−ac，
因为a+c=4，所以ac=3，
所以S▵ABC=12acsinB=3 34．

16.【详解】(1)由题意可知，样本容量为n=80.016×10=50，y=250×10=0.004，
x=0.1−0.016−0.04−0.01−0.004=0.03；
(2)由频率分布直方图可知，本次竞赛学生成绩的众数为75，
设中位数为m，∵(0.016+0.03)×10