湖北省襄阳市2025届高三数学下学期适应性考试二试题含解析

这是一份湖北省襄阳市2025届高三数学下学期适应性考试二试题含解析，共21页。试卷主要包含了 已知 为锐角， ， ，则， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
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注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写
在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上.
2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需
改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按
以上要求作答的答案无效.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，每小题只有一个选项符合要求
1. 在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】由复数的乘法运算，整理其为标准式，结合复数的几何意义，可得答案.
【详解】 ，
其在复平面内所对应的点的坐标为 ，位于第四象限.
故选：D.
2. 设集合 ，集合 ，则 与 的关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据终边相同的角的知识确定正确答案.
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【详解】由于集合 ，所以集合 表示终边落在 轴上的角的集合；
由于集合 ，所以集合 表示终边落在 轴上的角的集合；
所以 .
故选：A.
3. 已知“ ”是“ ”表示圆的必要不充分条件，则实数 的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意先根据圆的一般方程求出“ ”表示圆时 m 的取值范围，再根
据必要不充分条件得出两个范围的包含关系，从而得出 t 的取值范围.
【详解】因为 表示圆，
所以根据圆的一般方程， ，
又因为 是 表示圆的必要不充分条件，
所以 能推出 ，而 推不出 ，
即 是 的真子集，
所以 ，
故选: B.
4. 抛掷 2 颗骰子，观察掷得的点数，记事件 为“2 个骰子的点数不相同”，事件 为“点数之和大于 8”，
则在事件 发生的条件下，事件 发生的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件概率公式 来求解，需要先分别求出 、 ，再代入公式
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计算 ．
【详解】事件 包含的基本事件有 30 个，则 ，事件 包含的基本事件有 8 个，则
，所以 ．
故选：D．
5. 已知 为锐角， ， ，则 （ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据角的范围和同角的三角函数关系求出 和 ，利用两角和的余弦公式计算可得
答案.
【详解】∵ 为锐角， ，
∴ .
∵ ，∴ ，且 ，
∵ ，函数 在 上单调递增，
∴ ，
∴ ，
∴
.
故选：B．
6. 已知空间向量 ，平面 的一个法向量为 ，则向量 在平面 上的投影向量是
（ ）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求得向量 在法向量上的投影，再由向量的加法法则即可求解.
【详解】向量 在平面 法向量 上的投影向量：
，
设 在平面 上的投影向量是 ，
则 ，
所以 ，
故选：D
7. 已知拋物线 的焦点为 ，准线为 ，过焦点 的直线交拋物线 于点 、
（ 在 轴上方），且点 的横坐标为 3， 是 轴正半轴上一点， 为坐标原点， 的角平分线过
的中点，则点 的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设线段 的中点为 ，作 轴于点 ，得 ，可得 ，所
以 ，结合斜率公式即可求解．
【详解】由 可得 ，故抛物线 的方程为 ， ，点
设线段 的中点为 ，作 轴于点 ，作 交 轴于点 ，交 于点 ，
则 ，故 ，
过点 作 于点 ，又 是 的角平分线，则 ，
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由垂线段的唯一性知， ， 两点重合，可得 ，所以 ，
设 ，则 ，解得 ，故点 的坐标为 ．
故选：D
8. 已知函数 的定义域为 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令 判断 A；令 得到 即可判断 B、C；进而有当 且 时，
，两边求和判断 D.
【详解】令 ，则 且 ，可得 ，A 错；
令 ，则 ，可得 ，即 ，B 错；
由上分析 ， ， ，则 ，
所以 ，C 对；
当 且 时， ，所以 ，D 错.
故选：C
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【点睛】关键点点睛：根据递推式得到 为关键.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 数据 8，6，4，11，3，7，9，10 的上四分位数为 9
B. 某物理量的测量结果服从正态分布 ， 越大，该物理量在一次测量中在 的概率越
小
C. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为
，若其中一个散点坐标为 ，则
D. 将两个具有相关关系的变量 x，y 的一组数据 调整为
，决定系数 不变（附： ， ，
）
【答案】BD
【解析】
【分析】求出上四分位数判断 A；利用正态曲线的性质判断 B；利用散点图的性质判断 C；利用决定系数公
式计算判断 D.
【详解】对于 A，给定数据按由小到大排列为： ，由 ，得数据的上四分位数
为 ，A 错误；
对于 B， 越大，对应的正态曲线越“矮胖”，随机变量的分布越分散，
因此该物理量在一次测量中在 的概率越小，B 正确；
对于 C，散点不一定在回归直线上，将该点代入直线方程，方程不一定成立，C 错误；
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对于 D， ， 变成了 ，则 ， ，
因此 都不变，决定系数 不变，D 正确.
故选：BD
10. 如图，在正四棱柱 中，底面正方形 的边长为 为线段 上的
一个动点，则下列选项正确的是（ ）
A. 若直线 为平面 和平面 的交线，则平面 中不存在直线与 平行
B. 平面
C. 三棱锥 的体积为定值
D. 直线 与平面 所成角最大时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据线面平行的性质定理可判断 A，利用空间向量计算数量积可判断 B，根据三棱锥的体积公式计
算判断 C，根据线面角定义得出最值即可判断 D.
【详解】对于 A，因为 平面 ，且 平面 ，平面 平面 ，所以
；
又 与平面 相交，则平面 中不存在直线与 平行，即平面 中不存在直线与 平
行，故 A 正确；
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对于 B，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，因为 ， ，
所以 ， ， ， ，
则 ， ，
因为 ，所以 不成立，即 不成立，
所以 平面 不成立，故 B 错误；
对于 C，因为 ，且 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 为线段 上的一个动点，
所以点 到平面 的距离 为定值，
又 ，所以三棱锥 的体积为定值，故 C 正确；
对于 D，由选项 C 可知，点 到平面 的距离 为定值，
记直线 与平面 所成角为 ，
则 ，又正弦函数在 上单调递增，则 最大时， 最大，
所以当 最小时， 有最大值，此时 ，
此时，在 中， ，又 ，所以 ，
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在 中， ，从而 ，故 D 正确；
故选：ACD.
11. 对于数列 ，若存在常数 ，对任意的 ，恒有
，则称数列 为 数列.设 是数列 的前 n 项和，则下列结论正确的是（ ）
A. 首项为 1，公比为 的等比数列是 数列
B. 若数列 是 数列，则数列 是 数列
C. 若数列 是 数列，则数列 是 数列
D. 若数列 是 数列，数列 是 数列
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A 由题设 ，根据 数列及等比数列前 n 项和公式判断数列性质判断即可；对
于 B，设 ，由 数列性质判断即可；对于 C 由 数列性质判断及 和 的关系判断即可；
对于 D，由数列 是 数列可得存在 ，对任意的 ，有
，再由 ，
记 ，进而结合 数列性质判断即可.
【详解】对于 A：由题意，设 ，则
， ，
因此
，故 是 数列，故 A 正确；
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对于 B：设 ，则 ，易知数列 是 数列，
而此时 ，所以 ，
由 的任意性，知数列 不是 数列，故 B 错误；
对于 C：若数列 是 数列，则存在 ，
对任意的 ，有 ，
即 ，
所以 ，
所以数列 为 数列，故 C 正确；
对于 D：若数列 是 数列，则存在 ，
对任意的 ，有 ，
因为
，
记 ，
则有 ，
因此 .
故数列 是 数列，故 D 正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12. 若 ，则 ______.
【答案】
【解析】
分析】通过赋值法即可求解.
【详解】令 ，可得： ，
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令 ，可得： ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：
13. 已知平面向量 ， 满足 ， ，则 的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】把向量 ， 放在单位圆内，确定定点 ， ，用 ，在单位圆上选
择动点 ，用 ，结合向量加法法则及向量夹角的概念确定 的最大值.
【详解】
如图所示：圆 为单位圆，点 在单位圆上且 ， ，
所以 ，符合条件 ，
在单位圆上再取一点 ，令 ，
易知弦 所对的圆心角 ，弦 所对的圆周角 ，
因为 ，符合条件 ，
所以当线段 为圆的直径时 最大，最大值为 .
故答案为：
14. 已知函数 ，记 M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值.当 a､b 满足 M(a,b)≤2
时， 的最大值为____________ .
【答案】3
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【解析】
详解】由题意可得：对任意 x∈[−1,1]，有−2⩽x2+ax+b⩽2，
分别取 ，可得：−3⩽a+b⩽1 且−3⩽b−a⩽1,
易知 ，
且当 b=−1，a=2 时符合题意，
所以|a|+|b|的最大值为 3.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 已知函数 .
（1）求 的单调递减区间；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位后得到 的图象，当函数 在
上有一个零点时，求 k 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角函数的关系式的恒等变换，把函数关系变形成正弦型函数，结合正弦函数的单调性
即可求解；
（2）利用正弦函数的性质求出结果.
【小问 1 详解】
,
令 ，
解得： ，
所以 的单调递减区间为
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【小问 2 详解】
将函数 的图象向右平移 个单位后得到 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以要使函数 在 上有一个零点，则 与 只有一个交点，
结合正弦函数 图象：
可得当 或 ，即 或 ，
即 或 ， 或 时， 与 只有一个交
点，
所以实数 的取值范围为
16. 在四棱台 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， ，
， ，过 的平面 分别交 ， 于点 M，N，且 平
面 .
（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 MAC 与平面 夹角的余弦值.
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【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用已知条件可证 平面 ，建立空间直角坐标系，证明 与平面 的法向量
共线即可；
（2）利用（1）中的平面 的法向量求出点 的坐标，再求出平面 的法向量，即可求解.
【小问 1 详解】
平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
，
连接 ，连接 ，
在四棱台 中，平面 平面 ，
平面 平面 ，平面 平面 ，
，又由题意知 ， 四边形 是等腰梯形，
，同理 ，
， 平面 ， 平面 ，
底面 ABCD 是菱形， ，
以 为原点， ， ， 分别为 轴建立空间直角坐标系，如图，
菱形 的边长为 2， ， ， ，
， ， ，
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， ， ， ， ，
， ， ，
设 ， ，
设平面 法向量为 ，
，令 ，则 ， ，
， ，即 平面 ；
【小问 2 详解】
设 ， ， ，
， ， ，
， ，
又 在 上，设 ，即 ， ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
，令 ，则 ， ，
，
，
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平面 MAC 与平面 夹角的余弦值 .
17. 已知椭圆 的离心率为 ，A 为椭圆 E 上一点，且点 A 到椭圆 E 的两个焦点的
距离之和等于 .
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）若直线 与椭圆相交于 P，Q 两点，求线段 PQ 的中点 N 的轨迹方程；
（3）若 A 关于原点 O 的对称点为 B，过点 A 与 AB 垂直的直线与椭圆 E 的另一个交点为 C， 轴于
点 H，直线 BC 与 x 轴交于点 M.用 与 分别表示 与 的面积，证明：
.
【答案】（1）
（2） .
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用椭圆的定义及离心率的意义求出 ，即可得到椭圆方程.
（2）联立直线 与椭圆 的方程，利用韦达定理求出弦中点坐标，进而求出轨迹方程.
（3）先设点 、 、 坐标，再设直线 方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到 、 表达式，
再利用向量垂直的坐标表示解出 与 的关系，排除直线 过原点的情况后，确定 时直线
方程，求出点 坐标，最后根据三角形面积公式得出 .
【小问 1 详解】
依题意， ，解得 ，由离心率为 ，得 ，则 ，
所以椭圆 的方程为 ．
【小问 2 详解】
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由 消去 得 ，设 ，
，解得 ，
，
由 是线段 的中点，得 ，因此 ， ，
所以线段 PQ 的中点 N 的轨迹方程为 .
【小问 3 详解】
由题意，设点 ，则点 ， ，
设直线 的方程为 ，点 ，
由 ，得 ，
则 ， ，
， ．
由 ，得 ，
整理得 ，解得 或 ，
当 时，直线 过原点，不符合题意；
当 时，直线 的方程为 ，则点 坐标为 ，
因此 ， ．
所以 .
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18. 一只猫和一只老鼠在两个房间内游走，每经过 1 分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动，猫从当前房
间移动到另一房间的概率为 0.6，留在该房间的概率为 0.4，若是一只猫和老鼠都在一个房间，那么下一分
钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为 0.5，已知
在第 0 分钟时，猫在 0 号房间，老鼠在 1 号房间.设在第 n 分钟时，猫和老鼠在 0 号房间的概率分别为 ，
.
（1）求第 1 分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为 1 的概率；
（2）求证： 为等比数列，并求 表达式；
（3）在第几分钟时，老鼠在 0 号房间的概率最大？
【答案】（1）
（2）证明见解析，
（3）第 2 分钟
【解析】
【分析】（1）求出猫和老鼠分别在 0 与 0、0 与 1、1 与 0、1 与 1 号房间的概率，再利用全概率公式计算得
解.
（2）根据给定条件，求出 递推关系，再利用等比数列的定义推理得证.再根据等比数列定义即可求
得结果.
（3）由（2）的通项公式，按取奇数和偶数分类求出最大值.
【小问 1 详解】
在第 0 分钟时，猫在 0 号房间，老鼠在 1 号房间，设 为第 1 分钟时，
猫在 i 号房间，老鼠在 j 号房间，则
，
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设第 1 分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为 X，则 ，
所以第 1 分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为 1 的概率 0.5.
【小问 2 详解】
依题意，
当 时，猫在第 n 分钟时位于 0 号房间包含两种情况：
上一分钟在 0 号房间，继续保持在 0 号房间的概率为 ；
上一分钟在 1 号房间，转移到 0 号房间的概率为 ；
由全概率公式，得 ，则 ，
而 ，因此数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
满足上式，则 ，
老鼠第分钟在 0 号房间包含 3 种情况：
上一分钟猫和老鼠都在 1 号房间，老鼠转移到 0 号房间的概率为 ，
上一分钟猫在 0 号房间，老鼠在 1 号房间，老鼠转移到 0 号房间的概率为 ，
上一分钟猫在 1 号房间，老鼠在 0 号房间，老鼠仍在 0 号房间的概率为 ，
由全概率公式，得 ，
即 ，则 ，
即 ，而 ，
因此数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
，而 也满足上式，
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则 ，
又 ，
所以 以 为首项， 为公比的等比数列.
【小问 3 详解】
由（2）知 ，显然 不是其最大值，
设 ，当 n 为奇数时， ，
当且仅当 时取等号， 最大值为 0；当 n 为偶数且 时， ，
当 时， ， 最大值为 ，
则 的最大值为 ,所以在第 2 分钟时，老鼠在 0 号房间的概率最大.
19. 已知函数 （ ）.
（1）若 ，求 的图象在 处的切线方程；
（2）若 有两个极值点 ， （ ）.
①求 的取值范围；
②求证： .
【答案】（1）
（2）① ；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用切点和导数几何意义即可求解；
（2）①令 ，由题意可知， 在 有两个不相等的实数根，根据
的单调性结合零点的存在性定理分类讨论求解即可；
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②由①分析得 ， ，令 ，可得 在 上单调
递增，因为 ，所以 ，根据不等式性质计算即可得证.
【小问 1 详解】
若 ，则 ，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 的图象在 处的切线方程为 ，即 .
【小问 2 详解】
①由题意知 .
令 ，则 .
因为 有两个极值点 ， （ ），所以 有两个不等正实根 ， （ ）.
若 ， ，则 在 上单调递增，
所以 在 上至多有一个零点，不符合题意；
若 ，令 ，解得 ，所以当 时， ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以 时， 取得极大值，即最大值为 ，
所以 ，解得 .
当 时， ，又 ，所以 ，
由零点存在性定理知：存在唯一的 ，使得 .
又 ，令 ，
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所以 ，所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，所以 ，
由零点存在性定理知：存在唯一的 ，使得 .
所以当 时， 有两个不等正实根 ， .
综上， 的取值范围是 .
②证明：由①知 ，且 ，所以 ，
因为 在 上为增函数，及 ，所以 ，
又 ，所以 .
因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，所以 .
令 （ ），
所以 ，所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
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所以 ，所以 .
所以 .
【点睛】本题证明的关键在于构造函数 ，进而求证 ，再
运用不等式性质即可证明.
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