湖北省襄阳市第四中学2025届高三下学期适应性考试（二）数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 在复平面内所对应的点位于（ ）
2. 设集合，集合，则与的关系为（ ）
3. 已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
4. 抛掷2颗骰子，观察掷得的点数，记事件为“2个骰子的点数不相同”，事件为“点数之和大于8”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率是（ ）
5. 已知为锐角，，，则（ ）
6. 已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（ ）
7. 已知拋物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交拋物线于点、（在轴上方），且点的横坐标为3，是轴正半轴上一点，为坐标原点，的角平分线过的中点，则点的坐标为（ ）
8. 已知函数的定义域为，，，则（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 下列说法正确的是（ ）
10. 如图，在正四棱柱中，底面正方形的边长为为线段上的一个动点，则下列选项正确的是（ ）

11. 对于数列，若存在常数，对任意的，恒有，则称数列为数列.设是数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 若，则______.
13. 已知平面向量，满足，，则的最大值为______.
14. 已知函数，记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值.当a､b满足M(a,b)≤2时，的最大值为____________ .
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 已知函数.
(1)求的单调递减区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，当函数在上有一个零点时，求k的取值范围.
16. 在四棱台中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，，过的平面分别交，于点M，N，且平面.

(1)证明：平面；
(2)求平面MAC与平面夹角的余弦值.
17. 已知椭圆的离心率为，A为椭圆E上一点，且点A到椭圆E的两个焦点的距离之和等于.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线与椭圆相交于P，Q两点，求线段PQ的中点N的轨迹方程；
(3)若A关于原点O的对称点为B，过点A与AB垂直的直线与椭圆E的另一个交点为C，轴于点H，直线BC与x轴交于点M.用与分别表示与的面积，证明：.
18. 一只猫和一只老鼠在两个房间内游走，每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动，猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4，若是一只猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5，已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第n分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，.
(1)求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率；
(2)求证：为等比数列，并求表达式；
(3)在第几分钟时，老鼠在0号房间的概率最大？
19. 已知函数（）.
(1)若，求的图象在处的切线方程；
(2)若有两个极值点，（）.
①求的取值范围；
②求证：.
湖北省襄阳市第四中学2025届高三下学期适应性考试（二）数学试题
整体难度：适中
考试范围：复数、三角函数与解三角形、集合与常用逻辑用语、平面解析几何、计数原理与概率统计、空间向量与立体几何、函数与导数、数列、不等式选讲、平面向量、竞赛知识点
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．或
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．数据8，6，4，11，3，7，9，10的上四分位数为9
B．某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越小
C．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则
D．将两个具有相关关系的变量x，y的一组数据调整为，决定系数不变（附：，，）
A．若直线为平面和平面的交线，则平面中不存在直线与平行
B．平面
C．三棱锥的体积为定值
D．直线与平面所成角最大时，
A．首项为1，公比为的等比数列是数列
B．若数列是数列，则数列是数列
C．若数列是数列，则数列是数列
D．若数列是数列，数列是数列
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
3
适中
11
较难
4
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
复数代数形式的乘法运算；判断复数对应的点所在的象限
2
0.94
找出终边相同的角
3
0.85
根据必要不充分条件求参数；二元二次方程表示的曲线与圆的关系
4
0.65
计算条件概率
5
0.65
已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦；单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质；已知正（余）弦求余（正）弦
6
0.65
求空间向量的数量积；空间向量模长的坐标表示
7
0.65
与抛物线焦点弦有关的几何性质
8
0.4
函数周期性的应用；比较函数值的大小关系；求等差数列前n项和
二、多选题
9
0.85
相关指数的计算及分析；总体百分位数的估计；解释回归直线方程的意义；正态曲线的性质
10
0.65
锥体体积的有关计算；求线面角；空间位置关系的向量证明；线面平行的性质
11
0.4
数列新定义；求等比数列前n项和；绝对值三角不等式
三、填空题
12
0.65
二项展开式各项的系数和
13
0.65
向量加法法则的几何应用；已知数量积求模；向量夹角的计算；数量积的坐标表示
14
0.65
函数的最大值和最小值
四、解答题
15
0.65
结合三角函数的图象变换求三角函数的性质；求sinx型三角函数的单调性；辅助角公式
16
0.4
空间位置关系的向量证明；面面角的向量求法
17
0.65
椭圆中三角形（四边形）的面积；求弦中点所在的直线方程或斜率；根据离心率求椭圆的标准方程
18
0.65
写出等比数列的通项公式；利用全概率公式求概率；等比数列奇、偶项和的性质及应用
19
0.4
函数单调性、极值与最值的综合应用；利用导数证明不等式；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数研究函数的零点
序号
知识点
对应题号
1
复数
1
2
三角函数与解三角形
2,5,15
3
集合与常用逻辑用语
3
4
平面解析几何
3,7,17
5
计数原理与概率统计
4,9,12,18
6
空间向量与立体几何
6,10,16
7
函数与导数
8,19
8
数列
8,11,18
9
不等式选讲
11
10
平面向量
13
11
竞赛知识点
14