湖北省2025届高三数学下学期5月联考试卷含解析

这是一份湖北省2025届高三数学下学期5月联考试卷含解析，共21页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号
条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效.
一､单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 已知全集 ，集合 ，若 ，则 的取值范围是（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式先求出集合 ，进而可得 ，再由 ，列不等式即可求出答案.
【详解】由 ，得 ，所以 ，则 或 ，
由 ，得 ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 ．
故选：D．
2. 复数 满足 ，则复数 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
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【解析】
【分析】利用模长公式得 ，结合条件，利用复数的运算，即可求解.
【详解】因为 ，由 ，得到 ，
故选：C.
3. 已知向量 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，得 ，利用向量的模长公式及数量积的坐标运算，得 ，
， ，再利用夹角公式，即可求解.
【详解】因为 ，则 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，
故选：D.
4. 已知 是无穷数列， ，则“对任意的 、 ，都有 ”是“ 是等差数列”
的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用等差数列的定义、特例法结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出合适的选项.
【详解】若对任意的 、 ，都有 ，不妨取 ，则 ，
所以， ，此时， 是等差数列，
即“对任意的 、 ，都有 ” “ 是等差数列”；
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若 是等差数列，不妨取 ，则 ，
，
即“对任意的 、 ，都有 ” “ 是等差数列”.
综上所述，“对任意的 、 ，都有 ”是“ 是等差数列”的充分不必要条件.
故选：A.
5. 将函数 的图象向左平移 个单位长度后与函数 的图象重
合，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用图象平移法则，得到向左平移 个单位长度后的函数为 ，再结合条
件得到 ，即可求解.
【详解】将函数 的图象向左平移 个单位长度后，
得到 ，
由题有 ，即 ，取 ，得到 ，
故选：A.
6. 在正三棱台 中， 分别为棱 的中点， ，四边形 为正方形，则
与平面 所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】延长 交于点 ，，根据正棱台可判断三棱锥 为正三棱锥，根据棱长进而判
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断为正四面体，由正四面体的性质即可结合长度以及线面角的定义求解.
【详解】由题意可知，延长 必交于一点 ，
由 可知， 分别是 的中点，
又点 为线段 的中点，所以 ，
因 分别为棱 的中点，则 ，
又四边形 为正方形，所以 ，所以 ，
由于三棱锥 为正三棱锥，因此三棱锥 为正四面体，
因此直线 与平面 所成的角即为直线 与平面 所成角，
取 的中心为 ，连接 ，则 平面 ，
所以 为直线 与平面 所成角，
设正四面体 的棱长为 ，
在 中， ， ，
在 中， ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
故选：B
7. 已知圆 ，圆 ，动圆 M 与圆 ，圆 都相切，若
动圆圆心 M 的轨迹是两个椭圆，且这两个椭圆的离心率分别为 ，则 的值为（ ）
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A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】画出图形，当动圆 M 与圆 内切，与圆 外切，此时离心率为 ，当动圆 M 与
圆 ， 均内切， ，求出答案.
【详解】 ，如图 1，动圆 M 与圆 内切，与圆 外切，
此时 ， ， ，
，
故圆心 M 的轨迹为以 为焦点的椭圆方程，此时 ，
故 ，故离心率为 ，
如图 2，当动圆 M 与圆 ， 均内切，
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，
则
，
故圆心 M 的轨迹为以 为焦点的椭圆方程，此时 ，
故 ，故离心率为 ，
.
故选：B
8. 已知 ，且 ，则下列可能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性，再结合函数 的图像，逐个判断即可.
【详解】函数的定义域为 R，
，
函数 奇函数，
又 ，
所以可得： ，
画出 的图像，
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当 ， ， 时， 不成立，
当 时， 可能成立，
故选：D
二､多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对
的得 6 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 已知 分别是事件 的对立事件，下列命题正确的有（ ）
A. 若 互斥，则
B. 若 ，则
C. 若 相互独立，则
D. 若 互斥，则 不相互独立
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据互斥事件的定义分析即可判断 A，特殊化举例可判断 B，根据独立事件同时发生的公式及事件
和的概率公式判断 C，根据独立事件的判断公式判断 D.
【详解】因为 互斥，所以 ，所以 发生时 一定发生，即 ，所以
，故 A 正确；
不妨以掷一颗骰子为例，记出现偶数点为事件 A，出现 2 点为事件 B，则 ,
，此时 ，故 B 错误；
因为 相互独立，则 ,
而 ，
所以 ，故 C 正确；
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因为 互斥，所以 ，而 ，所以 ,
即 ，所以 不相互独立，故 D 正确.
故选：ACD
10. 在棱长为 2 的正方体 中， 分别是棱 的中点，动点 在
正方体表面运动，则（ ）
A. 与 为异面直线
B. 与 所成 角为
C. 平面 截该正方体所得截面形状为等腰梯形
D. ，则 点轨迹长度为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据异面直线定义可判断 A 正确，作与 平行的直线 ，作出异面直线的平面角并由勾股定
理可判断 B 正确，作出截面形状可知平面 截该正方体所得截面形状为正六边形，可得 C 错误，利用向
量共线定理可找出 点轨迹为线段 ，求出其长度可得结果，即 D 正确.
【详解】对于 A，由异面直线定义可知 与 不同在任何一个平面内，它们是异面直线，即 A 正确；
对于 B，取 的中点为 ，连接 ，如下图所示：
由正方体性质可知 ，又 ，所以 ，
因此 与 所成的角即为 与 所成的角，即 或其补角，
易知 ，满足 ，即 ，
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所以 ，因此 与 所成的角为 ，即 B 正确；
对于 C，分别取 的中点为 ，连接各中点，如下图所示：
易知 ， ，即可知 在同一平面内，
所以平面 截该正方体所得截面即为六边形 ，
又 ，所以截面形状为正六边形，即 C 错误；
对于 D，因为 为 的中点，所以 ，
由 可知 ，
即 ，因此可知 共线，
所以 点轨迹为过点 且与 平行的线段，
取 的中点为 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ，如下图所示：
由正方体性质易知 ，又 为 的中位线，所以 ， ；
因此 点轨迹即为线段 ，且 ，
所以 点轨迹长度为 ，可得 D 正确.
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故选：ABD
11. 已知函数 ，过点 作平行于 轴的直线交曲线 于点 ，曲线
在点 处的切线 交 轴于点 则（ ）
A. 当 时，切线 的方程为
B. 当 时， 的面积为
C. 点 的坐标为
D. 面积的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求得切线为 ，进而依次判断 A、B、C 的正误，由
，令 ，构造 并应用导数研究其最小值，即可得面积最小值判断
D.
【详解】令 ，可得 ，则 ，且 ，则 ，
所以曲线 在点 处的切线 为 ，令 ，则 ，
综上， ， ，显然 C 错；
所以 ，令 ，则 ，
令 且 ，则 ，
当 时， ，即 在 上单调递减，
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当 时， ，即 在 上单调递增，
所以 ，故 ，D 对；
当 ，则 ， ， ，且 ，则 ，A 错；
所以 的面积为 ，B 对；
故选：BD
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 一组数据按照从小到大的顺序排列为 ，记这组数据的上四分位数为 ，则二项式
展开式的常数项为__________.
【答案】60
【解析】
【分析】根据百分位数定义可得 ，再由通项可求得第 5 项为常数项，计算可得结果.
【详解】易知 ，所以 上四分位数为第 5 个数，即 ；
所以二项式为 ，
设展开式中的第 项为常数项，即 为常数项，
令 ，解得 ，
即常数项为 .
故答案为：60
13. 已知点 不在抛物线 上，抛物线 的焦点为 .若对于抛物线上的一点
的最小值为 5，则 的值等于__________.
【答案】
【解析】
【分析】分两种情况，若点 在抛物线的张口外部，最小值为 可求得 ；若点 在抛物线的张口内
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部，则利用抛物线的定义转化求最小值，最小值为 ，最后再检验 值即可.
【详解】①如图，若点 在抛物线的张口外部，即 ，即 ，
则当点 三点共线时， 有最小值，最小值 ，
因 ，则 ，解得 或 ，
均不符合题意；
②如图，若点 在抛物线的张口内部，即 ，即 ，
过点 作 ，垂足为 ，其中直线 为抛物线的准线，
则由抛物线的定义可知， ，
所以当 三点共线时， 有最小值，
则 ，得 ，符合题意，
故 的值等于 .
故答案为：
14. 如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位长度，记
为第 次跳跃后对应数轴上的数字 ，则满足 的跳跃方法有__________
种.
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【答案】
【解析】
【分析】先分两类：① ， ，② ， ，然后每类分两步，根据组合数公式列式
求出结果，再利用分类计算原理可得结果.
【详解】由 ，得到 或 ，
若 ， ，即前 次跳跃， 次向左， 次向右，
后面 次跳跃全部向右，有 种，
若 ， ，即前 次跳跃， 次向右， 次向左，
后面 次跳跃 次向左， 次向右，有 种，
所以满足 的跳跃方法有 种，
故答案为： .
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，
（1）若 为 内的一点，且 ，求 ；
（2）求角 的最大值.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【 分 析 】（ 1） 利 用 三 角 形 内 角 性 质 以 及 三 角 函 数 诱 导 公 式 ， 根 据 余 弦 定 理 ， 整 理 等 式 ， 由
化简计算可得答案；
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（2）利用余弦定理结合不等式求解即可.
【小问 1 详解】
可化 ，
在 中， ，得 ，
又 ，所以 ，因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
则 ；
【小问 2 详解】
化为边的关系 ，
又 ，
因为 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立，所以 .
16. 已知函数 （ 为自然对数的底数）.
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
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（2）
【解析】
【分析】（1）求导，利用导数几何意义得到切线斜率，得到切线方程；
（2）转化为 在 上恒成立，设 ，二次求导，分
和 两种情况，得到函数单调性，结合特殊点函数值，得到答案.
【小问 1 详解】
当 时， ，
则 ，
所以切线方程为 ，即 ；
【小问 2 详解】
当 时， 恒成立，即 在 上恒成立，
设 ，则 ，
令 ，则 .
①当 时，因为 ，则 ，
可知 在 上单调递减，则 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，即 恒成立，所以 满足题意；
②当 时，令 ，解得： ，
当 时， ，则 单调递增，
此时 ，则 在 上单调递增，所以 ，
即当 时， ，即 不恒成立，可知 不合题意.
综上所述， .
17. 甲乙两人参加单位组织的知识答题活动，每轮活动由甲乙各答一个题，已知甲、乙第一轮答对的概率都
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为 .甲如果第 轮答对，则他第 轮也答对的概率为 ，如果第 轮答错，则他第 轮也
答错的概率为 ；乙如果第 轮答对，则他第 轮也答对的概率为 ，如果第 轮答错，则他第 轮
也答错的概率为 .在每轮活动中，甲乙答对与否互不影响.
（1）若前两轮活动中第二轮甲乙都答对，求两人第一轮也都答对的概率；
（2）如果在每一轮活动中至少有一人答对，游戏就可以一直进行下去，直到他们都答错为止.设停止游戏时
进行了 轮游戏，求证： .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设 “甲在第 轮活动中答对”， “乙在第 轮活动中答对”， “甲乙在第 轮活动中
都答对”， ，利用相互独立事件的概率公式求出 及 ，再由条件概率公式计算可得；
（ 2） 推 导 可 得 ， ， 则 每 一 轮 甲 乙 都 答 错 的 概 率 为 ， 所 以
，再由错位相减法求出 ，即可得证.
【小问 1 详解】
设 “甲在第 轮活动中答对”， “乙在第 轮活动中答对”，
“甲乙在第 轮活动中都答对”， ，
则
，
又 ，
故 ；
【小问 2 详解】
第二轮甲答对的概率为 ，
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第二轮乙答对的概率为 ，
依此类推得到 ， ，
每一轮甲乙都答错的概率为 ，
因此 ，
则 ①
所以 ，②
① ②得 ，
其中 ，
所以 .
18. 把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱 中底面长轴 ，短
轴长 为下底面椭圆的左右焦点， 为上底面椭圆的右焦点， 为 上的中点， 为
直线 上的动点， 为过点 的下底面的一条动弦（不与 重合）.
（1）求证： 平面 .
（2）若点 是下底面椭圆上的动点， 是点 在上底面的投影，且 与下底面所成的角分别为
，试求出 的最小值.
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（3）求三棱锥 的体积的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）连接 ，则四边形 为平行四边形，根据平行四边形性质及基本事实 4 可知
，然后根据线面平行的判定定理证明即可.
（2）令 ，则 ， ， ，然后由两角和的正切公式得
，然后利用基本不等式求解最值.
（3）利用等体积法得 ，问题化为求 、 到平面 距离之和都最
大，应用直线与椭圆位置关系求 最大，即可得解.
【小问 1 详解】
由题设，长轴长 ，短轴长 ，则 ，
所以 分别是 的中点，而柱体中 为矩形，连接 ，
由 ，
故四边形 为平行四边形，则 ，
当 为 的中点时，则 ，故 ，
面 面 ，故 平面 .
【小问 2 详解】
由题设，令 ，则 ，又 ，
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所以 ， ，则 ，
因为 ，
当且仅当 ，即 上式取等号，所以 .
【小问 3 详解】
由 ，
正方形 中 为中点，易得 与 重合时 与 垂直，
此时 ，
则 最大值为 ，
构建如上图空间直角坐标系且 ，底面椭圆方程为 ，
设 ，
设 ，联立椭圆得 ，且 ，
所以 ，
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而 ，
所以 ，令 ，则 ，
由对勾函数性质知 在 上递增，故 ，
由 ，
综上， .
19. 已知数列 ，其中 ，且 .若数列 满
足 ，当 时， 或 ，则称数列 为数列 的“调
节数列”.例如，数列 的所有“调节数列”为 ；或者 ；或者 ；或者 .
（1）直接写出数列 的所有“调节数列” ；
（2）若数列 满足通项 ，将数列 的“调节数列”中的递增数列记为 ，数列 中的各
项和为 ，求所有 的和；
（3）已知数列 满足： ，若数列 的所有“调节数列” 均为递增数列，求所有符合条件
的数列 的个数.
【答案】（1）
（2）
（3）所有符合条件的数列 共有 个
【解析】
【分析】（1）根据“调和数列” 的定义，即可求解；
（2）根据条件依次写出满足条件的 ，再根据分组转化法求和；
（3）首先由数列 为递增数列，则条件 ①， ②， ③都恒成立，
再由 ④分析，得到 的不同取法种数，即可求解符合条件的数列 的个数.
【小问 1 详解】
.
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【小问 2 详解】
因为 ，由题意 共 个数，
而 共有 项，则“调节数列” 共有 种情况
不妨设 ；则
；则
依此类推 ；则
故
【小问 3 详解】
依题意，对任意 ，
有 或 或 ，
因为 均为递增数列，所以 ，即同时满足：
①， ②， ③， ④.
因为 为递增数列，因此①和②恒成立.
又因为 为整数数列，对于③， 也恒成立.
对于④，一方面，由 ，得 ，即 .
另一方面， ，
所以 ，
即 从第 2 项到第 项是连续的正整数，
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所以 ，
因此 ，
故 共有 种不同取值，即所有符合条件的数列 共有 个.
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