上海市建平中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题（含答案解析）

这是一份上海市建平中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题（含答案解析），共18页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题(本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分)
1. 已知直线的倾斜角大小是，则___________.
2. 已知等边的平面直观图的面积为，则等边的面积是_________.
3. 已知两条平行直线，分别过点，，且与的距离为，则直线的斜率是__________．
4. 从2，3，8，12中任取两个不同的数字，分别记为a，b，用表示该试验的样本点，则事件“为有理数”可表示为_________.
5. 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率是__________.（结果用最简分数表示）.
6. 已知圆的面积为，则__________．
7. 双曲线的右焦点F到其一条渐近线的距离为_____________．
8. 已知椭圆的左、右焦点分别为,，直线与交于两点,.若△的面积是△面积的3倍,则___________.
9. 在空间中，给出下面四个命题：①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行：③垂直于同一个平面的两条直线平行；④平行于同一个平面的两条直线平行：其中正确的命题是_________（填序号）
10. 已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，、分别是两底面的直径，、是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是_______.（结果保留根式）.
11. 我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑（nà）”的几何体，它指的是由四个直角三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，所组成的四面体中“鳖臑”的个数是________.
12. 已知实数x、y满足，则的取值范围是________．
二、单选题(本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分)
13. 如果曲线上任一点的坐标都是方程的解，那么下列命题中正确的是
14. 已知两点，过动点作轴的垂线，垂足为，若，当时，动点的轨迹为（ ）
15. 掷两颗骰子，观察掷得的点数.设事件为：至少一个点数是奇数；事件为：点数之和是偶数；事件的概率为，事件的概率为，则 （ ）
16. 若一个四面体的四个侧面是全等的三角形，则称这样的四面体为“完美四面体”，现给出四个不同的四面体，记的三个内角分别为，，，其中一定不是“完美四面体”的为（ ）
三、解答题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)
17. 直线l：与双曲线C：相交于A，B两点.
(1)a为何值时，以为直径的圆过原点；
(2)是否存在这样的实数a，使A，B关于直线对称，若存在，求a的值，若不存在，说明理由.
18. 如图，在三棱柱中，，在底面的射影为的中点，M为的中点：
（1）求该三棱柱的表面积；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19. 某餐厅提供自助餐和点餐两种服务，其单人平均消费相近，为了进一步提高菜品及服务质量，餐厅从某日中午就餐的顾客中随机抽取了100人作为样本，得到以下数据表格．
（单位：人次）
（1）由样本数据分析，三种年龄层次的人群中，哪一类更倾向于选择自助餐?
（2）为了和顾客进行深入沟通交流，餐厅经理从点餐不满意的顾客中选取2人进行交流，求两人都是中年人的概率；
（3）若你朋友选择到该餐厅就餐，根据表中的数据，你会建议你朋友选择哪种就餐方式?
20. 交通拥堵指数（）是表征交通拥堵程度的客观指标，越大代表拥堵程度越高.某平台计算的公式为：，并按的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：
某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路的统计数据如图：
(1)从22年元旦及前后共7天中任取1天，求该天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率：
(2)从23年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路比22年同日高的天数记为X，求所有X的可能值及其发生的概率：
(3)把12月29日作为第1天，将23年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路依次记为，，…，，将2022年同期依次记为，，…，，记（，2，…，7），.请直接写出取得最大值时i的值.
21. 已知椭圆：.
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设、分别为的左、右顶点，E为椭圆上一点且在第一象限内，若，求点E的坐标；
(3)设椭圆的右焦点为F，过点F的直线与椭圆相交于P、Q两点，点Q关于x轴的对称点为，且直线不与x轴平行.求证：直线过x轴上的定点并求面积的最大值.
上海市建平中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：平面解析几何、三角函数与解三角形、空间向量与立体几何、计数原理与概率统计、平面向量
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．曲线的方程为
B．的曲线是
C．以方程的解为坐标的点都在曲线上
D．曲线上的点都在方程的曲线上
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
满意度
老年人
中年人
青年人
自助餐
点餐
自助餐
点餐
自助餐
点餐
10分（满意）
12
1
20
2
20
1
5分（一般）
2
2
6
3
4
12
0分（不满意）
1
1
6
2
3
2
不低于4
拥堵等级
畅通
缓行
拥堵
严重拥堵
题型
数量
填空题
12
单选题
4
解答题
5
难度
题数
容易
3
较易
7
适中
7
较难
4
题号
难度系数
详细知识点
一、填空题
1
0.85
直线的一般式方程及辨析；二倍角的正切公式
2
0.94
斜二测画法中有关量的计算
3
0.65
由距离求已知直线的平行线
4
0.85
写出基本事件
5
0.85
组合数的计算；计算古典概型问题的概率
6
0.65
由标准方程确定圆心和半径；圆的一般方程与标准方程之间的互化
7
0.94
求点到直线的距离；已知方程求双曲线的渐近线；求双曲线的焦点坐标
8
0.85
根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围
9
0.65
线面关系有关命题的判断；面面关系有关命题的判断
10
0.85
圆柱的展开图及最短距离问题
11
0.4
线面垂直证明线线垂直；实际问题中的组合计数问题
12
0.4
根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围；根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围
二、单选题
13
0.94
曲线与方程的概念
14
0.85
数量积的坐标表示；求双曲线的轨迹方程
15
0.85
计算古典概型问题的概率
16
0.4
正弦定理边角互化的应用；棱锥的结构特征和分类
三、解答题
17
0.65
双曲线中的参数及范围；根据韦达定理求参数；根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围
18
0.65
棱柱表面积的有关计算；求线面角
19
0.65
计算古典概型问题的概率；均值的实际应用
20
0.65
计算古典概型问题的概率；求离散型随机变量的均值；根据平均数求参数；写出简单离散型随机变量分布列
21
0.4
求椭圆的离心率或离心率的取值范围；椭圆中三角形（四边形）的面积；数量积的坐标表示；椭圆中的直线过定点问题
序号
知识点
对应题号
1
平面解析几何
1,3,6,7,8,12,13,14,17,21
2
三角函数与解三角形
1,16
3
空间向量与立体几何
2,9,10,11,16,18
4
计数原理与概率统计
4,5,11,15,19,20
5
平面向量
14,21