上海市建平中学2024-2025学年高二下学期第一次教学质量检测数学试题（含答案解析）

这是一份上海市建平中学2024-2025学年高二下学期第一次教学质量检测数学试题（含答案解析），共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题(本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分)
1. 已知集合，，则_____.
2. 曲线在点（1，1）处的切线的斜率为______.
3. 在中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若，则_____.
4. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为4，则该圆锥的侧面积为_____.
5. 函数的驻点为______．
6. 函数为奇函数，则_____.
7. 在三棱锥中，平面ABC，，，则点到平面的距离等于_____.
8. 如图，已知正三角形和正方形的边长均为4，且二面角的大小为，则_____.
9. 如图，已知正方体，空间中一点满足，且，当取最小值时，点位置记为点，则数量积的不同取值的个数为_____.
10. 已知函数有四个零点，则实数的取值范围是_____.
11. 在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数为“函数”.若函数为“函数”.则实数的取值范围是_____.
12. 若E，F为平面上两个定点，则满足为常数的动点的轨迹是直线，满足的动点的轨迹是圆.将此性质类比到空间中，解决下列问题：已知点O，A，B，C为空间中四个定点，，且，，两两的夹角都是，若动点满足，动点满足，则的最小值是_____.
二、单选题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分)
13. 已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底是（ ）
14. 已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ）
15. 已知，不共线，当时，称有序实数对为点的广义坐标，若点A、B的广义坐标分别为、，对于下列命题：
①线段的中点的广义坐标为；
②向量平行于向量的充要条件为；
③向量垂直于向量的充要条件为；
其中假命题的个数为（ ）
16. 已知函数，若对任意两个不相等的实数，都有，则实数的最大值为（ ）
三、解答题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)
17. 如图，在长方体中，四边形的周长为12.，长方体的体积为.

(1)求函数的表达式，并写出的取值范围.
(2)求函数在上的平均变化率，及在处的瞬时变化率.
18. 在平行六面体中，，，.记向量，向量，向量.
(1)取的中点，用向量，，来表示向量；
(2)求.
19. 如图，某市准备在道路的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数，时的图象，且图象的最高点为，赛道的中部分为长千米的直线跑道，且，赛道的后一部分是以为圆心的一段圆弧．
（1）求的值和的大小；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求当“矩形草坪”的面积取最大值时的值．
20. 在平面直角坐标系中有两个定点、，已知动点在平面中且到、两点的斜率乘积为，点为定点.
(1)求动点的轨迹方程.
(2)如图，在空间中有一点在平面上方，满足平面，且.
（i）探究直线与的夹角是否为定值？若是定值，求出夹角的大小；若不是定值，说明理由.
（ii）在平面上过点作直线.当点到直线距离最大时，求直线与平面夹角的正切值.
21. 已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)求函数（其中）的单调区间；
(3)定义：若一条直线同时是两条（或两条以上）曲线的切线，则这条直线叫做这两条（或两条以上）曲线的公切线.判断与是否存在公切线、如果不存在，请说明理由；如果存在，请指出公切线的条数.
上海市建平中学2024-2025学年高二下学期第一次教学质量检测数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、空间向量与立体几何、计数原理与概率统计、平面解析几何、平面向量
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
A．
B．
C．
D．
A．0
B．1
C．2
D．3
A．0
B．
C．1
D．2
题型
数量
填空题
12
单选题
4
解答题
5
难度
题数
容易
3
较易
7
适中
6
较难
4
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、填空题
1
0.85
交集的概念及运算；解不含参数的一元二次不等式
2
0.94
求曲线切线的斜率（倾斜角）
3
0.85
余弦定理解三角形
4
0.85
圆锥表面积的有关计算
5
0.94
函数极值点的辨析
6
0.94
由余弦（型）函数的奇偶性求参数
7
0.85
锥体体积的有关计算；求点面距离
8
0.65
求二面角；求空间向量的数量积
9
0.65
求空间向量的数量积；几何计数问题；棱柱的结构特征和分类；空间共面向量定理的推论及应用
10
0.65
根据函数零点的个数求参数范围；利用导数研究函数的零点；由导数求函数的最值（不含参）
11
0.65
由函数在区间上的单调性求参数；函数新定义
12
0.4
点到平面距离的向量求法；立体几何中的轨迹问题；线面垂直证明线线垂直
二、单选题
13
0.85
判定空间向量共面；空间向量基底概念及辨析
14
0.64
导数的概念和几何意义
15
0.65
垂直关系的向量表示；向量新定义；平面向量共线定理的推论
16
0.4
由函数的单调区间求参数；由函数在区间上的单调性求参数
三、解答题
17
0.85
平均变化率；瞬时变化率的概念及辨析；柱体体积的有关计算
18
0.85
空间向量数量积的应用；用空间基底表示向量；求空间向量的数量积
19
0.4
求含sinx(型)函数的值域和最值；由图象确定正（余）弦型函数解析式；三角函数在生活中的应用；辅助角公式
20
0.15
线面角的向量求法；求平面轨迹方程；异面直线夹角的向量求法；轨迹问题——椭圆
21
0.4
两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题；含参分类讨论求函数的单调区间；求已知函数的极值
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
等式与不等式
1
3
函数与导数
2,5,10,11,14,16,17,21
4
三角函数与解三角形
3,6,19
5
空间向量与立体几何
4,7,8,9,12,13,17,18,20
6
计数原理与概率统计
9
7
平面解析几何
12,20
8
平面向量
15