福建省厦门双十中学2026届高三上学期暑期阶段性训练（开学）数学试卷（Word版附解析）

这是一份福建省厦门双十中学2026届高三上学期暑期阶段性训练（开学）数学试卷（Word版附解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】对于A，，故A错误，
对于B，或，所以，故B错误，
对于C，，但，故C错误，
对于D，，故D正确，
故选：D
2. 已知，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由题意可知，，
所以，
而在方向上的投影向量为.
故选：D
3. 已知是各项均为正整数的递增数列，前项和为，若，当取最大值时，的最大值为（ ）
A. 63B. 64C. 71D. 72
【答案】C
【详解】因为是定值，要使当取最大值时也取得最大值，需满足各项尽可能取到最小值，又因为是各项均为正整数的递增数列，所以，即是首相为，公差为的等差数列，其中；的前项和为；
当时，；
当时，；
又因为，
所以的最大值为，此时，取得最大值为.
故选：C.
4. 我市某中学高二学生到一工厂参加劳动实践，欲将一个底面直径为，高为的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面上，若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】如图，设圆柱的底面半径为，高为，侧面积为，
由题意得，，，所以，
在中，因为，
所以，即，解得，
所以圆柱的侧面积为，
又，所以时，取得最大值为，
故圆柱的最大侧面积为，
故选：C.
5. 已知，，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】因为，，，
则，
可知，，则，
又因为，
可得，
所以.
故选：D.
6. 已知拋物线，其焦点到准线的距离为2，过焦点且斜率大于0的直线交拋物线于两点，以为直径的圆与准线相切于点，则圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】抛物线的焦点到准线距离为2，则（因为），
焦点为，准线方程是，抛物线方程是，
又轴，，所以纵坐标为2，
设，，
，两式相减得，
所以，又，，
即，所以圆半径为，
圆方程为．
故选：A．
7. 已知函数（ω＞0），若f（x）在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】函数
，
因为，
所以，
由于函数在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴，
根据函数的图像：

所以，整理得：．
故选：D．
8. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】设，
由，
则，
∴在单调递增，在单调递减，
∵，，
∴即，
设，
由，
则，
∴在单调递减，在单调递增，
∴，
∴即，当且仅当时等号成立，
∴，
∴，
∴，
综上：，
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数z，，，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 若，则
C. D. 若，则的最小值为1
【答案】ACD
【详解】对于A，设，则，故A正确；
对于B，令，满足，故B错误；
对于C，设，，则
，所以，故C正确；
对于D，设，则，
即，表示以为圆心，半径为1的圆，
表示圆上的点到的距离，故的最小值为，故D正确.
故选：ACD
10. 已知函数，则（ ）
A. 存在实数使得
B. 当时，有三个零点
C. 点是曲线的对称中心
D. 若曲线有两条过点的切线，则
【答案】AC
【详解】对A，根据已知的导函数，令
则，令，
，当时，
根据函数零点存在定理存在实数使得，故A正确；
对B，根据题意知，令得到，
在和上，所以在和单调递增，
在上，所以在单调递减，
是的极大值，且的极大值大于极小值，
，
，
所以在定义域内有且只有一个零点，故B错误；
对C，令，该函数定义域为R，
且，
所以为奇函数，是的对称中心，
将向下移动两个单位得到的图像，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
对D，过的切线的切点为，切线斜率为，
则切线方程为，
把点代入可得，化简可得，
令，
则，令可得或，
在和上大于零，所以在和上单调递增，
在上小于零，所以在单调递减，
要使有两个解，一个极值一定为，
若函数在极值点时的函数值为，可得，
所以
若函数在极值点时的函数值为，可得，
所以，故D不正确.
故选：AC
11. 已知的面积为，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【详解】，由二倍角公式，，
整理可得，，A选项正确；
由诱导公式，，
展开可得，
即，
下证.
方法一：分类讨论
若，则可知等式成立；
若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理，
又，于是，
与条件不符，则不成立；
若，类似可推导出，则不成立.
综上讨论可知，，即.
方法二：边角转化
时，由，则，
于是，
由正弦定理，，
由余弦定理可知，，则，
若，则，注意到，则，
于是（两者同负会有两个钝角，不成立），于是，
结合，而都是锐角，则，
于是，这和相矛盾，
故不成立，则
方法三：结合射影定理（方法一改进）
由，结合正弦定理可得，，由射影定理可得，于是，
则，可同方法一种讨论的角度，推出，
方法四：和差化积（方法一改进）
续法三：
，可知同时为或者异号，即，展开可得，
，
即，结合和差化积，，由上述分析，，则，则，则，即，于是，可知.
由，由，则，即，
则，同理，由上述推导，，则，
不妨设，则，即，
由两角和差的正弦公式可知，C选项正确
由两角和的正切公式可得，，
设，则，
由，则，则，
于是，B选项正确，由勾股定理可知，，D选项错误.
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在等差数列中，，其前项和为，若，则________.
【答案】
【详解】设等差数列的前项和为，则，所以是等差数列．
因为，所以的公差为，又，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以.
故答案为：
13. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，则______．
【答案】
【详解】因为，所以，所以，
即，由正弦定理可得，
所以，所以，
所以，
即，
因为，所以，所以.
故答案为：
14. 已知三棱锥的各顶点均在半径为2的球表面上，，，则三棱锥的内切球半径为__________；若，则三棱锥体积的最大值为__________．
【答案】 ①. ## ②. ##
【详解】如图，根据题意，，，，
，，
所以，设的中点为，则是外接圆的圆心，则平面，则，
，，
设三棱锥内切球的半径为，则
，
即，.
由，由于，
所以当点到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大，
如图，以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，则，，
设点，因为，，
所以，即，
两式相减解得，
代回上式可得，所以，即，
又平面的一个法向量为，，
所以点到平面的距离为，
所以点到平面的最大距离为，
所以三棱锥的体积最大值为.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，内角所对的边分别为，其外接圆的半径为，且．
（1）求角；
（2）若的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积．
【答案】（1）；
（2）．
【小问1详解】
因为，
由正弦定理可得，
又，所以，
所以，
即，
，故，
，即，
又，则．
【小问2详解】
由（1）可知，，又外接圆的半径为；
由正弦定理可知，
所以，
因为是平分线，故，
又，
由，
可得，即．①
由余弦定理可知，，即．②
由①②可知．
所以，
又，则，
所以.
16. 已知三棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，，，平面与底面的交线为直线．
（1）若，证明：；
（2）若三棱锥的体积为为交线上的动点，若直线与平面的夹角为，求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
由题意：，∴分别为棱的中点，∴，
．
为等边三角形，为中点，
．
又平面，平面，
平而；
【小问2详解】
如图，在底面内过点作的平行线，即为平面与底面的交线，
（因为，则，A为平面与底面的公共点，故为平面与底面的交线）
由题意，可得，即，
故底面的面积为，
设底面上的高为，则，于是，
注意到侧面是边长为2的正三角形，取中点，
连接，则，从而即为三棱锥的高，故平面，
取中点，连接，则，
于是，以点为坐标原点．所在直线分别为轴、轴、轴，
建立空间直角坐标系，则，，
于是，，
设平面的一个法向是为，
则，即，
解得，即，
由线面所成角的定义可知.
17. 已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】（1）由题意，椭圆半焦距且，所以，
又，所以椭圆方程为；
（2）由（1）得，曲线为，
当直线的斜率不存在时，直线，不合题意；
当直线的斜率存在时，设，
必要性：
若M，N，F三点共线，可设直线即，
由直线与曲线相切可得，解得，
联立可得，所以，
所以,
所以必要性成立；
充分性：设直线即，
由直线与曲线相切可得，所以，
联立可得，
所以，
所以
，
化简得，所以，
所以或，所以直线或，
所以直线过点，M，N，F三点共线，充分性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是．
18. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
（3）若在存在极值，求a的取值范围.
【答案】（1）；
（2）存在满足题意，理由见解析.
（3）.
【小问1详解】
当时，，
则，
据此可得，
函数在处切线方程为，
即.
【小问2详解】
令，
函数的定义域满足，即函数的定义域为，
定义域关于直线对称，由题意可得，
由对称性可知，
取可得，
即，则，解得，
经检验满足题意，故.
即存在满足题意.
【小问3详解】
由函数的解析式可得，
由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点;
令，
则，
令，
在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点，
当时，，在区间上单调递减，
此时，在区间上无零点，不合题意;
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，
所以在区间上无零点，不符合题意；
当时，由可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的最小值为，
令，则，
函数在定义域内单调递增，，
据此可得恒成立，
则，
由一次函数与对数函数的性质可得，当时，
，
且注意到，
根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点.
当时，，单调减，
当时，，单调递增，
所以.
令，则，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
所以
，
所以函数在区间上存在变号零点，符合题意.
综合上面可知:实数得取值范围.
19. “熵”常用来判断系统中信息含量的多少，也用来判断概率分布中随机变量的不确定性大小，一般熵越大表示随机变量的不确定性越明显．定义：随机变量对应取值的概率为，其单位为bit的熵为，且．（当，规定．）
（1）若抛掷一枚硬币1次，正面向上的概率为，正面向上的次数为，分别比较与时对应的大小，并根据你的理解说明结论的实际含义；
（2）若拋掷一枚质地均匀的硬币次，设表示正面向上的总次数，表示第次反面向上的次数（0或1）．表示正面向上次且第次反面向上次的概率，如时，．对于两个离散的随机变量，其单位为bit的联合熵记为，且．
（ⅰ）当时，求的值；
（ⅱ）求证：．
【答案】（1）答案见解析
（2）（i）；（ii）证明见解析.
【小问1详解】
时，，
时，
因为，所以，所以.
说明硬币质地均匀时，抛掷正面向上的不确定性更大.
【小问2详解】
（i）当时，的分布列：
.
（ii）当时，第次正面向上，前次中有次正面向上，
所以，
所以
.
当时，第次反面向上，前次中有次正面向上，
所以，
所以.
所以
.
由，
所以.