（中考）2024年四川省泸州市数学试卷[原卷+解析]

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1．（3分）下列各数中，无理数是
A．B．3.14C．0D．
2．（3分）（2024•泸州）第二十届中国国际酒业博览会于2024年3月日在泸州市国际会展中心举办，各种活动带动消费2.6亿元，将数据260000000用科学记数法表示为
A．B．C．D．
3．（3分）下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为矩形的是
A．B．
C．D．
4．（3分）把一块含角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若，则
A．B．C．D．
5．（3分）下列运算正确的是
A．B．C．D．
6．（3分）（2024•泸州）已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是
A．B．C．D．
7．（3分）分式方程的解是
A．B．C．D．
8．（3分）已知关于的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为
A．0B．1C．2D．3
9．（3分）如图，，是的切线，切点为，，点，在上，若，则
A．B．C．D．
10．（3分）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为
A．B．C．D．
11．（3分）（2024•泸州）已知二次函数是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
12．（3分）（2024•泸州）如图，在边长为6的正方形中，点，分别是边，上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是
A．4B．5C．8D．10
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）.
13．（3分）函数的自变量的取值范围是 ．
14．（3分）在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为 ．
15．（3分）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
16．（3分）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点，按照变换后得到点的坐标为 ．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分。
17．（6分）计算：．
18．（6分）如图，在中，，是对角线上的点，且．求证：．
19．（6分）化简：．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分。
20．（7分）某地两块试验田中分别栽种了甲、乙两种小麦，为了考察这两种小麦的长势，分别从中随机抽取16株麦苗，测得苗高（单位：如表．
将数据整理分析，并绘制成以下不完整的统计表格和频数分布直方图．
根据所给出的信息，解决下列问题：
（1） ， ，并补全乙种小麦的频数分布直方图；
（2） ， ；
（3）甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是 （填甲或乙）；若从栽种乙种小麦的试验田中随机抽取1200株，试估计苗高在（单位：的株数．
21．（7分）某商场购进，两种商品，已知购进3件商品比购进4件商品费用多60元；购进5件商品和2件商品总费用为620元．
（1）求，两种商品每件进价各为多少元？
（2）该商场计划购进，两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数最多为多少？
五、本大题共2小题，每小题8分，共16分。
22．（8分）如图，海中有一个小岛，某渔船在海中的点测得小岛位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达点，测得小岛位于北偏西方向上，再沿北偏东方向继续航行一段时间后到达点，这时测得小岛位于北偏西方向上．已知，相距 ．求，间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直线与反比例函数和的图象分别交于点，，且，求点的坐标．
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分。
24．（12分）如图，是的内接三角形，是的直径，过点作的切线与的延长线交于点，点在上，，交于点．
（1）求证：；
（2）过点作于点，若，，求的长．
25．（12分）（2024•泸州）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当时，的取值范围是，求的值；
（3）点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
2024年四川省泸州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1．（3分）下列各数中，无理数是
A．B．3.14C．0D．
【解答】解：是分数，3.14是有限小数，0是整数，它们都不是无理数；
是无限不循环小数，它是无理数；
故选：．
2．（3分）（2024•泸州）第二十届中国国际酒业博览会于2024年3月日在泸州市国际会展中心举办，各种活动带动消费2.6亿元，将数据260000000用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【解答】解：．
故选：．
3．（3分）下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为矩形的是
A．B．
C．D．
【解答】解：．主视图和左视图都为三角形，所以选项不符合题意；
．主视图和左视图都为等腰三角形，所以选项不符合题意；
．主视图为矩形，左视图也是矩形，所以选项符合题意；
．主视图是矩形，左视图是三角形，所以不符合题意．
故选：．
4．（3分）把一块含角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若，则
A．B．C．D．
【解答】解：如图，
，
，
，，
，
故选：．
5．（3分）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
、，故此选项不符合题意；
、，故此选项符合题意；
、，故此选项不符合题意；
故选：．
6．（3分）（2024•泸州）已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是
A．B．C．D．
【解答】解：四边形是平行四边形，
当，平行四边形是矩形，
选项可以判定为矩形，
故选项不符合题意；
四边形是平行四边形，
，
，
当时，则，此时为矩形，
故选项可以判定为矩形，
故选项不符合题意；
四边形是平行四边形，
当时，平行四边形是矩形，
选项可以判定为矩形，
故选项不符合题意；
四边形是平行四边形，
当时，平行四边形是菱形，
选项不能判定为矩形，
故选项符合题意．
故选：．
7．（3分）分式方程的解是
A．B．C．D．
【解答】解：，
去分母，得，
整理，得，
．
经检验，是原方程的解．
所以原方程的解为：．
故选：．
8．（3分）已知关于的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：关于的一元二次方程无实数根，
△，
解得，
则函数图象经过第二、四象限，函数的图象分布在第一、三象限，
两个函数没有交点．
故选：．
9．（3分）如图，，是的切线，切点为，，点，在上，若，则
A．B．C．D．
【解答】解：连接，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，是的切线，切点为，，
，
，
，
故选：．
10．（3分）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为
A．B．C．D．
【解答】解：由题知，
令，，
由翻折可知，
．
四边形是矩形，
，
，
，
．
令，
则，
在中，
，
解得，
，．
在中，
．
故选：．
11．（3分）（2024•泸州）已知二次函数是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【解答】解：图象经过第一、二、四象限，
△且，，
解得，
的取值范围为．
故选：．
12．（3分）（2024•泸州）如图，在边长为6的正方形中，点，分别是边，上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是
A．4B．5C．8D．10
【解答】解：四边形是正方形，
，，
又，
，
，
，
点是的中点，
，
如图所示，在延长线上截取，连接，
，，，
，
，
，
当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，
，，
，
，
在中，由勾股定理得．
的最小值为5，
故选：．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）.
13．（3分）函数的自变量的取值范围是 ．
【解答】解：由题意得，，
解得，
所以函数的自变量的取值范围是，
故答案为：．
14．（3分）在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为 3个 ．
【解答】解：设黄球的个数为个，
根据题意得：，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
黄球的个数为3个．
故答案为：3个．
15．（3分）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 14 ．
【解答】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，．
．
故答案为：14．
16．（3分）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点，按照变换后得到点的坐标为 ．
【解答】解：由题知，
将点向上平移2个单位所得点的坐标为．
如图所示，
过点作轴的垂线，垂足为，
则，．
在中，
，，
所以．
由旋转可知，
，，
所以．
过点作轴的垂线，垂足为，
则，
所以△是等腰直角三角形．
又因为，
所以，
所以点的坐标为．
故答案为：．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分。
17．（6分）计算：．
【解答】解：
．
18．（6分）如图，在中，，是对角线上的点，且．求证：．
【解答】四边形是平行四边形，
，，
．
在和中，
，
，
．
19．（6分）化简：．
【解答】解：原式
．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分。
20．（7分）某地两块试验田中分别栽种了甲、乙两种小麦，为了考察这两种小麦的长势，分别从中随机抽取16株麦苗，测得苗高（单位：如表．
将数据整理分析，并绘制成以下不完整的统计表格和频数分布直方图．
根据所给出的信息，解决下列问题：
（1） 2 ， ，并补全乙种小麦的频数分布直方图；
（2） ， ；
（3）甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是 （填甲或乙）；若从栽种乙种小麦的试验田中随机抽取1200株，试估计苗高在（单位：的株数．
【解答】解：（1）由表格可知，，．
故答案为：2；4．
由题意知，乙种小麦苗高在的频数为7，
补全乙种小麦的频数分布直方图如图所示．
（2）将甲种16株小麦的苗高按照从小到大的顺序排列，排在第8和第9的苗高为13，14，
．
由表格可知，．
故答案为：13.5；13．
（3）甲种小麦的方差大于乙种小麦的方差，
甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是乙．
故答案为：乙．
（株．
估计苗高在（单位：的株数约375株．
21．（7分）某商场购进，两种商品，已知购进3件商品比购进4件商品费用多60元；购进5件商品和2件商品总费用为620元．
（1）求，两种商品每件进价各为多少元？
（2）该商场计划购进，两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数最多为多少？
【解答】解：（1）设商品的进价是元件，商品的进价是元件，
根据题意得：，
解得：．
答：商品的进价是100元件，商品的进价是60元件；
（2）设购进件商品，则购进件商品，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为20．
答：购进商品的件数最多为20件．
五、本大题共2小题，每小题8分，共16分。
22．（8分）如图，海中有一个小岛，某渔船在海中的点测得小岛位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达点，测得小岛位于北偏西方向上，再沿北偏东方向继续航行一段时间后到达点，这时测得小岛位于北偏西方向上．已知，相距 ．求，间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
【解答】解：过作于，
， ，
，
，
，
过作于，
，
，
，
，
答：，间的距离为 ．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直线与反比例函数和的图象分别交于点，，且，求点的坐标．
【解答】解：（1）将点和点的坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
所以一次函数的解析式为．
将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以反比例函数的解析式为．
（2）将分别代入和得，
点的坐标为，点的坐标为，
所以．
又因为，
所以．
令直线与轴的交点为，
过点作轴的垂线，垂足为，
因为，且，
所以，
所以，
解得．
因为，
所以，
则点的坐标为．
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分。
24．（12分）如图，是的内接三角形，是的直径，过点作的切线与的延长线交于点，点在上，，交于点．
（1）求证：；
（2）过点作于点，若，，求的长．
【解答】（1）证明：是的直径，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：过点作于，如图：
，
，
在中，，
，
，
，
同理可得，，
；
，，
，
由（1）可得，，
，
，
，
，
，
设，则，
，，
，
，即，
，
，
，
解得：或（舍去），
的长为．
25．（12分）（2024•泸州）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当时，的取值范围是，求的值；
（3）点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1），抛物线的对称轴为，则抛物线和轴的另外一个交点为：，
则抛物线的表达式为：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）当时，
时，，取得最小值，
则小于时，取得最大值，
而抛物线的顶点处取得最大值，
抛物线的顶点坐标为：，
即，
解得：；
（3）存在，理由：
由抛物线的表达式知，点，
当是边时，对应菱形为，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点，点，
则，
解得：，
则，
即菱形的边长为：．
当为边时，
同理可得：，则，
解得：（不合题意的值已舍去），
则，
菱形的边长为：2．
综上，菱形的边长为：或2．甲
7
8
10
11
11
12
13
13
14
14
14
14
15
16
16
18
乙
7
10
13
11
18
12
13
13
10
13
13
14
15
16
11
17
苗高分组
甲种小麦的频数
7
3
小麦种类
统计量
甲
乙
平均数
12.875
12.875
众数
14
中位数
13
方差
8.65
7.85
甲
7
8
10
11
11
12
13
13
14
14
14
14
15
16
16
18
乙
7
10
13
11
18
12
13
13
10
13
13
14
15
16
11
17
苗高分组
甲种小麦的频数
7
3
小麦种类
统计量
甲
乙
平均数
12.875
12.875
众数
14
中位数
13
方差
8.65
7.85