2024年四川省泸州市中考数学试卷（含解析）

这是一份2024年四川省泸州市中考数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数中，无理数是( )
A. −13B. 3.14C. 0D. π
2.第二十届中国国际酒业博览会于2024年3月21−24日在泸州市国际会展中心举办，各种活动带动消费2.6亿元，将数据260000000用科学记数法表示为( )
A. 2.6×107B. 2.6×108C. 2.6×109D. 2.6×1010
3.下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为矩形的是( )
A. B.
C. D.
4.把一块含30°角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若∠1=45°，则∠2=( )
A. 10°
B. 15°
C. 20°
D. 30°
5.下列运算正确的是( )
A. 3a+2a3=5a4B. 3a2⋅2a3=6a6C. (−2a3)2=4a6D. 4a6÷a2=4a3
6.已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是( )
A. ∠A=90°B. ∠B=∠CC. AC=BDD. AC⊥BD
7.分式方程1x−2−3=22−x的解是( )
A. x=−73B. x=−1C. x=53D. x=3
8.已知关于x的一元二次方程x2+2x+1−k=0无实数根，则函数y=kx与函数y=2x的图象交点个数为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
9.如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE+∠BCD=236°，则∠E=( )
A. 56°
B. 60°
C. 68°
D. 70°
10.宽与长的比是 5−12的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B′处，AB′交CD于点E，则sin∠DAE的值为( )
A. 55
B. 12
C. 35
D. 2 55
11.已知二次函数y=ax2+(2a−3)x+a−1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为( )
A. 1≤a<98B. 012.如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE=BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG=2GB，则OM+12FG的最小值是( )
A. 4B. 5C. 8D. 10
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.函数y= x+2的自变量x的取值范围是______．
14.在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个球是白球的概率是23，则黄球的个数为______．
15.已知x1，x2是一元二次方程x2−3x−5=0的两个实数根，则(x1−x2)2+3x1x2的值是______．
16.定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移a(a>0)个单位，再绕原点按逆时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的ρ(a,θ)变换.如：点A(2,0)按照ρ(1,90°)变换后得到点A′的坐标为(−1,2)，则点B( 3,−1)按照ρ(2,105°)变换后得到点B′的坐标为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：|− 3|+(π−2024)0−2sin60°+(12)−1．
18.(本小题6分)
如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且DE=BF.求证：∠1=∠2．
19.(本小题6分)
化简：(y2x+x−2y)÷x2−y2x．
20.(本小题7分)
某地两块试验田中分别栽种了甲、乙两种小麦，为了考察这两种小麦的长势，分别从中随机抽取16株麦苗，测得苗高(单位：cm)如表．
将数据整理分析，并绘制成以下不完整的统计表格和频数分布直方图．

根据所给出的信息，解决下列问题：
(1)a= ______，b= ______，并补全乙种小麦的频数分布直方图；
(2)c= ______，d= ______；
(3)甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是______(填甲或乙)；若从栽种乙种小麦的试验田中随机抽取1200株，试估计苗高在10≤x<13(单位：cm)的株数．
21.(本小题7分)
某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．
(1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？
(2)该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍.若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？
22.(本小题8分)
如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上.已知A，C相距30n mile.求C，D间的距离(计算过程中的数据不取近似值)．
23.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b与x轴相交于点A(−2,0)，与反比例函数y=ax的图象相交于点B(2,3)．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)直线x=m(m>2)与反比例函数y=ax(x>0)和y=−2x(x>0)的图象分别交于点C，D，且S△OBC=2S△OCD，求点C的坐标．
24.(本小题12分)
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线与AC的延长线交于点D，点E在⊙O上，AC=CE，CE交AB于点F．
(1)求证：∠CAE=∠D；
(2)过点C作CG⊥AB于点G，若OA=3，BD=3 2，求FG的长．
25.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(3,0)，与y轴交于点B，且关于直线x=1对称．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当−1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t−1，求t的值；
(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：−13是分数，3.14是有限小数，0是整数，它们都不是无理数；
π是无限不循环小数，它是无理数；
故选：D．
无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：260000000=2.6×108．
故选：B．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A.主视图和左视图都为三角形，所以A选项不符合题意；
B.主视图和左视图都为等腰三角形，所以B选项不符合题意；
C.主视图为矩形，左视图也是矩形，所以C选项符合题意；
D.主视图是矩形，左视图是三角形，所以D不符合题意．
故选：C．
找到从正面和左面看所得到的图形，得出主视图和左视图均是三角形的即可．
本题考查了简单几何体的三视图：画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．记住常见的几何体的三视图．
4.【答案】B
【解析】解：如图，
∵AB/​/CD，
∴∠BAD=∠1=45°，
∵∠2+∠DAE=∠BAD，∠DAE=30°，
∴∠2=15°，
故选：B．
根据“两直线平行，内错角相等”求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、3a与2a3不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、3a2⋅2a3=6a5，故此选项不符合题意；
C、(−2a3)2=4a6，故此选项符合题意；
D、4a6÷a2=4a4，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据合并同类项、单项式乘单项式、积的乘方、单项式除以单项式的运算法则分别计算即可．
本题考查了整式的除法，熟练单项式乘单项式、积的乘方、单项式除以单项式的运算法则是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当∠A=90°，平行四边形ABCD是矩形，
∴选项A可以判定▱ABCD为矩形，
故选项A不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，
∴∠B+∠C=180°，
当∠B=∠C时，则∠B=∠C=90°，此时▱ABCD为矩形，
故选项B可以判定▱ABCD为矩形，
故选项B不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
当AC=BD时，平行四边形ABCD是矩形，
∴选项C可以判定▱ABCD为矩形，
故选项C不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形，
∴选项D不能判定▱ABCD为矩形，
故选项D符合题意．
故选：D．
根据有一个角等于90°的平行四边形是矩形可对选项A进行判断；根据平行四边形性质得AB/​/CD，则∠B+∠C=180°，再根据∠B=∠C得∠B=∠C=90°，然后根据有一个角等于90°的平行四边形是矩形可对选项B进行判断；根据对角线相等的平行四边形是矩形可对选项C进行判断；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，理解平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定是解决问题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：1x−2−3=22−x，
去分母，得1−3(x−2)=−2，
整理，得−3x=−9，
∴x=3．
经检验，x=3是原方程的解．
所以原方程的解为：x=3．
故选：D．
解分式方程得结论．
本题考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解决本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+1−k=0无实数根，
∴Δ=4−4(1−k)<0，
解得k<0，
则函数y=kx图象经过第二、四象限，函数y=2x的图象分布在第一、三象限，
两个函数没有交点．
故选：A．
根据判别式求出k<0，据此判断两个函数分布和经过的象限，即可得到答案．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握两个函数的图象是解答本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：连接AD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BAE+∠BCD=236°，
∴∠EAD+∠BAD+∠BCD=∠EAD+180°=236°，
∴∠EAD=56°，
∵EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，
∴EA=ED，
∴∠EDA=∠EAD=56°，
∴∠E=180°−∠EDA−∠EAD=180°−56°−56°=68°，
故选：C．
连接AD，则∠BAD+∠BCD=180°，而∠BAE+∠BCD=236°，所以∠EAD+∠BAD+∠BCD=∠EAD+180°=236°，求得∠EAD=56°，由切线长定理得EA=ED，则∠EDA=∠EAD=56°，所以∠E=180°−∠EDA−∠EAD=68°，于是得到问题的答案．
此题重点考查圆内接四边形的对角互补、切线长定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：由题知，
令AD=BC=( 5−1)a，AB=CD=2a，
由翻折可知，
∠EAC=∠BAC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB/​/CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠DCA=∠EAC，
∴AE=EC．
令DE=x，
则AE=EC=2a−x，
在Rt△ADE中，
[( 5−1)a]2+x2=(2a−x)2，
解得x= 5−12a，
∴DE= 5−12a，AE=2a− 5−12a=5− 52a．
在Rt△DAE中，
sin∠DAE=DEAE= 5−12a5− 52a= 55．
故选：A．
设AD=BC=( 5−1)a，AB=CD=2a，再根据翻折的性质及等角对等边得出EC=EA，最后利用勾股定理表示出DE及AE即可．
本题考查黄金分割、矩形的性质及翻折变换，熟知黄金分割的定义、矩形的性质及正弦的定义是解题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：∵图象经过第一、二、四象限，
∴Δ=(2a−3)2−4a(a−1)>0且a−1≥0，a>0，
解得1≤a<98，
∴a的取值范围为1≤a<98．
故选：A．
由a的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可．
本题主要考查二次函数的性质，进一步能确定a的取值范围是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，
又∵AE=BF，
∴△ADE≌△BAF(SAS)，
∴∠ADE=∠BAF，
∴∠DOF=∠ADO+∠DAO=∠BAF+∠DAO=∠DAB=90°，
∵点M是DF的中点，
∴OM=12DF，
如图所示，在AB延长线上截取BH=BG，连接FH，
∵FBG=∠FBH=90°，FB=FB，BG=BH，
∴△FBG≌△FBH(SAS)，
∴FH=FG，
∴OM+12FG=12DF+12HF=12(DF+HF)，
∴当H、D、F三点共线时，DF+HF有最小值，即此时OM+12FG有最小值，最小值即为DH的长的一半，
∵AG=2GB，AB=6，
∴BH=BG=2，
∴AH=8，
在Rt△ADH中，由勾股定理得DH= AD2+AH2=10．
∴OM+12FG的最小值为5，
故选：B．
先证明△ADE≌△BAF(SAS)得到∠ADE=∠BAE，进而得到∠DOF=90°，则由直角三角形的性质可得OM=12DF，如图所示，在AB延长线上截取BH=BG，连接FH，易证明△FBG≌△FBH(SAS)，则FH=FG，可得当H、D、F三点共线时，DF+HF有最小值，即此时，OM+12FG有最小值，最小值即为DH的长的一半，求出AH=8，在Rt△ADH中，由勾股定理得DH= AD2+AH2=10，则OM+12FG的最小值为5．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等，通过作辅助线可帮助解题．
13.【答案】x≥−2
【解析】解：由题意得，x+2≥0，
解得x≥−2，
所以函数y= x+2的自变量x的取值范围是x≥−2，
故答案为：x≥−2．
根据二次根式有意义的条件解答即可．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟知二次根式有意义的条件是解题的关键．
14.【答案】3个
【解析】解：设黄球的个数为x个，
根据题意得：66+x=23，
解得x=3，
经检验：x=3是原分式方程的解，
∴黄球的个数为3个．
故答案为：3个．
设黄球的个数为x个，根据概率公式得到得66+x=23，然后解方程即可．
本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
15.【答案】14
【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2−3x−5=0的两个实数根，
∴x1+x2=3，x1⋅x2=−5．
∴(x1−x2)2+3x1x2
=x12+x1x2+x22
=(x1+x2)2−x1x2
=32−(−5)
=9+5
=14．
故答案为：14．
先利用跟与系数的关系求出两根的和、积，再变形含两根的整式代入得结论．
本题考查了一元二次方程，掌握跟与系数的关系及完全平方公式的变形是解决本题的关键．
16.【答案】(− 2, 2)
【解析】解：由题知，
将点B( 3,−1)向上平移2个单位所得点M的坐标为( 3,1).
如图所示，
过点M作x轴的垂线，垂足为F，
则OF= 3，MF=1．
在Rt△MOF中，
tan∠MOF=MFOF= 33，OM= 12+( 3)2=2，
所以∠MOF=30°．
由旋转可知，
B′O=MO=2，∠MON=105°，
所以∠B′OF=135°．
过点B′作y轴的垂线，垂足为E，
则∠B′OE=135°−90°=45°，
所以△B′OE是等腰直角三角形．
又因为B′O=2，
所以B′E=OE= 2，
所以点B′的坐标为(− 2, 2).
故答案为：(− 2, 2).
根据题中的定义，画出示意图，结合图形旋转及平移的性质即可解决问题．
本题考查坐标与图形变化−平移及坐标与图形变化−旋转，能根据题意画出示意图及熟知图形平移和旋转的性质是解题的关键．
17.【答案】解：|− 3|+(π−2024)0−2sin60°+(12)−1
= 3+1−2× 32+2
= 3+1− 3+2
=3．
【解析】先算乘方，再化简绝对值、代入特殊角的函数值算乘法，最后加减．
本题考查了实数的运算，掌握特殊角的函数值、零指数幂及负整数指数幂的意义、绝对值的意义等知识点是解决本题的关键．
18.【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠ADE=∠CBF．
在△ADE和△CBF中，
AD=BC∠ADE=∠CBFDE=BF，
∴△ADE≌△CBF(SAS)，
∴∠1=∠2．
【解析】要证∠1=∠2，可以利用三角形全等，证△ADE≌△CBF即可，
本题主要考查平行四边的性质和全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理，属于中考中常见的基础证明题型．
19.【答案】解：原式=y2+x2−2xyx÷(x+y)(x−y)x
=(x−y)2x⋅x(x+y)(x−y)
=x−yx+y．
【解析】先算括号里面，再算除法．
本题考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
20.【答案】2 4 13.5 13 乙
【解析】解：(1)由表格可知，a=2，b=4．
故答案为：2；4．
由题意知，乙种小麦苗高在13≤x<16的频数为7，
补全乙种小麦的频数分布直方图如图所示．
(2)将甲种16株小麦的苗高按照从小到大的顺序排列，排在第8和第9的苗高为13，14，
∴c=(13+14)÷2=13.5．
由表格可知，d=13．
故答案为：13.5；13．
(3)∵甲种小麦的方差大于乙种小麦的方差，
∴甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是乙．
故答案为：乙．
1200×516=375(株)．
∴估计苗高在10≤x<13(单位：cm)的株数约375株．
(1)由表格可直接得出a，b的值；求出乙种小麦苗高在13≤x<16的频数，补全乙种小麦的频数分布直方图即可．
(2)根据中位数、众数的定义可得答案．
(3)根据方差的意义可知，甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是乙；根据用样本估计总体，用1200乘以样本中乙种小麦苗高在10≤x<13(单位：cm)的株数所占的百分比，即可得出答案．
本题考频数(率)分布直方图、频数(率)分布表、用样本估计总体、中位数、众数、方差，能够读懂统计图表，掌握用样本估计总体、中位数、众数、方差的定义是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)设A商品的进价是x元/件，B商品的进价是y元/件，
根据题意得：3x−4y=605x+2y=620，
解得：x=100y=60．
答：A商品的进价是100元/件，B商品的进价是60元/件；
(2)设购进m件A商品，则购进(60−m)件B商品，
根据题意得：60−m≥2m(150−100)m+(80−60)(60−m)≥1770，
解得：19≤m≤20，
∴m的最大值为20．
答：购进A商品的件数最多为20件．
【解析】(1)设A商品的进价是x元/件，B商品的进价是y元/件，根据“购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进m件A商品，则购进(60−m)件B商品，根据“购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍，且销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之取其最大值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
22.【答案】解：过C作CH⊥AB于H，
∵∠CAB=45°，AC=30n mile，
∴AH=CH=15 2n mile，
∵∠CBH=60°，
∴BC=CH sin60∘=15 2 32=10 6(n mile)，
过D作DG⊥AB于G，
∴∠DBG=180°−60°−30°−60°=30°，
∴∠BDG=60°，
∴∠CDB=60°，
∴CD=BCsin60∘=10 6 32=20 2(n mile)，
答：C，D间的距离为20 2n mile．
【解析】过C作CH⊥AB于H，根据三角函数的定义得到BC=CH sin60∘=15 2 32=10 6(n mile)，过D作DG⊥AB于G，求得∠DBG=180°−60°−30°−60°=30°，得到∠CDB=60°，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)将点A和点B的坐标代入一次函数解析式得，
−2k+b=02k+b=3，
解得k=34b=32，
所以一次函数的解析式为y=34x+32．
将点B坐标代入反比例函数解析式得，
a=2×3=6，
所以反比例函数的解析式为y=6x．
(2)将x=m分别代入y=6x和y=−2x得，
点C的坐标为(m,6m)，点D的坐标为(m,−2m)，
所以S△OCD=12[6m−(−2m)]⋅m=4．
又因为S△OBC=2S△OCD，
所以S△OBC=8．
令直线CD与x轴的交点为M，

过点B作x轴的垂线，垂足为N，
因为S△BON+S梯形BNMC=S△BOC+S△COM，且S△BON=S△COM，
所以S梯形BNMC=S△BOC=8，
所以(6m+3)×(m−2)2=8，
解得m1=6,m2=−23．
因为m>2，
所以m=6，
则点C的坐标为(6,1)．
【解析】(1)利用待定系数法即可解决问题．
(2)先求出△OCD的面积，进而得出△OBC的面积，再用点C的坐标表示出△OBC的面积即可解决问题．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°，
∴∠D+∠CBD=90°，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠ABD=90°，
∴∠ABC+∠CBD=90°，
∴∠ABC=∠D，
∵AC=AC，
∴∠E=∠ABC，
∴∠E=∠D，
∵AC=CE，
∴∠CAE=∠E，
∴∠CAE=∠D；
(2)解：过点C作CH⊥AE于H，如图：

∵OA=3，
∴AB=2OA=6，
在Rt△ABD中，AD= AB2+BD2= 62+(3 2)2=3 6，
∵S△ABD=12AB⋅BD=12AD⋅BC，
∴BC=AB⋅BDAD=6×3 23 6=2 3，
∴AC= AB2−BC2= 62−(2 3)2=2 6，
同理可得CG=2 2，AG= AC2−CG2= (2 6)2−(2 2)2=4，
∴BG=2；
∵AC=CE，CH⊥AE，
∴AE=2AH，
由(1)可得∠ABC=∠CAH，∠ACB=∠CHA=90°，
∴△ACB∽△CHA，
∴AHBC=ACAB，
∴AH2 3=2 66，
∴AH=2 2，
∴AE=4 2，
设FG=x，则AF=4+x，
∵∠E=∠CBF，∠EAF=∠BCF，
∴△AEF−△CBF，
∴CFAF=BCAE，即CF4+x=2 34 2，
∴CF=4 6+ 6x4，
∵CF2=CG2+FG2，
∴(4 6+ 6x4)2=(2 2)2+x2，
解得：x=45或x=4(舍去)，
∴FG的长为45．
【解析】(1)由直径所对的圆周角是直角得到∠BCD=90°，则∠D+∠CBD=90°，由切线的性质推出∠ABC+∠CBD=90°，则∠ABC=∠D，再由同弧所对的圆周角相等和等边对等角得到∠E=∠ABC，∠CAE=∠E，据此即可证明∠CAE=∠D；
(2)过点C作CH⊥AE于H，由勾股定理得AD=3 6，利用等面积法求出BC=2 3，则AC=2 6，同理可得CG=2 2，AG=4，进而得到BG=2；由AE=2AH，证明△ACB∽△CHA，求出AH=2 2，AE=4 2，设FG=x，则AF=4+x，证明△AEF∽△CBF，推出CF=4 6+ 6x4，故(4 6+ 6x4)2=(2 2)2+x2，解方程即可得到答案．
本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键．
25.【答案】解：(1)A(3,0)，抛物线的对称轴为x=1，则抛物线和x轴的另外一个交点为：(−1,0)，
则抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x−3)=ax2+bx+3，
解得：a=−1，
则抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3；
(2)当−1≤x≤t时，
x=−1时，y=−x2+2x+3=0，取得最小值，
则x=t(t小于3)时，y取得最大值，
而抛物线的顶点处取得最大值，
抛物线的顶点坐标为：(1,4)，
即2t−1=4，
解得：t=2.5；
(3)存在，理由：
由抛物线的表达式知，点B(0,3)，
当BC是边时，对应菱形为BDCE′，

由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y=−x+3，
设点C(x,−x2+2x+3)，点D(x,−x+3)，
则CD=−x2+2x+3−(−x+3)=BC= 2x，
解得：x=3− 2，
则BC= 2x=3 2−2，
即菱形的边长为：3 2−2．
当BC为边时，
同理可得：BC=CD，则x2+(−x2+2x)2=(−x2+3x)2，
解得：x=2(不合题意的值已舍去)，
则CD=−22+6=2，
菱形的边长为：2．
综上，菱形的边长为：3 2−2或2．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)当−1≤x≤t时，x=−1时，y取得最小值，则x=t时，y取得最大值，即可求解；
(3)由抛物线的表达式知，点B(0,3)，如图，B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，存在点E在点B上方和下方两种情况，分别求解即可．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．甲
7
8
10
11
11
12
13
13
14
14
14
14
15
16
16
18
乙
7
10
13
11
18
12
13
13
10
13
13
14
15
16
11
17
苗高分组
甲种小麦的频数
7≤x<10
a
10≤x<13
b
13≤x<16
7
16≤x<19
3
小麦种类
统计量
甲
乙
平均数
12.875
12.875
众数
14
d
中位数
c
13
方差
8.65
7.85