浙江省2025届高三数学下学期4月联考试题含解析

这是一份浙江省2025届高三数学下学期4月联考试题含解析，共21页。试卷主要包含了 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知全集 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】确定全集 和集合 ，再求出 ，最后根据补集的定义求出 ．
【详解】已知全集 ， 表示自然数集，所以 ．
对于集合 ，解不等式 ，则其解为 ．
又因为 ，所以 ．
已知 ， ，可得 ．
因为 ， ，所以 ．
故选：C．
2. 已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 的共轭复数 的模为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由复数除法，结合共轭复数，可得答案.
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【详解】由题意可得 ，
则 ，所以 .
故选：A.
3. 下列可以作为方程 的图象的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助排除法，得到 ， 不可能同时成立，即可排除 A，B，C.
【详解】当 时， ，
若 ，则 ，即 ，不符合，
故 ， 不可能同时成立，故 A，B，C，选项错误
故选：D
4. 已知函数 的部分图象如图所示， 的图象与 轴
交于点 C， ， ，且 ，则 （ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】C
【解析】
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【分析】根据函数图象得出 ，再求出点的坐标及数量积公式计算 ，最后求出函数值.
【详解】由题干图象可知 ，则 ，所以 ，所以 ，
由 ，得 ， ，即 ， ，
因为 ，所以 ，则 .
又 ，则 ，又 ， ，
，解得 （负根舍去），
所以 ，所以 .
故选：C
5. 记数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 等于（ ）
A. 33 B. 46 C. 49 D. 42
【答案】A
【解析】
【分析】根据递推公式，结合前 项和与第 项的关系求出通项公式，进而求出目标值.
【详解】数列 中， ， ，当 时， ，
当 时， ，则 ， ，
因此当 时，数列 是以 为首项，公比为 3 的等比数列， ，
数列 的通项公式为： ， ， ，
所以 .
故选：A
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6. 如图，椭圆 与双曲线 有共同的右焦点 ，这两条曲线在第一、三象
限的交点分别为 A、B，直线 与双曲线右支的另一个交点为 ， 形成以 为斜边的等腰直角
三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆及双曲线定义，结合等腰直角三角形，计算求解离心率.
【详解】
设左焦点为 ，则 ， ， ， ，
在 中用勾股定理 ，化简得 ，
所以
所以 ，所以 .
故选:C.
7. 已知函数 的定义域为 ， 为 的导函数，满足 ，且
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.已知 与 均为正整数，若 ，则 的最小值（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的导函数得出原函数，再根据函数的导函数得出函数的单调性，进而得出不等关系结合
单调性计算即可.
【 详 解 】 因 为 ， 所 以 ， 即 ， 所 以
.
又因为 ，即 .所以 .
所以 在 上恒成立，所以 在 上单调递增.
又因为 ，所以 ，
即 ，
令 ，则 ，由对勾函数知 单调递增，
所以 ，所以 ，当且仅当 时等号成立.
故选：B.
8. 有 6 张卡片，正面分别写有数字 1，2，3，4，5，6，且背面均写有数字 7.先把这些卡片正面朝上排成一
排.规定一次试验：掷一颗均匀的骰子一次，若点数为 ，则将向上数字为 的卡片翻面并放置原处；若没
有向上数字为 的卡片，则卡片不作翻动.进行上述试验 3 次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在这一条
件下，骰子恰有一次点数为 2 的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】就正面数字为偶数的卡片翻一次、三次分类讨论后可求概率.
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【详解】翻动正面数字为偶数的卡片时，奇偶性发生改变，翻动正面数字为奇数的卡片时，奇偶性不变，
进行上述试验 3 次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，则分为两类：
（1）正面数字为偶数 卡片翻一次：
①掷 3 次骰子 1 次偶数 2 次奇数： 种，其中恰有一次点数为 2 有 27 种，
②掷 3 次骰子 2 次同一个偶数 1 次奇数： 种，
③掷 3 次骰子 3 次同一个偶数：3 种，
（2）正面数字为偶数的卡片一次翻三次： 种，其中恰有一次点数为 2 有 6 种，
所以骰子恰有一次点数为 2 的概率为 .
故选：C
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
B. 数据 5，8，10，12，13 的第 40 百分位数是 8
C. 在一元线性回归模型中，若决定系数 ，则残差的平方和为 0
D. 和 的方差分别为 和 ，若 且 ，则
【答案】AC
【解析】
【分析】由正态分布的对称性判断 A；根据百分位数的运算公式判断 B；根据残差的概念判断 C；利用平均
数定义得到 ，根据方差的计算公式判断 D.
【详解】对于 A，因为 ，又 ，
则 ，正确；
对于选项 B，因为 ，
所以数据 5，8，10，12，13 的第 40 百分位数是 ，故选项 B 错误；
对于选项 C，若决定系数 ，则散点图中的散点均落在一条斜率非 0 的直线上，
所以残差的平方和为 0，C 正确；
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对于选项 D，设 的平均数为 ， ， ， ， 的平均数为 ，
因为 ，则 ，
又 ，
，
所以 ，故选 D 错误.
故选：AC
10. 正方体 的棱长为 ，点 、 分别在线段 、 上运动（包括端点），则下列结
论正确的是（ ）
A. 正方体被经过 、 两点的平面所截，其截面的形状有可能是六边形
B. 不可能与 、 都垂直
C. 有可能与正方体 六个表面所成的角都相等
D. 线段 的中点 所围成的区域的面积为
【答案】CD
【解析】
【分析】假设截面为六边形，作出图形，可判断 A 选项；建立空间直角坐标系，取 ，
，利用空间向量法可判断 BC 选项；求出点 的轨迹方程，确定点 所围城区域的形状，结
合三角形的面积公式可判断 D 选项.
【详解】对于 A 选项，假设六边形截面 交 于点 ，如下图所示：
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设 ，因为 平面 ， ，所以， 平面 ，
同理可得 平面 ，
因为平面 平面 ，所以 ，同理 ， ，
由图可知，截面 在平面 的交线 与线段 无交点，
因此，正方体被经过 、 两点的平面所截，其截面的形状不可能是六边形，A 错；
对于 B 选项，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间
直角坐标系，
则 、 、 、 ，
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取 ， ，则 、 ，
所以， ， ， ，
所以， ， ，此时， 与 、 都垂直，B 错；
对于 C 选项，取 ， ，则 ，
平面 的一个法向量为 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
同理可知，直线 与表面其余各面所成角的正弦值都为 ，
因此， 有可能与正方体的六个表面所成的角都相等，C 对；
对于 D 选项，设点 、 ，其中 ， ，
则线段 的中点为 ，
设点 ，则 ，即 ，
其中 ， ， ，
所以点 的轨迹是以点 、 、 、 为顶点的平面四边形，
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则 ， ，则 ，
，
因为 ，所以 ，
故四边形 是边长为 的菱形，且 ，则 为等边三角形，
故线段 的中点 所围成的区域的面积为 ，D 对.
故选：CD.
11. 设 和 是两个整数，如果 和 除以正整数 所得的余数相同，则称 和 对于模 同余，记作
.（ ）
A. 若公比为 的等比数列 满足 ，则
B. 若公比为 的等比数列 满足 ，则
C. 若 为等差数列， ， ， 为 的前 n 项和，则
D. 若 为公差 的等差数列， ， ，若 ，则 使
【答案】ABD
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【解析】
【分析】根据同余的定义，结合等差数列和等比数列的通项公式及前 项和公式，对各选项逐一进行分析．
【详解】由题意可知 ， ， ， ，
，∴A 正确；
，若 ，则 ，
， ，∴B 正确；
偶数， 也为偶数，显然 不能成立，∴C 错误；
，当 时，结论显然成立，∴D 成立.
故选：ABD．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若非零向量 满足 ，且向量 在向量 上的投影向量是 ，则向量 与 的夹角为
_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量定义计算得出数量积，再根据夹角公式计算求出余弦值，最后根据夹角范围计算夹
角即可.
【详解】 在 上投影向量 ， ， ，
则 ，由于 ， .
故答案为： .
13. 已知 P 是直线 上的任意一点，若过点 P 作圆 的两条切线，切点分别记为
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，则劣弧 长度的最小值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】画出图形并根据所求角的范围可知当 时，劣弧 最小，即可得出劣弧 长度的最小值.
【详解】如下图所示：
易知圆心 到直线 的距离为 ，
在直角三角形 中， ， ，
所以 ，所以 ；
因此可知当 时，劣弧 最小，
此时 ，即可得 ；
所以劣弧 AB 长度的最小值为 .
故答案为：
14. 若 恒成立，则实数 取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】主要通过对不等式进行变形，构造函数，利用函数的单调性来求解参数的取值范围．
【详解】因为 ，所以
即 .
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设函数 ，因为 ， 导函数为 ，
令 ，解得 .
所以在 上， ， 单调递减，
在 上， ， 单调递增.
所以 ，所以 在 上单调递增.
又因为 ，所以 ，即 ，
令 ，所以 ，
令 ，解得 .
所以在 上， ， 单调递增，
在 上， ， 单调递减.
所以 ，所以 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 且 .
（1）求 的大小.
（2）如图所示， 为 外一点， ， ， ，求 值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
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【分析】（1）由 ，利用正弦定理得到 ，
再利用三角恒等变换求解；
（2）令 ， ，在 中，利用正弦定理得到
，在 中，利用正弦定理得到 ，从而得到 求解
.
【小问 1 详解】
，
在 中，由正弦定理得，
，
由三角形内角和为 可得 ，
，
，
即 ，
， ， ，
即 ，
又 ， ，即 ，
【小问 2 详解】
设 ，令 ， ，
在 中，由正弦定理得，
， ， .
在 中，由正弦定理得， ， ， ，
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，
解得 ，
.
16. 如图，在三棱锥 中， ， 为 的中点， 在底面的投影 落在线段 AD 上.
（1）证明： ；
（2）若 ， ， ， ， 在线段 上，且满足平面 平面 ，求直
线 与直线 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）1
【解析】
【分析】（1）先应用线面垂直判定定理得出 平面 ，进而得出线线垂直；
（2）法 1：建立空间直角坐标系设 ，进而得出面 的法向量再应用面面垂直
即可得出 ，最后计算异面直线所成交即可；法 2：根据图形特征得出边长
，再根据线面垂直得出线线垂直.
【小问 1 详解】
因为 ，D 为 的中点故 ，又 平面 ， 平面 ，故得 ，
平面 ，于是 平面 ， 平面 ，从而 .
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【小问 2 详解】
法 1：以 为坐标原点，以射线 为 轴正半轴，射线 为 轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系
.
则 ， ， ， ， ， .
于是 ， ，
令 ，所以 ，又因为 ，
设面 的法向量为 .
所以 ，所以 .
又 ， ，
所以 .
设面 的法向量为 .
所以 ，所以
根据 平面 ，即 ，所以 .
所以 ， ， ，
，
所以 ，得所成角为 90 度，正弦值为 1.
法 2：几何法.
作 ，垂足为 M.
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连 CM，由三角形全等得 ， 平面 ，
得 平面 ， 平面 ，从而平面 平面 .
在 中， 得 ，
在 中， 得 ，
在 中， ，
在 中，
所以 得 ，
又 ，
从而 故 ，同理 ，
因为 ，所以 ，
所以 平面 ，所以 平面 ，因为
平面 ，所以 ，得所成角为 90 度，正弦值为 1.
17. 已 知 整 数 数 列 满 足 ， 数 列 是 公 比 大 于 1 的 等 比 数 列 ， 且
， .数列 满足 .数列 ， 前 项和分别为 ， ，其中
.
（1）求 和
（2）用 表示不超过 的最大整数，求数列 的前 2025 项和 .
【答案】（1） ，
（2）2024
【解析】
【分析】(1)先根据 时 和 确定 ．设 通项求 ，
再由 得出关于 和 的不等式组，解出 得到 和 ．
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对于等比数列 ，利用 和 联立求解出 和 ，进而得到 ．
(2)先得出 ，写出 表达式，再用错位相减法，即①式减②式求出 ，进而得到 ．然后分 和
讨论 与 大小关系，确定 的值，最后求出 ．
【小问 1 详解】
当 时， .又因为 ，所以
设 ，则
依题意， ，
得 恒成立，解得 ，
所以， ，
设等比数列 的公比为 q， ， .
所以 ， .得到 ，联立得
解得 或 （舍去），代入 中，解得
得数列 的通项公式为
【小问 2 详解】
……①
……②
①-②，得
即
时， ， ，所以 ；
时， ，所以 ，所以
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所以 .
18. 已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 无极值点，求实数 的取值范围；
（3）若 为函数 的极小值点，证明： .
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程；
（2）将问题转化为 在 上恒成立，通过必要性探路可求得 ，将问题转化为充分性的
证明，采用放缩法可知需证明 ，利用导数可说明 单调性和最值，进而得
到结论；
（3）当 时，求导后，结合零点存在定理可说明 在 ， 上单调递增，在 上
单 调 递 减 ， 由 此 可 得 ； 令 ， 可 证 得 ， 利 用
放缩并整理可得 ，进而得到结论.
【小问 1 详解】
， ，
又 ， 在点 处的切线方程为： .
【小问 2 详解】
由题意知： 的定义域为 ，
若函数 无极值点， 在 上单调，
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或 在 上恒成立；
， 在 上恒成立，
， ，解得： ；
下面证明充分性：
当 时， ，又 ， ，
，
令 ，
当 时， ，
在 上单调递增，又 ， 为定义在 上的偶函数，
在 上单调递减， ， ，
在 上单调递增，无极值点，充分性成立；
综上所述： .
【小问 3 详解】
由（2）可得：当 时，函数 无极值点.
当 时，令 ，则 ，
当 时， ，又 ， 为定义在 上的奇函数，
在 上单调递增，又 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ， ，
， ，使得 ，
在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
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函数 存在唯一的极小值点 ，且满足 .
下证： .
令 ，则 ，
令 ，则 ，
在 上单调递增，即 ，
在 单调递增， ，即
又 ， ，
又 ， ，
即 ， ，
即 ， ，又 ， .
【点睛】关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，本题第二问求解的关键是能够将问题转化为函
数在区间内单调，进一步将问题转化为恒成立问题的求解，并利用必要性探路来消除变量.
19. 位于第一象限的一点 满足 ，过 作 的切线，切点为 ，且满足
，设 为 关于 的对称点.
（1）证明：
（2）（i）若过 的另一条切线切 于 ，设 为 关于 的对称点，如此重复进行下去，若 为
关于切点 的对称点，设 ，证明： 为等差数列.
（ii）由ⅰ所设且 ，求 的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）证明见解析；（ii）
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【解析】
【分析】（1）法一：根据抛物线利用导数确定曲线在点 的切线斜率与 ， 的坐标关系，再
利 用 点 的 对 称 与 点 在 曲 线 上 可 得 结 论 ； 法 二 ： 设 切 线 为 ， 令 得
，解关于 方程从而，解方程根据坐标关系证得结论；
（2）（i）设过 的切线为： ，联立 ，令
，解关于 方程，结合等差数列的定义得结论；（ii）根据（i）中结论结
合直线与曲线相交弦长求得答案.
【小问 1 详解】
证明：方法一： ，
又 ，
，
方法二：设切线为 ，联立
得： ，令 得
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要证
即 .
【小问 2 详解】
（ⅰ）设过 的切线为： ，联立
得 ，令
记 ，则 设 ， ，
，
， 为等差数列
（ii）
此时 .
【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线与直线相交、对称点、切线、数列等总和应用.解决问题的关根据直
线与曲线相切令 转化变量为斜率 的方程，从而求解 与对称点的坐标，从而可结合直线与相交、等
差数列的定义求得结论.
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