浙江省四校2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题（解析版）

这是一份浙江省四校2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知复数z满足，则复数z对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】由复数z满足，可得，
所以复数在复平面内对应点位于第一象限.
故选：A.
2. 已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据已知条件有：，又，所以，
在上的投影向量为.
故选：C.
3. 在中，下列等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A，因为，所以，
，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，
，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C.
4. 设，，其中为虚数单位.则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为，
若，则，即，解得或，
所以由推不出，故充分性不成立；
由可以推出，故必要性成立；
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5. 定义在上的函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为在上单调递减，在上单调递减，
所以函数在上单调递减，
又，
所以是偶函数，
又函数在上单调递增，则，
而在上单调递增，则，
，则，
.
故选：B.
6. 设O是坐标原点，单位圆O上一点A，射线OA绕着O点逆时针旋转后得到OP，P为与单位圆的交点，P的坐标为，则A的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如图所示：
设
则点
又
所以.
故选：A.
7. 如图，在中，已知，，，，分别是，边上的点，且，，且，若线段，的中点分别为，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在中，，则，
分别是边的点，线段的中点分别为，
∴，，
∴，
∴两边平方得：
，
∵，∴，
又∵，
∴当时，最小值为，即的最小值为.
故选：B.
8. 锐角中，角A、B、C的对边分别为、、，满足，若存在最大值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由利用正弦定理可得，
即可得，
又，可得；
又，
所以；因此，即，可得，
由于为锐角三角形，则，即，解得，
，
因为，则，
由二次函数性质可得，若存在最大值，
则，解得．
故选：C．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.
9. 已知，为复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则或
D. 若，则
【答案】AC
【解析】对于选项A，若，则和互为共轭复数，所以，故选项A正确；
对于选项B，取，此时，，
满足，但，故选项B错误；
对于选项C，若，则，所以或，
可得或，故选项C正确；
对于选项D，取，，可得，故选项D错误.
故选：AC.
10. 通过等式（，）我们可以得到很多函数模型，例如将a视为自变量x，b视为常数，那么c就是a（即x）的函数，记为y，则，也就是我们熟悉的幂函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．若令，（e是自然对数的底数），将a视为自变量x（，），则b为x的函数，记为，下列关于函数的叙述中正确的有（ ）
A.
B. ，
C. 若，且m，n均不等于1，，则
D. 若对任意，不等式恒成立，则实数m的值为0
【答案】ACD
【解析】由题意知，则，
对于A，，A正确；
对于B，，，不妨取，
则，B错误；
对于C，，且m，n均不等于1，
由得，即，结合可知，
则，故，
当且仅当，即时等号成立，C正确；
对于D，当时，，则由恒成立，
得恒成立，即恒成立，
令，则，
设，由于在上单调递减，故，
则，故；
当时，，结合题意可知得恒成立，
即恒成立，此时令，同理可得，
由于在上单调递增，在上单调递减，
故，则，故，
综合上述可知m的值为0，D正确.
故选：ACD.
11. “圆幂定理”是平面几何中关于圆一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦，均过点，则下列说法正确的是（ ）
A. 为定值
B. 当时，为定值
C. 当时，面积的最大值为
D. 的取值范围是
【答案】ABD
【解析】如图，过作直径，依题意，
为定值，A正确；
若，则，
则，
又，则，
同理可得，故，B正确；
如图，当时，若为等边三角形，
则，
下面说明此等边三角形存在的情况：取中点，连接，
则在中，，则，
又在中，，则，所以存在满足题意的点，C错误；
若为中点，连接，
则
，
由题意，则，D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，共15分.
12. 已知为虚数单位，若复数满足，则取值范围是______.
【答案】
【解析】由可知，复数对应的点在以点为圆心，半径为的圆上，
而可理解为圆上的点到点的距离，
作直线,交圆于点，如图所示.
显然,当点与点重合时，，
当点与点重合时，.
即的取值范围是.
13. 为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度________米.
【答案】
【解析】设塔的高，
在中，，同理可得，，
在中，，则，
，
即，解得.
所以塔的高度为米.
14. 设与图象的相邻3个公共点自左向右依次为A，B，C，若，则m的值为_____.
【答案】
【解析】作出函数的大致图象，如图，令，，
解得，
则函数的图象与直线连续的三个公共点，，，且，
则点，关于直线对称，且，
所以，所以点的横坐标为，
.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，，.
（1）若，求；
（2）设，若，求，的夹角.
解：（1）因为，，
所以，，
又因为，
所以.
（2）因为，且，
所以，
所以，，
所以，，
所以，
即，即，
所以，，所以，
所以，的夹角.
16. 已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，.
（1）求角B的大小；
（2）若的角平分线与边相交于点，，，求的周长.
解：（1）的面积为，则，即，
又，即，所以，
则，
，.
（2）因为的角平分线与边相交于点，
所以，即，
所以，所以，
又由余弦定理，即，
所以，解得或（舍去），
所以.
17. 已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，.
（1）求；
（2）求的取值范围.
解：（1），且，
，
，
，
，
，
由正弦定理可得，
，
，
，．
（2）由（1）知，，则，
为锐角三角形，，则，
，．
．
，，，
，，
的取值范围为，则，
所以的范围为.
18. 已知函数，满足，且在区间上单调递增.
（1）求的值；
（2）设.若函数和在上有相同的最大值，求的取值范围.
解：（1）
，
由，则函数关于点中心对称，
所以，即，解得，
，
又在区间上单调递增，则，即，
，即，所以当时，.
（2）由（1），
当时，，
当时，函数取得最大值，最大值为2，
而函数与存在相同的最大值，
故当时，在上取得最大值2，
可得，，
当时，得，则，解得，
当时，得，则，解得，
当时，，此时，
当时，，此时，
综上所述，的取值范围为.
19. 定义在上的函数，如果对任意的，都有成立，则称为阶伸缩函数.
（）若函数为二阶伸缩函数，且当时，，求的值.
（）若三阶伸缩函数，且当时，，求证：函数在上无零点.
（）若函数为阶伸缩函数，且当时，的取值范围是，求在上的取值范围.
解：（1）由题设，当x∈（1，2]时，，
∴．
∵函数f（x）为二阶伸缩函数，
∴对任意x∈（0，+∞），都有f（2x）=2f（x）．
∴．
（2）当x∈（3m，3m+1]（m∈N*）时，．
由f（x）为三阶伸缩函数，有f（3x）=3f（x），
∵x∈（1，3]时，．
∴．
令，解得x=0或x=3m，它们均不在（3m，3m+1]内．
∴函数在（1，+∞）上无零点．
（3）由题设，若函数f（x）为k阶伸缩函数，有f（kx）=kf（x），
且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1）．
∴当x∈（kn，kn+1]时，．
∵，所以．
∴当x∈（kn，kn+1]时，f（x）∈[0，kn）．
当x∈（0，1]时，即0＜x≤1，
则∃k（k≥2，k∈N*）使，
∴1＜kx≤k，即kx∈（1，k]，∴f（kx）∈[0，1）．
又，∴，即．
∵k≥2，
∴f（x）在（0，kn+1]（n∈N*）上的取值范围是[0，kn）．