湖南省郴州市2025年高中数学学业水平合格性考试第二次监测试题含解析

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这是一份湖南省郴州市2025年高中数学学业水平合格性考试第二次监测试题含解析，共21页。
1．本试卷分试题卷和答题卡.试题卷共 6 页，有三道大题，共 25 道题目，满分 100 分.考试时
间 90 分钟.
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题
卡的指定位置.
3．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效.考生在答题
卡上按答题卡中注意事项的要求答题.
4．考试结束后，将答题卡小号在上，大号在下，装袋密封上交.
一、单选题（本大题共 18 题，每小题 3 分，共计 54 分.每小题列出的四个选项中，只有一项
是最符合题目要求的）
1. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意结合集合的交集运算求解即可.
【详解】因为集合，
所以 .
故选：B.
2. 命题“ ”的否定是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断即可.
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【详解】命题“ ”的否定是“ ”.
故选：A.
3. 下列函数中，是奇函数的是（）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数解析式的形式，直接判断选项.
【详解】是偶函数，是奇函数，和是非奇非偶函数.
故选：B
4. 从 1，2，3，4 这四个数中随机取两个数，则这两个数之和为偶数的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据古典概型概率公式，即可求解.
【详解】这 4 个数任取两个数，有，，，，，共 6 种情况，
两个数的和为偶数，则这两个数是奇数或是偶数，有和，共 2 种情况，
所以两个数之和为偶数的概率 .
故选：A
5. 已知为虚数单位，则复数对应的复平面上的点位于（）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的几何意义，即可判断选项.
【详解】复数对应的复平面上的点为，在第一象限.
故选：A
6. 函数的图象经过的定点是（）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据，确定函数的图象经过的定点.
【详解】由条件可知，，所以函数的图象经过的定点是 .
故选：C
7. 函数的图象大致是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用排除法，根据对数函数单调性分析判断即可.
【详解】由题意可知：函数在定义域内单调递增，
结合选项可知：ABC 错误，D 正确.
故选：D.
8. 已知 x，y 是实数，则“ ”是“ ”是的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的特征，举例说明充分必要性.
【详解】若，满足，此时，所以不是的充分条件，
反过来，若，满足，此时，所以也不是的必要条件，所以
”是“ ”的既不充分也不必要条件.
故选：D
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9. 已知正实数 a，b 满足，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意利用基本不等式求最值即可.
【详解】因为正实数 a，b 满足，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为 .
故选：B.
10. 函数的定义域为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】使分母不等于，及对数的真数大于即可求解.
【详解】要使有意义，则有，解得且，
所以的定义域为 .
故选：D.
11. 已知球 O 内切于一个边长为 6 的正方体，则球 O 的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据几何关系确定正方体内切球的半径，再根据球的表面积公式，即可求解.
【详解】正方体的棱长为 6，所以其内切球的半径为 3，
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所以球的表面积为 .
故选：C
12. 下列不等式正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对于 AB：根据对数函数性质单调性分析判断；对于 C：根据对数函数单调性结合中间值 2 分析判
断；对于 D：根据指数函数性质分析判断.
【详解】对于选项 A：因为，故 A 错误；
对于选项 B：因为，故 B 错误；
对于选项 C：因为，，
所以，故 C 正确；
对于选项 D：由指数函数性质可知：，故 D 错误；
故选：C.
13. 函数的零点是（）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】令，结合对数解方程即可得结果.
【详解】令，即，
可得，即，
所以函数零点是 0.
故选：A.
14. 下列说法正确的是（）
A. 第一象限角一定是锐角 B. 若是钝角，则是第一象限角
C. 大于的角一定是钝角 D. 若是锐角，则是第二象限角
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【答案】B
【解析】
【分析】对于 ACD：举反例说明即可；对于 B：根据可得的取值范围，即可分析判断.
【详解】对于选项 A：例如为第一象限角，但不是锐角，故 A 错误；
对于选项 B：若是钝角，则，
可得，所以是第一象限角，故 B 正确；
对于选项 C：例如，但不是钝角，故 C 错误；
对于选项 D：例如为锐角，则不是第二象限角，故 D 错误；
故选：B.
15. 已知向量，则的值（）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算求，即可得模长.
【详解】因为向量，则，
所以 .
故选：D.
16. 的值是（）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意利用余弦的倍角公式运算求解.
【详解】由题意可得： .
故选：D.
17. 已知函数的周期和振幅分别是（）
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A. ，2 B. ，4 C. ，2 D. ，4
【答案】D
【解析】
【分析】根据最小正周期公式结合振幅的定义分析判断即可.
【详解】因为函数的最小正周期，
则周期为，振幅为 4，结合选项可知 D 正确.
故选：D.
18. 一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6．连续抛掷这个骰子两次，并记录每次
正面朝上的数字，记事件 “两次向上的数字都为 3”， “两次向上的数字之和是 6”，则下列结论正确
的是（）
A. 该试验的样本空间共有 36 个样本点 B. 事件 A 与事件 B 互斥
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对于 A：根据题意直接判断即可；对于 B：根据互斥事件的定义分析判断；对于 CD：根据题意结
合古典概型运算求解即可.
【详解】对于选项 A：设样本空间为，则，
即该试验的样本空间共有 36 个样本点，故 A 正确；
对于选项 B：事件 “两次向上数字都为 3” ，
事件 “两次向上的数字之和是 6” ，
显然事件 B 包含事件 A，所以事件 A 与事件 B 不互斥，故 B 错误；
对于选项 C：因为，所以，故 C 错误；
对于选项 D：因为，所以，故 D 错误；
故选：A.
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）
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19. 计算： ______________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据对数的定义和指数幂运算求解.
【详解】由题意可知： .
故答案为：4.
20. 若，则 ________.
【答案】3
【解析】
【分析】
利用同角三角函数基本关系式化简求得表达式的值.
【详解】由于，所以 .
故答案为：
【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，属于基础题.
21. 若事件 A 与 B 互斥，且，则 ______________．
【答案】0.8##
【解析】
【分析】根据题意结合互斥事件概率加法公式运算求解.
【详解】因为事件 A 与 B 互斥，且，
所以 .
故答案为： .
22. 在中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知，则角 ___________.
【答案】
【解析】
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【分析】根据题意利用正弦定理可得，进行化简，再根据大边对大角的原理即可得解.
【详解】由正弦定理可得，
所以，
由，且则，
所以，
故答案为： .
三、解答题（本大题共 3 小题，每题 10 分，满分 30 分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤）
23. 如图，直四棱锥内接于圆柱，PA 为圆柱的母线，四边形 ABCD 是底面的内接平行四边
形，E，F 分别是 PA，PB 的中点．
（1）证明：平面 PCD；
（2）若四边形 ABCD 为长方形，且，求圆柱的表面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据中位数可知，进而可得，结合线面平行的判定定理分析证明；
（2）由题意可得，结合圆柱的侧面积公式可得圆柱的表面积.
【小问 1 详解】
因为，F 分别是 PA，PB 的中点，可知是的中位线，则，
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又因为，则，
且平面 PCD，平面 PCD，
所以 ∥平面 PCD.
【小问 2 详解】
因为四边形 ABCD 为长方形则为底面圆的直径，且，
设 r 为圆柱的底面圆半径，l 为圆柱的高，则，
所以圆柱的表面积 .
24. 已知某班一共有 n 个学生，男生比女生多 9 人，采用分层抽样的方法从中抽取 5 名学生志愿者参加植树
节活动，若抽取的样本中男生有 3 人，女生有 2 人．
（1）该班一共有多少人？
（2）从抽取的 5 名学生志愿者中再随机抽取 2 名同学承担浇灌任务．设 M 为事件“抽取的 2 名同学均为男
生”，求事件 M 发生的概率．
【答案】（1）45 （2）
【解析】
【分析】（1）首先根据分层比例关系设男生人数和女生人数，再根据条件列等式，即可求解；
（2）首先将 3 名男生和 2 名女生编号，利用列举法，以及古典概型概率公式，即可求解.
【小问 1 详解】
因为抽取 5 名同学中男生和女生的比例为，
根据分层抽样的方法可知：该班中男生人数为，女生人数为
因为男生比女生多 9 人，所以人，
解得人．
【小问 2 详解】
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由（1）知，设抽取的 3 名男生分别记为 A，B，C，
抽取的两名女生分别记为 a，b 从抽取的 5 名同学中抽取 2 名同学的所有可能结果为：
共 10 个．
M 为事件“抽取的 2 名同学均为男生”，则事件 M 包含的基本事件有：
，共 3 个基本事件，
事件 M 发生的概率．
25. 已知函数．
（1）证明：函数为奇函数；
（2）判断函数在 R 上的单调性，并用单调性定义证明；
（3）若不等式恒成立，求实数 m 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）单调递增，证明见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据题意可得函数定义域，结合奇函数的定义分析证明；
（2）设且，根据单调性的定义结合指数函数性质分析证明；
（3）分析可知原不等式等价于，结合函数单调性分析求解即可.
【小问 1 详解】
由题意可知：的定义域为 R，
且，
所以是奇函数．
小问 2 详解】
因为，
设且，
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则，
因为，则，可得，，
则，即，
故在 R 上的单调递增．
【小问 3 详解】
由（2）知在 R 上的单调递增，且
因为，则原不等式等价于，
即，可得且，解得或
所以实数 m 的取值范围为：或．
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