湖南省郴州市2025年高中学业水平合格性考试第一次监测数学试题 含解析

这是一份湖南省郴州市2025年高中学业水平合格性考试第一次监测数学试题 含解析，共13页。
注意事项：
1．本试卷分试题卷和答题卡.试题卷共 6 页，有三道大题，共 25 道题目，满分 100 分.考试时
间 90 分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡
的指定位置.
3.考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效.考生在答题卡
上按答题卡中注意事项的要求答题.
4.考试结束后，将答题卡小号在上，大号在下，装袋密封上交.
一、单选题（本大题共 18 题，每小题 3 分，共计 54 分.每小题列出的四个选项中，只有一项
是最符合题目要求的）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用交集的定义可求得集合 .
【详解】因为集合 ， ，则 .
故选：C.
2. 已知复数 （其中 为虚数单位），则 的虚部为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数虚部的概念即可得解.
【详解】因为 ，
所以 的虚部为 .
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故选：B.
3. 命题 ：“ ”是命题 ：“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由充分必要条件的定义分别验证：命题 成立时命题 是否一定成立，命题 成立时命题 是否
一定成立.
【详解】当 时， 不一定成立，故命题 不是命题 的充分条件；
当 时， 一定成立，故命题 是命题 的必要条件.
所以命题 是命题 必要不充分条件.
故选：B.
4. 命题：“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】特称命题 否定是全称命题，同时需要否定结论，即可得出答案.
【详解】特称命题 ， 的否定是全称命题，需要将特称改为全称，并将结论否定，即
， .
故选：B
5. 已知 为第四象限角， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据各象限三角函数的符号，结合同角三角函数的基本关系求值.
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【详解】因为 为第四象限角，且 ，
所以 ，且 .
所以 .
故选：D
6. 函数 的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据 的周期概念求解．
【详解】由已知最小正周期是 ，
故选：C．
7. 恩格斯曾经把对数的发明与解析几何学的产生、微积分学的创始并称为 17 世纪数学的三大成就，给予很
高的评价.根据对数的相关知识，下列四个命题中真命题的个数为（ ）个.
① ② ，则
③ ④若 ， ，
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】注意判断各式的准确性即可.
【详解】因为 成立，故①正确；
由 ，故②正确；
根据对数的运算性质： 成立，故③正确；
根据对数的运算性质： ， 时， ，故④错误.
故选：C
8. 如图，在正方形 中，异面直线 与 所成的角是（ ）
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A. 120° B. 90° C. 60° D. 30°
【答案】C
【解析】
【分析】根据异面直线所成角的定义进行求解.
【详解】连接 ,因为 且 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，即 或其补角是异面直线 与 所成的角.
在正方体中 ，即 是等边三角形，所以 .
故选：C
9. 若向量 ， ， ，则 （ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标表示求参数 的值.
【详解】因为 ，所以 ，
即 .
故选：D
10. 函数 的图象是（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数定义域及函数值的正负判断即可.
【详解】因为 的定义域为 ，故 BD 错误；
又 ，故 C 错误；故 A 正确.
故选：A
11. 函数 最小值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式求出最小值.
【详解】由 ，得 ，则 ，当且仅当 时取等
号，
所以所求的最小值为 8.
故选：D
12. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据诱导公式即可求得答案.
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【详解】 .
故选：A.
13. 已知直线 平面 ，则（ ）
A. 与 内所有直线都平行
B. 内不存在直线与 垂直
C. 过 的平面与 必平行
D. 内有无数条直线与 垂直
【答案】D
【解析】
【分析】由直线与平面平行定义可得答案.
【详解】对于 A，直线 平面 ，则平面内的直线与直线 l 可能平行，或异面，故 A 错误；
对于 B，由 A 分析，在与直线 l 异面的直线中，存在与直线 l 垂直，故 B 错误；
对于 C，过 l 的平面可能与 相交，故 C 错误；
对于 D，由 B 分析，可在平面 内做无数条与直线 l 垂直的直线，故 D 正确.
故选：D
14. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译密码的概率分别为 ， ，则恰有一人能成功破译的
概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由相互独立事件的概率公式代入计算，即可得到结果.
【详解】设事件 表示甲成功破译密码，事件 表示乙成功破译密码，
事件 表示恰有一人能成功破译密码，
则 .
故选：A
15. 为了得到函数 的图象，则只需将 的图象（ ）
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A. 向右平移 个长度单位 B. 向左平移 个长度单位
C. 向右平移 个长度单位 D. 向左平移 个长度单位
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移变换左加右减原则即可求解.
【详解】因为 ，
所以只需将 的图像向左平移 个长度单位.
故选：B.
16. 某校高一年级 个班参加广播体操比赛的比赛分数由小到大排列为： 、 、 、 、 、 、
、 、 、 ，则这组数据的 分位数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据百分位数 定义可求得结果.
【详解】因为 ，因此，这组数据的第 分位数为 .
故选：D.
17. 函数 的零点所在的一个区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断函数的单调性，再由 ，结合函数零点判定定理得答案.
【详解】因为 均为增函数，
所以函数 在 上单调递增，
且 ， ，
所以函数 的零点所在的一个区间是 .
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故选：D.
18. 在 中，若 ， ， ，则角 的大小为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦定理求得 ，由此求得角 的大小.
【详解】由正弦定理得 ，即 ，
又因为 ，则 ，
所以 或 .
故选：D
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 4 分，共计 16 分）
19. 若幂函数的图像过点 ，则此函数的解析式是 ______.
【答案】
【解析】
【分析】待定系数法，设幂函数的解析式 ，代点可得.
【详解】设幂函数 ，代入点 ，得 ，所以 ，
所以函数的解析式 .
故答案为：
20. 函数 的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用规则根号下的数为非负数即可.
【详解】 得 ，故定义域为 .
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故答案为：
21. 已知 ， ，则 的值为________．
【答案】 #0 6
【解析】
【分析】利用两角差的余弦公式直接计算可得结果.
【详解】解：∵ ，∴ ．
故答案为： .
22. 已知向量 ， ，若 ，则 ________.
【答案】2 或 4
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算以及模长公式，可得答案.
【详解】由题意，得 ，则 ，解得 或 4.
故答案为： 或 .
三、解答题（本题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤）
23. 已知函数 .
（1）若 为偶函数，求实数 的值；
（2）若函数 在区间 上是单调函数，求实数 的取值范围；
（3）若 对一切实数 都成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2） 或
（3）
【解析】
【分析】（1）由偶函数的性质建立方程，可得答案；
（2）根据二次函数的解析式，可得其图象的开口方向与对称轴，结合单调性，可得答案；
（3）由题意可得二次函数图象与 轴的交点个数，从可得根的判别式与零的大小关系，可得答案.
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【小问 1 详解】
由函数 为偶函数，则 ，可得 ，
解得 .
【小问 2 详解】
由二次函数 ，则其图象开口向上，且对称轴为直线 ，
由函数 在 上单调，则 或 ，解得 或 .
【小问 3 详解】
由题意可得 ，解得 .
24. 如图，四棱锥 的底面是边长为 2 的正方形，侧棱 底面 ，且 ， 为侧棱
的中点.
（1）求四棱锥 的体积；
（2）证明： 平面 ；
（3）证明： .
【答案】（1） ；
（2）证明见解析； （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用棱锥的体积公式即可；
（2）作辅助线，且 ，得出 ，再利用线面平行的判定定理即可；
（3）先利用线面垂直的判定定理证明 平面 ，再利用线面垂直的定义可得.
【小问 1 详解】
因 底面 ，则 为四棱锥 的高，
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因 ，正方形的边长为 ，
则四棱锥 的体积为 ；
【小问 2 详解】
连接 ，且 ，连接 ，
因四边形 为正方形，则 为线段 的中点，
又 为侧棱 的中点，则 为 的中位线，则 ，
因 平面 ， 平面 ，则 平面 ；
【小问 3 详解】
因四边形 为正方形，则 ，
又 平面 ， 平面 ，则 ，
因 ， 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，则 .
25. 近年来，我国超重和肥胖率呈快速上升趋势，儿童和青少年的肥胖问题尤为突出.超重和肥胖与多种慢
性疾病密切相关，严重威胁公共健康.青少年时期是培养健康饮食和运动习惯的关键阶段，早期干预能够有
效预防肥胖问题.今年“两会”期间，国家卫健委宣布从 2025 年起实施“体重管理年”三年计划，旨在通过系统
性措施改善青少年健康状况，降低肥胖率.体重指数（BMI）=体重（kg）/身高 ，青少年的 BMI 理想范
围参考值为：男生（15-18 岁）：17.5-23.5；女生（15-18 岁）：17.5-23.0；某城市对 1000 名高中生的体重指
数（BMI）进行了调查，BMI 的分组区间为 、 、 、 、 、 、
，调查结果的频率分布直方图如图所示.
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（1）求频率分布直方图中 的值及高中生 的平均数及中位数；
（2）在 BMI 为 、 、 的三组学生中，用分层抽样的方法抽取 10 名学生，则 BMI
在 的学生中应抽取多少名？
（3）在（2）条件下，在 BMI 为 和 的两组学生中任取 2 名学生，求这 2 名学生来自同一
组学生的概率.
【答案】（1） ；平均数 ；中位数
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图面积和为 1 即可得到 ，再由平均数以及中位数的计算公式代入计算，即可
得到结果；
（2）由分层抽样的公式代入计算，即可得到结果；
（3）由古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果.
【小问 1 详解】
由频率分布直方图面积和为 1 可得 ，
解得 ，
高中生 的平均数为
，
因为前三组的频率之和为 ，
所以中位数在 组，
设中位数为 ，则 ，解得 ，
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所以中位数为 .
【小问 2 详解】
、 、 的频率之比为 ，
共抽 10 名，则 的学生中应抽取 名.
【小问 3 详解】
由（2）可知， 抽 3 人，设 人分别为
则 抽取 人，2 人分别为 ，
设事件 表示抽取的 2 名学生来自同一组学生，
总情况数有
10 种，
2 名学生来自同一组学生的情况由 4 种，
则
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