四川省2023_2024学年高一数学下学期期中检测试题A卷含解析

这是一份四川省2023_2024学年高一数学下学期期中检测试题A卷含解析，共29页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
第 I 卷（选择题）
一、单选题（每小题 5 分，共 40 分）
1. 复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的除法运算，化解复数，并结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】复数 ，所以复数对应的点为 ，为第一象限的点.
故选：A
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式和两角差的正弦公式直接求解即可.
【详解】
.
故选：C.
3. 下列命题中正确的是（ ）
A. 单位向量的模都相等
B. 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C. 方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大
D. 两个有共同起点而且模相等的向量，其终点必相同
【答案】A
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【解析】
【分析】利用单位向量的定义可判定 A ；利用共线向量的定义可判定 B；利用平面向量的定义可判定 C、
D.
【详解】对于 A，因为单位向量的模长为 1，故 A 正确；
对于 B，因为方向相同或相反的向量是共线向量，故 B 错误；
对于 C，向量是具有方向和大小的量，模有大小，但方向不能比大小，故 C 错误；
对于 D，有共同起点，模长相等但方向不同的向量，终点不相同，故 D 错误.
故选：A
4. 下列命题中正确的是（ ）
A. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B. 棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C. 棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D. 棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合棱柱的几何结构特征，逐项判定，即可求解.
【详解】对于 A 中，如图所示满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故 A
不正确；
对于 B 中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，所以 B 不正确；
对于 C 中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故 C 不正确；
对于 D 中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等，且侧面都是平行四边形，所以 D 正确.
故选：D.
5. 把函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由图象平移变换写出解析式后判断.
【详解】由题意新函数解析式为 .
故选：A．
6. 在 中， ，BC 边上的高等于 ,则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：设
,故选 C.
考点：解三角形
7. 已知 的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 ，则 的形状是（
）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
【答案】C
【解析】
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【分析】利用余弦定理可得三角形的形状.
【详解】因为 ，不妨设 ， ，
则 为最大角，由余弦定理可得 ，
即 为钝角，所以 是钝角三角形.
故选：C
8. 在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用余弦定理解三角形即可.
【详解】 ，
所以 .
故选：D
二、多选题（每小题 5 分，共 20 分，错选不得分，漏选得 2 分）
9. 计算下列各式，结果为 的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由两角和与差的正弦，正切公式，二倍角的余弦公式对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于 A，
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，故 A 正确；
对于 B，因为 ，
可得 ，
所以 ，故 B 错误；
对于 C， ，故 C 正确；
对于 D， ，故 D 错误.
故选：AC.
10. 已知点 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意，根据平面共线向量的坐标表示判断 A，根据模的坐标表示判断 B，根据数量积的坐标表示
判断 C，根据垂直关系的向量表示判断 D.
【详解】A： ，则 ，所以 ，故 A 正确；
B： ，则 ，所以 ，故 B 正确；
C： ，则 ，故 C 错误；
D： ，则 ，所以 ，故 D 正确.
故选：ABD
11. 要得到函数 的图象，不能将函数 的图象（ ）
A. 向左平移 个单位长度，再把图象上的各个点的纵坐标扩大到原来的 2 倍
B. 向右平移 个单位长度，再把图象上的各个点的纵坐标缩小到原来的
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C. 向右平移 个单位长度，再把图象上的各个点的纵坐标扩大到原来的 2 倍
D. 向左平移 个单位长度，再把图象上的各个点的纵坐标缩小到原来的 .
【答案】ABC
【解析】
【分析】先利用辅助角公式，把 化成 ，再结合三角函数的图象变
换进行判断即可.
【详解】因为 .
对 A：将 的图象向左平移 个单位，得 ，
再把图象上的各个点的纵坐标扩大到原来的 2 倍，得 ，得不到 .
对 B：将 的图象向右平移 个单位，得 ，
再把图象上的各个点的纵坐标缩小到原来的 ，得 ，得不到 .
对 C：将 的图象向右平移 个单位，得 ，
再把图象上的各个点的纵坐标扩大到原来的 2 倍，得 ，得不到 .
对 D：将 的图象向左平移 个单位，得 ，
再把图象上的各个点的纵坐标缩小到原来的 ，得 .
故选：ABC
12. 在 中，角 的对边分别为 ，则下列对 的个数的判断正确的是（ ）
A. 当 时，有两解
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B. 当 时，有一解
C 当 时，无解
D. 当 时，有两解
【答案】AC
【解析】
【分析】由正弦定理对四个选项一一判断，得到答案.
【详解】对于 A，由正弦定理得 ，即 ，所以 ，
又因为 ，所以 或 ，有两解，故 A 正确；
对于 B，由正弦定理得 ，无解，故 B 错误；
对于 C，由正弦定理得 ，无解，故 C 正确；
对于 D，由正弦定理得 ，
又 ，所以 为锐角，此三角形只有一解，故 D 错误.
故选：AC.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13. 已知复数 满足 ，则 的模为___________．
【答案】
【解析】
【分析】设 ，则 ，由题意建立方程解出 a，b，结合复数的几何意义即可求
解.
【详解】设 ，则 ，
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由 ，得 ，
则 ，解得 ，所以 ，
所以 .
故答案为：
14. 在 中，已知 是 x 的方程 的两个实根，则 ________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据根与系数关系可得 ， ，再由三角形内角和的性质及和
角正切公式求 ，即可得其大小.
【详解】由题设， ， ，
又 ，且 ，
∴ .
故答案为： .
15. 已知向量 ，则 与 的夹角为__________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用平面向量的夹角的坐标公式直接求解即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 .
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故答案为： .
16. 某货轮在 处看灯塔 在货轮北偏东 ，距离为 nmile;在 处看灯塔 在货轮的北偏西 ，距
离为 nmile.货轮由 处向正北航行到 处时，再看灯塔 在南偏东 ，则灯塔 与 处之间的距离
是__________nmile.
【答案】
【解析】
【分析】先在 中，利用正弦定理求得 AD，再在 中，利用余弦定理求解.
【详解】在 中， ，
由正弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
，
所以 .
故答案为：
四、解答题（17 题 10 分，18—22 题每题 12 分，共 70 分．解答题应写出必要的文字说明和演
算步骤）
17 已知向量 ， .
（1）当 k 为何值时， 与 垂直？
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（2）若 ， ，且 三点共线，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平面向量垂直的坐标表示求解即可.
（2）利用平面向量共线的坐标表示求解即可.
【小问 1 详解】
易知 ， ，
若 与 垂直，则 ，即 ，解得 ，
故当 时， 与 垂直.
【小问 2 详解】
若 三点共线，则 与 共线，
由题意得 ， ，
可得 ，解得 ，
故 的值为 .
18. 已知函数 ．
（1）求 的最小正周期和 的单调递减区间；
（2）当 时，求函数 的值域及取得最小值时 x 的值．
【答案】（1） ；
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用二倍角降幂公式、辅助角公式可得出 ，利用周期公式可计算出函
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数 的最小正周期，解方程 可得出函数 的对称中心坐标；解不等式
，可得出函数 的单调递减区间；
（2）由 ，计算出 的取值范围，利用正弦函数的性质可得出该函数的最小值以及对应的
的值，从而得值域.
【小问 1 详解】
，
所以，函数 最小正周期为 .
解不等式 ，
解得 .
因此，函数 的单调递减区间为 ；
【小问 2 详解】
当 时， ，
当 时，即当 时，函数 取得最大值，最小值为 ，
当 时，即当 时，函数 取得最小值，最小值为 ，
所以函数 的值域为 ．
19. 在锐角 中，内角 ， ， 所对边分别为 ， ， ， ．
（1）求角 ；
（2）设 是角 的平分线，与 边交于 ，若 ， ，求 ， ；
【答案】（1）
（2） ，
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【解析】
【分析】（1）方法一：由余弦定理代入计算，即可得到结果；方法二：由正弦定理的边角互化代入计算，
即可得到结果；
（2）分别在 中与 中，结合正弦定理代入计算，即可得到 ，再由余弦定理代入计算，
即可得到结果.
【小问 1 详解】
法一：在锐角 中， ，
由余弦定理得 ，化简得 ，
可得 ，又 ，得 ．
法二：在锐角 中， ，由正弦定理得 ，
即 ，
可得 ，
又 ， ，得 ，又 ，得 ．
【小问 2 详解】
在 中，由正弦定理有 ，
在 中，由正弦定理有 ，
因为 是角 的平分线，故 ，
又 ，故 ，
所以 ，
设 ， ，
在 中，由余弦定理，有 ，
解得 ，所以 （负值舍去），
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所以 ， ．
20. 已知 是 三边长且 ， 的面积 .
（1）求角 ；
（2）求 的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理得到 ，求出 ；
（2）根据面积公式求出 ，结合 ，得到 ，进而得到 ，求出
周长.
【小问 1 详解】
由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ；
【小问 2 详解】
由三角形面积公式得 ，即 ，解得 ，
故 ，又 ，故 ，
所以 ，
故 ，即 ，
故 的周长为 .
21. 如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底 B 同在水平面内的两个测点 C 与 D.在 C
点测得塔底 B 在北偏东 方向，然后向正东方向前进 20 米到达 D，测得此时塔底 B 在北偏东 方向.
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（1）求点 D 到塔底 B 的距离 ；
（2）若在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ，求铁塔高 .
【答案】（1） 米
（2） 米
【解析】
【分析】（1）在 中，利用正弦定理可求出 的长；
（2）利用正弦定求得 ，再解直角三角形求得 .
【小问 1 详解】
由题意可知， ，故 ，
在 中， 由正弦定理， 得 ，即 ，
所以 （米）.
因此点 D 到塔底 B 的距离 为 米；
【小问 2 详解】
在 中， 由正弦定理， 得 ，
得
，
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在 中， ，
所以铁塔高 为 米.
22. 在锐角 中，角 所对边的边长分别为 ，且 .
（1）求角 ；
（2）求 的取值范围.
【答案】（1）
（2） .
【解析】
【分析】（1）由已知结合正弦定理可得结果；
（ 2） 根 据 为 锐 角 三 角 形 求 出 ， 利 用 两 角 差 的 正 弦 公 式 及 辅 助 角 公 式 化 简
，根据正弦函数性质可得结果.
【小问 1 详解】
，
，
又 ，
， .
【小问 2 详解】
由（1）可知， ，且 为锐角三角形，
所以 ， ，
则 ，
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因为 ，
.
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