辽宁省葫芦岛市2024_2025学年高一数学上学期1月期末考试试卷含解析

这是一份辽宁省葫芦岛市2024_2025学年高一数学上学期1月期末考试试卷含解析，共20页。试卷主要包含了 在中，为边上的中线，则， “”是“”的， 下列说法正确的是， 下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生须在答题卡和试题卷上规定的位置，准确填写本人姓名､准考证号，并核对条形码上的信息.确认无误后，将条形码粘贴在答题卡上相应位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上各题目规定答题区域内，超出答题区域书写或写在本试卷上的答案无效.
第I卷（选择题，共58分）
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用并集概念计算即可.
【详解】，则.
故选：C.
2. 设命题，则为（ ）
A. B.
C. .D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得结果.
【详解】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得为：.
故选：A.
3. 在中，为边上的中线，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的线性运算求解即可.
【详解】如图，
故选：C.
4. 为了关注学生们的健康成长，学校开展了一次高一年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了名学生，将他们的身高划分成了、、、、五个层次，根据抽样结果得到如下统计图表，则从图表中不能得出的信息是（ ）
A. 样本中层次身高的女生少于男生
B. 样本中层次身高人数最多
C. 样本中层次身高的学生人数占总人数的
D. 样本中层次身高的男生有人
【答案】D
【解析】
【分析】结合已知和两个统计图表，对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】对于A选项，样本中女生人数为人，则样本中男生人数为人，
样本中层次身高的男生人数为人，女生人数为人，
所以，样本中层次身高的女生少于男生，A对；
对于B选项，因为男生中层次的比例最大，女生中层次的比例最大，
所以样本中层次身高人数最多，B对；
对于C选项，样本中层次身高的女生有人，男生层次的有，
所以样本中层次身高的学生人数占总人数为比例为，C对；
对于D选项，样本中层次身高的女生有人，D错.
故选：D.
5. “”是“”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由不等式的性质及特例即可判断；
【详解】由可得：，
所以，
取，可得：，不满足，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：B
6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的定义域，根据函数解析式有意义，对于函数，可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域.
【详解】对于函数，，则，
所以，函数的定义域，
对于函数，有，即，解得.
因此，函数的定义域为.
故选：D.
7. 甲、乙两人每次射击命中目标概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响，两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击.约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先要明确前4次中甲恰好射击3次的所有可能情况，然后根据每次射击命中与否相互独立这一条件，利用独立事件概率的乘法公式来计算每种情况的概率，最后将所有情况的概率相加得到最终结果.
【详解】前4次中甲恰好射击3次有三种情况：
第一种情况：第一次甲命中，第二次乙命中，第三次甲没命中，第四次甲射击.
第二种情况：第一次甲没命中，第二次甲没命中，第三次甲命中，第四次乙射击 .
第三种情况：第一次甲没命中，第二次甲命中，第三次乙命中，第四次甲射击 .
甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，
则甲、乙两人每次射击没有命中目标的概率分别为与.
计算第一种情况的概率:
根据独立事件概率的乘法公式，这种情况的概率为.
计算第二种情况的概率:
根据独立事件概率的乘法公式，这种情况的概率为.
计算第三种情况的概率:
根据独立事件概率的乘法公式，这种情况的概率为.
计算前4次中甲恰好射击3次的总概率:
将三种情况的概率相加得，前4次中甲恰好射击3次的概率为.
故选：B.
8. 已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（ ）
A. 恒大于0B. 恒小于0C. 等于0D. 无法判断
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数的定义和单调性求的值，分析函数的奇偶性，根据为奇函数可得结果.
【详解】∵函数是幂函数，∴，解得或，
∵对任意的且，满足，
∴在上为增函数，故，即，
∵，∴为上单调递增的奇函数，
∵，∴，
∴，故.
故选：B.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 个数据的平均数为，另个数据的平均数为，则这个数据的平均数是
B. 一组数据、、、、、的分位数为
C. 若样本数据、、、的平均数为，则数据、、、的平均数为
D. 若样本数据、、、的方差为，则数据、、、的方差为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用平均数公式可判断A选项；利用百分位数的定义可判断B选项；利用平均数的性质可判断C选项；利用方差的性质可判断D选项.
【详解】对于A选项，个数据的平均数为，另个数据的平均数为，
则这个数据的平均数是，A对；
对于B选项，将数据由小到大排列依次为：、、、、、，
因为，因此，该组数据分位数为，B错；
对于C选项，若样本数据、、、的平均数为，
则数据、、、的平均数为，C错；
对于D选项，若样本数据、、、的方差为，
则数据、、、的方差为，D对.
故选：AD.
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 的最小值为
B. 已知，则的最小值为
C. 若正数、为实数，若，则的最大值为
D. 设、为实数，若，则的最大值
【答案】BD
【解析】
【分析】取，利用基本不等式可判断A选项；利用基本不等式可判断B选项；由已知等式变形得出，将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可判断C选项；由基本不等式可得出关于的不等式，可求出的最大值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，函数无最小值，A错；
对于B选项，当时，则，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故当时，函数的最小值为，B对；
对于C选项，因为正数、满足，则，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为，C错；
对于D选项，因为、为实数，且，
则，
可得，解得，
当且仅当时，即当时，取最大值，D对.
故选：BD.
11. 如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（ ）
A.
B. 向量与共线
C.
D. 若，则最大值
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用平面向量的基本定理求出关于、的表达式，可判断A选项；利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，结合平面向量共线的基本定理可判断B选项；推导出，可得出、、面积的关系，可判断C选项；分析可知存在，使得，利用平面向量的基本定理可得出关于的表达式，可求出的最大值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，由题意可知，，则，
因为为的中点，则，即，
所以，，
因为，则存在，使得，
因为、、三点共线，则存在，使得，
即，可得，
因为、不共线，所以，，解得，故，A对；
对于B选项，，
所以，、不共线，B错；
对于C选项，因为为的中点，则，
因为，则，
故，同理可得，
所以，，C对；
对于D选项，因为为线段上一个动点，则存在，使得，
所以，，
因为、不共线，则，，故，
因此，的最大值为，D对.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于选择基底，将问题中相关的向量利用基本向量加以表示，再结合平面向量相关知识求解.
第II卷（非选择题，共92分）
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知，则__________.
【答案】2
【解析】
【分析】要求的值，需要先找到时的值，然后将其代入已知等式中求解.
【详解】令，则，得.
把代入中，
此时，那么.
故答案为：2.
13. “阿秒光脉冲”是年诺奖物理学获奖项目，主要用于研究物质中的电子动力学.已知阿秒为时间单位，且阿秒等于秒，光速约为米/秒.将米长的木棒每天截取它的一半，按照此法，要使木棒长度小于光经阿秒所走的距离，至少需要经过的天数是__________.（参考数据：，）
【答案】
【解析】
【分析】设至少需要经过天，根据题意可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】设至少需要经过天，木棒第一天剩余的长度为米，
木棒第二天剩余的长度为米，木棒第三天剩余的长度为米，，
以此类推可知，木棒第天剩余的长度为米，
由题意可得，可得，
所以，，
所以，，则，
故至少需要天.
故答案为：.
14. 已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】零点问题转化为直线与函数的图象有四个交点，作出函数图象数形结合可得结果.
【详解】由得，，
问题转化为直线与函数的图象有四个交点，作出函数图象如下：
由图可知，的取值范围为.
故答案为：.
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 已知集合，集合.
（1）当，求集合；
（2）当，求实数的取值范围.
【答案】（1）或，
（2）
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式，再结合交集，补集概念计算即可；
（2）运用集合之间的包含关系构造不等式组计算即可.
【小问1详解】
由，得，
解得，所以.
当时，集合，
即
则或
则
【小问2详解】
由的两个根为，
因为
所以，
又因为，
解得
所以实数的取值范围为
16. 在中，是重心，直线过点，交于点，交于点.
（1）求；
（2）若为正实数，求的最小值.
【答案】（1）
（2）6
【解析】
【分析】（1）法一，由重心坐标公式即可求解；法二，由可求解；
（2）由三点共线得到，再结合基本不等式即可求解；
【小问1详解】
设点，由中心坐标公式得：
，
，
又，
所以，，
故
法二：
根据题意：，
所以，.
【小问2详解】
由，
得，
所以
因为三点共线，
所以.
则
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为6.
17. 已知函数为奇函数.
（1）求实数的值，并判断函数的单调性（不必说明理由）；
（2）解不等式；
（3）设函数，若对，总，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），函数是定义域上的增函数
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由奇函数的性质可得出，可求出的值，然后利用函数奇偶性的定义证明即可，然后利用指数函数的单调性可判断出函数在其定义域上的单调性；
（2）利用函数的单调性结合奇偶性可将不等式变形为，利用指数函数的单调性解之即可；
（3）分析可知，函数的值域为函数在上的值域的子集，可得出关于实数的不等式组，解之即可.
【小问1详解】
对任意的，，
所以，定义域为且函数为奇函数，
所以，则，
因为，
所以奇函数，符合题意，故成立；
，是定义域上的增函数，理由如下：
对任意的、且，则，
所以，
，即，
所以，函数为上的增函数.
【小问2详解】
因为函数是实数集上的增函数又是奇函数，
所以由可得，
所以，，可得，即，
因为，则，解得，
所以不等式的解集为.
【小问3详解】
因为函数，显然，所以有
可得，则，则，
因为
，
令，当时，，
设，所以，，
于是当时，，
对，总，使得成立，
所以，函数的值域为函数在上的值域的子集，即，
所以有，解得，即实数的取值范围为.
18. 为了解高一年级学生身体素质的基本情况，抽取部分高一年级学生开展体质健康能力测试，满分分.参加测试的学生共人，考核得分的频率分布直方图如图所示.
（1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计全校高一年级体测成绩的分位数；
（2）为提升同学们的身体素质，校方准备增设体育课的活动项目.现采用分层抽样的方法，从得分在内的学生中抽取人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率；
（3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为，方差为，在）内的平均数为，方差为，求得分在内的平均数和方差.
【答案】（1），分位数为
（2）
（3）平均数，方差为
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为，可求出的值，利用百分位数的概念可求出分位数；
（2）分析可知，抽出的位同学中，得分在的有人，设为、，在的有人，设为、、，利用列举法结合古典概型的概率公式可求出所求事件的概率；
（3）利用分层抽样的均值和方差公式可求得结果.
【小问1详解】
由题意得：，解得，
抽取的样本中，设第百分位数为，
前三个矩形的面积之和为，
前四个矩形的面积之和为，所以，，
则，
解得，因此高一年级体测成绩的的分位数为.
【小问2详解】
由题意知，抽出的位同学中，得分在的有人，设为、，
在的有人，设为、、.
则样本空间为，
，
设事件两人分别来自和，
则，则，
因此，所以两人得分分别来自和的概率为.
【小问3详解】
由题意知，落在区间内的数据有个，
落在区间内的数据有个.
记在区间的数据分别为、、、，平均分为，方差为，
在区间的数据分别为为、、、，平均分为，方差为；
这个数据的平均数为，方差为.
由题意，，，，，
且，，则.
由分层抽样方差公式可得：
故得分在内的平均数为，方差为.
19. 若两函数与同时满足下列两个条件：①定义域为的非常值函数；②均有，则称为的“函数”.
（1）判断函数是否为的“函数”；
（2）若为的“函数”，判断函数的奇偶性，并证明；
（3）在（2）的条件下，如果，当时，，且对所有实数均成立，求满足要求的最小正数，并说明理由.
【答案】（1）不是的“函数”，
（2）是奇函数，证明见解析
（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用新定义代入计算验证即可；
（2）根据奇函数的定义及函数新定义的概念即可求解；
（3）根据奇函数的性质及赋值法，结合递推关系判定周期性，再用反证法判定最小正周期即可.
【小问1详解】
不是“函数”，
易知①
②
显然①②两式不相等，即不是的“函数”，
【小问2详解】
为奇函数.
令，则有，
令，则有，
两式相加得，
因为是定义在上的非常值函数，所以不恒为0，
所以，所以是奇函数.
【小问3详解】
令，则
令
，
因为，所以，
令，则，
令，则
若，
若
，
则，
综上可知满足题意.
再用反证法证是满足题意的最小正数，
若满足要求，令，
则，即，
故，
而，
所以，矛盾，故不符题意.
所以存在是满足题意的最小正数.
【点睛】关键点点睛：本题关键是利用函数的奇偶性，周期性，结合反证法及赋值法来处理问题.