辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高一(上)1月期末考试数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高一(上)1月期末考试数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，则.
故选：C.
2. 设命题，则为（ ）
A. B.
C. .D.
【答案】A
【解析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得为：.
故选：A.
3. 在中，为边上的中线，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】如图，.
故选：C.
4. 为了关注学生们的健康成长，学校开展了一次高一年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了名学生，将他们的身高划分成了、、、、五个层次，根据抽样结果得到如下统计图表，则从图表中不能得出的信息是（ ）
A. 样本中层次身高的女生少于男生
B. 样本中层次身高人数最多
C. 样本中层次身高的学生人数占总人数的
D. 样本中层次身高的男生有人
【答案】D
【解析】对于A选项，样本中女生人数为人，
则样本中男生人数为人，
样本中层次身高的男生人数为人，女生人数为人，
所以，样本中层次身高的女生少于男生，A对；
对于B选项，因为男生中层次的比例最大，女生中层次的比例最大，
所以样本中层次身高人数最多，B对；
对于C选项，样本中层次身高的女生有人，男生层次的有，
所以样本中层次身高的学生人数占总人数为比例为，C对；
对于D选项，样本中层次身高的女生有人，D错.
故选：D.
5. “”是“”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由可得：，所以，
取，可得：，不满足，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：B.
6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对于函数，，则，
所以，函数的定义域，
对于函数，有，即，解得.
因此，函数的定义域为.
故选：D.
7. 甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响，两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击.约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】前4次中甲恰好射击3次有三种情况：
第一种情况：第一次甲命中，第二次乙命中，第三次甲没命中，第四次甲射击.
第二种情况：第一次甲没命中，第二次甲没命中，第三次甲命中，第四次乙射击.
第三种情况：第一次甲没命中，第二次甲命中，第三次乙命中，第四次甲射击.
甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，
则甲、乙两人每次射击没有命中目标的概率分别为与.
计算第一种情况的概率：
根据独立事件概率的乘法公式，这种情况的概率为.
计算第二种情况的概率：
根据独立事件概率的乘法公式，这种情况的概率为.
计算第三种情况的概率：
根据独立事件概率的乘法公式，这种情况的概率为.
计算前4次中甲恰好射击3次的总概率：
将三种情况的概率相加得，前4次中甲恰好射击3次的概率为.
故选：B.
8. 已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（ ）
A. 恒大于0B. 恒小于0C. 等于0D. 无法判断
【答案】B
【解析】∵函数是幂函数，
∴，解得或，
∵对任意的且，满足，
∴在上为增函数，故，即，
∵，∴为上单调递增奇函数，
∵，∴，∴，故.
故选：B.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 个数据的平均数为，另个数据的平均数为，则这个数据的平均数是
B. 一组数据、、、、、的分位数为
C. 若样本数据、、、的平均数为，则数据、、、的平均数为
D. 若样本数据、、、的方差为，则数据、、、的方差为
【答案】AD
【解析】对于A选项，个数据的平均数为，另个数据的平均数为，
则这个数据的平均数是，A对；
对于B选项，将数据由小到大排列依次为：、、、、、，
因为，因此，该组数据的分位数为，B错；
对于C选项，若样本数据、、、的平均数为，
则数据、、、的平均数为，C错；
对于D选项，若样本数据、、、的方差为，
则数据、、、的方差为，D对.
故选：AD.
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 的最小值为
B. 已知，则的最小值为
C. 若正数、为实数，若，则的最大值为
D. 设、为实数，若，则的最大值
【答案】BD
【解析】对于A选项，当时，，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，函数无最小值，A错；
对于B选项，当时，则，
则，
当且仅当2x-1=2x-1x>1时，即当时，等号成立，
故当时，函数的最小值为，B对；
对于C选项，因为正数、满足，则，
所以，，
当且仅当4yx=xy2x+1y=4x>0,y>0时，即当时，等号成立，故的最小值为，C错；
对于D选项，因为、为实数，且，
则，
可得，
解得，
当且仅当时，即当时，取最大值，D对.
故选：BD.
11. 如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（ ）
A.
B 向量与共线
C.
D. 若，则最大值
【答案】ACD
【解析】对于A选项，由题意可知，，
则，
因为为的中点，则，即，
所以，，
因为，则存在，使得，
因为、、三点共线，则存在，使得，
即，可得，
因为、不共线，所以，，解得，故，A对；
对于B选项，，
所以，、不共线，B错；
对于C选项，因为为的中点，则，
因为，则，
故，同理可得，
所以，，C对；
对于D选项，因为为线段上一个动点，则存在，使得，
所以，，
因为、不共线，则，，故，
因此，的最大值为，D对.
故选：ACD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知，则__________.
【答案】2
【解析】令，则，得.
把代入中，此时，那么.
13. “阿秒光脉冲”是年诺奖物理学获奖项目，主要用于研究物质中的电子动力学.已知阿秒为时间单位，且阿秒等于秒，光速约为米/秒.将米长的木棒每天截取它的一半，按照此法，要使木棒长度小于光经阿秒所走的距离，至少需要经过的天数是__________.（参考数据：，）
【答案】
【解析】设至少需要经过天，木棒第一天剩余的长度为米，
木棒第二天剩余的长度为米，木棒第三天剩余的长度为米，，
以此类推可知，木棒第天剩余的长度为米，
由题意可得，可得，
所以，，
所以，，则，
故至少需要天.
14. 已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】由得，，
问题转化为直线与函数的图象有四个交点，作出函数图象如下：
由图可知，的取值范围为.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 已知集合，集合.
（1）当，求集合；
（2）当，求实数的取值范围.
解：（1）由，得，
解得，所以.
当时，集合，
即，则或，
则.
（2）由的两个根为，
因，所以，
又因为，解得，
所以实数的取值范围为.
16. 在中，是重心，直线过点，交于点，交于点.
（1）求；
（2）若为正实数，求的最小值.
解：（1）设点，由中心坐标公式得：
，
，
又，所以，
故.
法二：
根据题意：，
，
所以.
（2）由，得，
所以，
因为三点共线，所以.
则
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为6.
17. 已知函数为奇函数.
（1）求实数的值，并判断函数的单调性（不必说明理由）；
（2）解不等式；
（3）设函数，若对，总，使得成立，求实数的取值范围.
解：（1）对任意的，，
所以的定义域为且函数为奇函数，
所以，则，
因为，
所以是奇函数，符合题意，故成立；
，是定义域上的增函数，理由如下：
对任意的、且，则，
所以，
=22x1-2x22x1+12x2+1>0，即，
所以，函数为上的增函数.
（2）因为函数是实数集上的增函数又是奇函数，
所以由f4x+f-2x+2-5>0可得f4x>-f-2x+2-5=f2x+2+5，
所以，，可得2x2-4⋅2x-5>0，即2x-52x+1>0，
因为，则，解得，
所以不等式f4x+f-2x+2-5>0的解集为.
（3）因为函数，显然，所以有，
可得，则，则，
因为
，
令，当时，，
设，所以，，
于是当时，，
对，总，使得成立，
所以，函数的值域为函数在上的值域的子集，
即，
所以有，解得，即实数的取值范围为.
18. 为了解高一年级学生身体素质的基本情况，抽取部分高一年级学生开展体质健康能力测试，满分分.参加测试的学生共人，考核得分的频率分布直方图如图所示.
（1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计全校高一年级体测成绩的分位数；
（2）为提升同学们的身体素质，校方准备增设体育课的活动项目.现采用分层抽样的方法，从得分在内的学生中抽取人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率；
（3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为，方差为，在）内的平均数为，方差为，求得分在内的平均数和方差.
解：（1）由题意得：，解得，
抽取的样本中，设第百分位数为，
前三个矩形的面积之和为，
前四个矩形的面积之和为，所以，
则，
解得，
因此高一年级体测成绩的的分位数为.
（2）由题意知，抽出的位同学中，得分在的有人，设为、，
在的有人，设为、、.
则样本空间为，
，
设事件两人分别来自和，
则，则，
因此，所以两人得分分别来自和的概率为.
（3）由题意知，落在区间内的数据有个，
落在区间内的数据有个.
记在区间的数据分别为、、、，平均分为，方差为，
在区间的数据分别为为、、、，平均分为，方差为；
这个数据平均数为，方差为.
由题意，，，，，
且，，则.
由分层抽样方差公式可得：
故得分在内的平均数为，方差为.
19. 若两函数与同时满足下列两个条件：①定义域为的非常值函数；②均有，则称为的“函数”.
（1）判断函数是否为的“函数”；
（2）若为的“函数”，判断函数的奇偶性，并证明；
（3）在（2）的条件下，如果，当时，，且对所有实数均成立，求满足要求的最小正数，并说明理由.
解：（1）不是“函数”，
易知①，
②，
显然①②两式不相等，即不是的“函数”.
（2）为奇函数.
令，则有，
令，则有，
两式相加得，
因为是定义在上的非常值函数，所以不恒为0，
所以，所以是奇函数.
（3）令，则，
令，，
因为，所以，
令，则，
令，则
，
若，
若，
则，
综上可知满足题意.
再用反证法证是满足题意的最小正数，
若满足要求，令，
则，即，
故，
而，
所以，矛盾，故不符题意.
所以存在是满足题意的最小正数.