2024-2025学年江苏省南通市海安高级中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省南通市海安高级中学高一（下）期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足z(1−i)=2i，则复数z在复平面内对应的点所在象限为( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.设向量a=(−1,1)，b=(1,3)，则b−2a=( )
A. (3,1)B. (−2,−2)C. (2,−2)D. (−3,−1)
3.将函数y=3sin(2x+π4)+1的图象向左平移π3后得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的图象的一个对称中心为( )
A. (11π24,0)B. (11π24,1)C. (13π24,0)D. (13π24,1)
4.已知向量a，b不共线，且向量a+λb与(λ−1)a+2b共线，则实数λ的值为( )
A. −2或−1B. −2或1C. −1或2D. 1或2
5.如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图为△A′B′C′，若A′B′=A′C′=1，则BC=( )
A. 5B. 5C. 2D. 2
6.设A，B，C，D是空间不共面的四个点，且满足AB⋅AC=0，AC⋅AD=0，AD⋅AB=0，则△BCD的形状是( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形
7.释迦塔俗称应县木塔，建于公元1056年，是世界上现存最古老最高大之木塔，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.2016年、释迦塔被吉尼斯世界纪录认定为世界最高的木塔.小张为测量木塔AB的高度，设计了如下方案：在木塔所在地面上取一点M，并垂直竖立一高度为1m的标杆MN，从点N处测得木塔顶端A的仰角为60°，再沿BM方向前进92m到达C点，并垂直竖立一高度为2.5m的标杆CD，再沿BC方向前进2m到达点E处，此时恰好发现点A，D在一条直线上.若小张眼睛到地面的距离EF=1.5m，则小张用此法测得的释迦塔的高度AB约为(参考数据： 3≈1.732)( )
A. 64.5mB. 67.8mC. 70.2mD. 72.4m
8.对于集合A={θ1,θ2,…,θn}和常数θ0，定义：μ=cs2(θ1−θ0)+cs2(θ2−θ0)+…+cs2(θn−θ0)n为集合A={θ1,θ2,…,θn}相对常数θ0的“余弦方差”.若集合A={π3,2π3,π}，则集合A相对常数θ0的“余弦方差”为( )
A. 12B. 32C. 1D. 与θ0的取值有关
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知非零复数z1，z2，其共轭复数分别为z1−,z2−，则下列选项正确的是( )
A. z12=z1−2 B. z1+z2−=z1−+z2−
C. 若|z2+1|=1，则|z2−1|的最小值为2 D. |z1z2|=|z1||z2|
10.重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD，其中∠COD=2π3,OC=3OA=3，动点P在CD上(含端点)，连接OP交扇形OAB的弧AB于点Q，且OQ=xOC+yOD，则下列说法正确的是( )
A. 若y=x，则x+y=23B. 若y=2x，则OA⋅OP=0
C. AB⋅PQ≥−2D. PA⋅PB≥112
11.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S= 14[c2a2−(c2+a2−b22)2].现有△ABC满足sinA：sinB：sinC=2：3： 7，且△ABC的面积S△ABC=3 32，请运用上述公式判断下列命题正确的是( )
A. △ABC周长为5+ 7
B. △ABC三个内角A，C，B满足关系A+B=2C
C. △ABC外接圆半径为2 213
D. △ABC中线CD的长为 192
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a：b：c=4：5：6，则cs2C的值为______．
13.方程x2+3ax+3a+1=0(a>2)两根tanα、tanβ，且α，β∈(−π2,π2)，则α+β= ______．
14.设x∈R，向量a=(x,1)，b=( 3,−3)，且a⊥b，则x= ；当t∈[−1,2]时，|ta+b|的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,−x),c=(−3,5),x∈R．
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a//b，求|2a−b|的值．
(3)若a与c的夹角是钝角，求x的取值范围．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=2csx( 3sinx+csx)−1，g(x)=f(2x−π4)．
(1)求f(x)最小正周期；
(2)求g(x)的对称中心；
(3)若|g(x)−m|≤2在[0,π4]上恒成立，求实数m的取值范围．
17.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1+sinAcsA=1+sinBcsB．
(1)判断△ABC的形状；
(2)设AB=2，且D是边BC的中点，求当∠CAD最大时△ABC的面积．
18.(本小题17分)
有一个半径为r，圆心角α=π3的扇形铁皮OMN，现利用这块铁皮并根据下列方案之一，裁前出一个矩形．
方案1：如图1，裁前出的矩形ABCD的顶点A，B在线段ON上，点C在弧MN上，点D在线段OM上；
方案2：如图2，裁剪出的矩形PQRS的顶点P，S分别在线段OM，ON上，顶点Q，R在弧MN上，并且满足PQ//RS//OE，其中点E为弧MN的中点．
(1)按照方案1裁前，设∠NOC=θ，用θ表示矩形ABCD的面积，并求出其最大面积；
(2)按照方案2裁前，求矩形PQRS的最大面积，并与(1)中的结果比较后指出按哪种方案可以裁前出面积最大的矩形．
19.(本小题17分)
如图，设Ox、Oy是平面内相交成α(0