2024-2025学年陕西省西安市长安三中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年陕西省西安市长安三中高一（下）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z=1−i5i3，则z−的虚部为( )
A. 1B. −1C. iD. −i
2.已知点A(1,0)，B(2,−1)，则与向量AB方向相反的单位向量为( )
A. (− 22, 22)B. (1,−1)C. (3,1)D. (3 1010, 1010)
3.已知向量a=(4,2)，b=(1,m)，若a⊥b，则实数m=( )
A. 2B. −2C. 12D. −12
4.在△ABC中，A=60°，AC=3，BC=3 62，则B=( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 60°或120°
5.已知m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，A表示点，则下列命题正确的是( )
A. 若直线m上有无数个点在平面α内，则m//α
B. 若m⊂α，n⊂β，且α//β，则m//n
C. 若m⊂α，n⊂β，则m//n
D. 若α∩β=m，且A∈α，A∈β，则A∈m
6.在平行四边形ABCD中，点M，N满足CM=2MD，BN=3NC，则MN等于( )
A. 13AB+34ADB. 13AB−34ADC. −23AB+14ADD. 23AB−14AD
7.“七巧板”是我国古代劳动人民的伟大发明，被誉为“东方魔方”.某同学制作了一个“七巧板”玩具，如图所示.其中正方形ABCD的边长为4，点E，O，G分别是线段AB，AC，OC的中点，则DE⋅BG=( )
A. −10
B. 10
C. −14
D. 14
8.如图，边长为1的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折起，使B，C，D三点重合于点P，则三棱锥P−AEF的最短的高长为( )
A. 13B. 23
C. 34D. 1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 棱柱的侧面都是平行四边形 B. 圆锥过轴的截面是一个等腰三角形
C. 直四棱柱是长方体 D. 任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥
10.已知z1，z2都是复数，则下列结论错误的是( )
A. 若|z1|=|z2|，则z1=±z2 B. 若z1+z2为实数，则z1−z2为纯虚数
C. 若z1z2=0，则z1=z2=0 D. 若z1与z2互为共轭复数，则|z1z2|=|z1||z2|
11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，则下列说法正确的是( )
A. 直线BC1与B1D1所成的角为60° B. 直线BD与CA1所成的角为60°
C. 平面BA1C1⊥平面ABC1D1 D. 平面BA1C1与平面ABCD所成的角大于45°
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积 ．
13.在边长为2的正方形ABCD中，挖去一个以AB为直径的半圆，再将所得平面图形(如图)以线段CD的垂直平分线为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为______．
14.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=60°，c=4，若△ABC有两解，则b的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为(1,−2)，(3,1)．
(1)求|z1z2|；
(2)若复数z1+az2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．
16.(本小题15分)
已知平面向量a与b的夹角为3π4，且|a|=1，|b|= 2．
(1)求向量3a+2b的模；
(2)若(a+2b)⊥(ka−b)，求实数k的值；
(3)设λ为实数，求|a−λb|的最小值．
17.(本小题15分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．
(1)求证：AN//平面DBEF；
(Ⅱ)求证：平面AMN//平面DBEF．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=2AB=4，PA⊥平面ABCD，且M是PD的中点．
(Ⅰ)求证：AM⊥PC；
(Ⅱ)求直线AC与平面PCD所成角的正切值．
19.(本小题17分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且sinCsinA+sinB=a−bb+c．
(Ⅰ)求A；
(Ⅱ)设△ABC的面积为2 3，
(i)已知M为BC的中点，求△ABC底边BC上中线AM长的最小值；
(ii)求△ABC的内角A的角平分线AN长的最大值．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：因为复数z=1−i5i3=1−i−i=(1−i)i−i2=i+1，
故z−=1−i，虚部为−1．
故选：B．
根据复数的基本运算求得z，进而求解结论．
本题主要考查复数的基本运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：已知点A(1,0)，B(2,−1)，
则AB=(1,−1)，
则与向量AB方向相反的单位向量为−AB|AB|=(− 22, 22)．
故选：A．
与向量AB方向相反的单位向量为−AB|AB|，然后求解即可．
本题考查了单位向量的求法，属基础题．
3.【答案】B
【解析】解：因为向量a=(4,2)，b=(1,m)，且a⊥b，
所以4×1+2m=0，解得m=−2．
故选：B．
根据向量垂直的性质求解即可．
本题主要考查向量垂直的性质应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为△ABC中，A=60°，AC=3，BC=3 62，
所以由正弦定理BCsinA=ACsinB，可得sinB=ACsinABC=3× 323 62= 22，
结合B为三角形的内角，且B1，
故∠BOB1>45°，故D正确．
故选：AD．
通过AD1/​/BC1，将直线BC1与B1D1所成的角转化为求∠B1D1A(或其补角)，可判断A；通过证明BD⊥平面ACAA1，可判断B；根据面面垂直的判定定理，可判断C；根据两平面所成角的定义以及正方体的结构特征，可判断D．
本题主要考查异面直线所成角，平面与平面所成角，属于中档题．
12.【答案】2 2
【解析】解：根据题意，正方形OABC的边长为1，则其面积S′=1，
又由正方形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，则其原图的面积S=2 2S′=2 2．
故答案为：2 2．
根据题意，求出正方形OABC的面积，由直观图与原图的面积关系分析可得答案．
本题考查斜二测画法，涉及平面图形的直观图，属于基础题．
13.【答案】4π3
【解析】解：因为边长为2的正方形ABCD中，挖去一个以AB为直径的半圆，
以线段CD的垂直平分线为旋转轴旋转一周得到的几何体是：
底面半径为1，高为2的圆柱挖去一个半径为1的半球，
所以体积为：π×12×2−12×43π×13=43π．
故答案为：4π3．
由圆柱及球的体积公式即可求解．
本题考查几何体体积的计算，属于基础题．
14.【答案】(2 3,4)
【解析】解：由正弦定理有：bsinB=csinC⇒bsin60∘=csinC=4sinC⇒sinC=4sin60°b=2 3b2 3，
又△ABC有两解，所以sinB