河北省保定市2024_2025学年高三上学期1月期末联考数学试卷[附解析]

这是一份河北省保定市2024_2025学年高三上学期1月期末联考数学试卷[附解析]，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由一元二次不等式的解法求出集合B，再根据交集的定义即可求解.
【详解】解：因为集合，集合，
所以，
故选：B.
2. 设为虚数单位，，若是纯虚数，则( )
A. 2B. C. 1D.
【正确答案】C
【分析】根据复数的乘法运算化简复数，进而根据纯虚数列出关系式即可求解.
【详解】∵是纯虚数
∴，且 ，故
故选：C
3. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，，则D. 若，，则
【正确答案】D
【分析】利用线面平行、面面平行的判定、性质定理，依次分析即得解
【详解】选项A：有可能出现的情况；
选项B：和有可能异面；
选项C：和有可能相交；
选项D：由，，得直线和平面没有公共点，所以，
故选：D
4. 已知函数，若f(4)=2f(a),则实数a的值为
A. -1或2B. 2C. -1D. -2
【正确答案】A
【分析】
利用分段函数对a讨论，列出方程求解即可．
【详解】函数f（x），则f（4）＝2，
当a＞0时，f（4）＝2f（a）＝2，解得a＝2．
当a≤0时，f（4）＝2f（a），2a2＝2，解得a＝﹣1，
综上a＝﹣1或2．
故选A．
本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．
5. 角的终边经过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据余弦值的定义可得，再根据诱导公式与二倍角公式求解即可
【详解】由题意可得，所以
故选：C
6. 已知中，，且，则（ ）
A. B. C. 8D. 9
【正确答案】B
【分析】利用向量的运算以及模长公式求解.
【详解】
因为，
所以
因中，，
所以
.故A，C，D错误.
故选：B.
7. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】根据函数解析式，研究其奇偶性以及特殊函数值的大小，可得答案.
【详解】由，则该函数的定义域为，
将代入该函数，可得，
故该函数为偶函数，则C、D错误，
将代入函数，可得，故A错误，B正确.
故选：B.
8. 已知点满足，且点Q恒在以、为左、右焦点的椭圆内，延长与椭圆交于点，若，则该椭圆离心率取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】设，则，，利用椭圆的定义结合勾股定理可得出，求出，则函数在上有零点，可得出关于、的不等式组，结合可计算得出的取值范围.
【详解】如下图所示：
由题意可知，，设，则，，
由椭圆定义可得，，
在中，由勾股定理可得，
即，即，
因为点在椭圆内，则，
又因为，所以，，
令，则在上单调递增，
若方程在内有实根，则，
所以，，所以，，
因为点在椭圆内，且，则，即，
所以，，，因此，.
故选：C.
关键点点睛：本题考查椭圆离心率取值范围的求解，解题的关键在于通过勾股定理得出方程，在转化为函数在区间上有零点来处理，同时要善于分析出点在椭圆内这一条件，结合椭圆定义构造不等式关系来求解椭圆离心率的取值范围.
二、多选题
9. 下列函数中，最小值为的有（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】BC
【分析】对于A和D选项不能保证基本不等式中的“正数”要求，对于BC选项，结合嗯不等式讨论即可得判断.
【详解】解：对于A，当时，显然不满足题意，故A错误；
对于B，，，，当且仅当，即时，取得最小值，显然成立，故B正确；
对于C，，，，当且仅当，即时，取得最小值，故C正确；
对于D，当时，显然不满足题意，故D错误；
故选：BC
10. 2021年10月16日，我国神舟十三号载人飞船顺利升空，这是继2021年9月17日神舟十二号顺利返回地面后，一个月内再次执行载人飞行任务，实现了我国航天史无前例的突破，为弘扬航天精神，某网站举办了“我爱星辰大海——航天杯”在线知识竞赛，赛后统计，共有2万市民参加了这次竞赛，其中参赛网友的构成情况，如下表所示：
其中，则下列说法正确的是（ ）
A
B. 参赛人数所占比例的这一组数据的众数为30%
C. 普通市民参赛人数为1千人
D. 各类别参赛人数的极差超过4000人
【正确答案】CD
【分析】根据表格中数据结合，可得出，，通过此表可以得出这组数据的众数，进而能够得出普通市民参赛人数，根据极差定义，可以得出极差从而得以求解.
【详解】由表可知，且a=4b，解得，，故A错误；
在参赛人数占比中，20出现了2次，其他数只出现1次，故众数为20%，B错误；
普通市民参赛人数为，故C正确；
企事业单位参赛人数最多，为（人），而普通市民参赛人数最少，为1000人，故各类别参赛人数的极差为6000-1000=5000（人），故D正确，
故选:CD.
11. 如图，在长方体中，，，若为的中点，则以下说法中正确的是（ ）

A. 线段的长度为B. 异面直线 和夹角的余弦值为
C. 点到直线的距离为D. 三棱锥的体积为
【正确答案】BC
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可判断ABC，结合等体积法即可判断D.
【详解】
根据题意，以为坐标原点，分别为轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，
则，所以线段的长度为，故A错误；
又，设异面直线 和夹角为，
则，故B正确；
设直线上存在点满足，且，
则，所以，
则，又，可得，
解得，则，所以点到直线的距离为
，故C正确；
因为，故D错误；
故选：BC
12. 已知曲线为焦点在x轴上的椭圆，则（ ）
A. B. 的离心率为
C. m的值越小，C的焦距越大D. 的短轴长的取值范围是
【正确答案】AC
【分析】由曲线为焦点在x轴上的椭圆，得出和，根据即可判断A；根据椭圆离心率即可判断B；表示出椭圆的焦距，由函数的单调性即可判断C；由的范围即可得出的短轴长的取值范围，从而判断D．
【详解】对于A：根据题意知椭圆的标准方程为，
因为C的焦点在x轴上，
所以，即，故A正确；
对于B：由A可得，，
所以椭圆的离心率，故B错误；
对于C：椭圆的焦距，
因为函数，在上都是单调递减的，
所以m的值越小，的焦距越大，故C正确；
对于D：椭圆的短轴长，
因为当时，，
所以，
所以，故D错误，
故选：AC．
三、填空题
13. 化简：=_____.
【正确答案】3
【分析】根据对数运算法则求解即可
【详解】
故3
14. 现有件相同的产品，其中件合格，件不合格，从中随机抽检件，则一件合格，另一件不合格的概率为______.
【正确答案】
【分析】分别求出基本事件的总数和要求事件包含的基本事件的个数，根据古典概型的概率计算公式
即可得出．
【详解】从5件产品中任意抽取2有种抽法，
其中一件合格、另一件不合格的抽法有种．
根据古典概型的概率计算公式可得一件合格，另一件不合格的概率．
故答案为:
熟练掌握古典概型的概率计算公式和排列与组合的计算公式是解题的关键．
15. 若正方形一边对角线所在直线的斜率为，则两条邻边所在直线斜率分别为______，______.
【正确答案】 ①. ②.
【分析】建立直角坐标系，由已知可设，根据图象结合正方形的性质可知，两条邻边所在直线的倾斜角分别为，，根据两角和与差的正切公式，以及直线的倾斜角与斜率的关系，即可得出答案.
【详解】正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为，建立如图直角坐标系，
设对角线OB所在直线的倾斜角为，则，
由正方形性质可知，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
故，
.
故；.
16. 如图，等腰直角三角形中，，，是边上的动点（不与，重合）过作的平行线交于点，将沿折起，点折起后的位置记为点，得到四棱锥，则三棱锥体积的最大值为__________ ．

【正确答案】
【分析】设，，表示出三棱锥的体积，利用导数研究单调性，求最大值.
【详解】由题意知：，，将沿折起，由棱锥结构特征可知，相同的点E位置，当平面平面时，三棱锥的体积最大，此时平面，
设，，，
，，
令，得或，又，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
所以当时，函数取得最大值，．
故答案为:．
四、解答题
17. 在中，角所对的边分别为.已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
【正确答案】（1）；
（2）
【分析】（1）由，得到，再由，利用正弦定理求解；
（2）先由二倍角公式得到 ，再利用两角和的正弦公式求解.
【小问1详解】
因为，
所以.
因为，由正弦定理得：，
所以.
因为，
所以.
【小问2详解】
由（1）知.
所以.
所以.
18. 如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面为菱形，，.
（1）求锐二面角的大小；
（2）求AP与平面所成的角的正弦值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）取中点，利用二面角的定义求解即得.
（2）取的中点，利用等体积法求出点到平面的距离，进而求出点到平面的距离，再利用公式法求出线面角的正弦值.
【小问1详解】
在四棱锥中，取中点，连接，
在菱形中，，则是正三角形，，由，得，
由是正三角形，得，则是二面角的平面角，
而，则，
所以锐二面角的大小为.
【小问2详解】
由（1）知，平面，而平面，则平面平面，
取中点，连接，由为正三角形，得，，
而平面平面，平面，则平面，
三棱锥的体积，
显然，，又平面，即有，
于是，
又，底边上的高，
设点到平面的距离为，由，得，
即，于是，解得，
由平面，平面，得平面，
因此点到平面的距离等于点到平面的距离，
令AP与平面所成的角为，则，
所以AP与平面所成的角的正弦值.
方法点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
19. 已知数列中，，.
（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；
（2）若不等式对于恒成立，求实数的最小值.
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）
【分析】（1）由条件可得出从而可证，从而可得出的通项公式.
(2)将（1）中的代入即得对于恒成立，设，分析出其单调性，得出其最大项，即可得出答案.
【小问1详解】
由，可得，即
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以
【小问2详解】
不等式对于恒成立
即对于恒成立
即对于恒成立
设，
由
当时，，即
即
当时，，即
即
所以最大，
所以，故的最小值为
20. 将正整数数列、、、、、的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表：

（1）写出数表的第行、第行；
（2）写出数表中第行的第个数；
（3）设数表中每行的第个数依次构成数列，数表中每行的最后一个数依次构成数列，试分别写出数列、的递推公式，并求出它们的通项公式．
【正确答案】（1）答案见解析
（2）
（3）答案见解析
【分析】（1）根据数表中的规律可写出数表中的第行、第行；
（2）写出数表中第行的第一个数，即可写出数表中第行的第个数；
（3）根据数表中的规律可得出数列、的递推公式，再利用累加法可求得这两个数列的通项公式.
【小问1详解】
解：数表中的第行为、、、，
数表中的第行为、、、、；
【小问2详解】
解：前行中每一行第一个数分别为、、、、、、、、、，
所以，数表中第行的第个数为；
【小问3详解】
解：，，，，
所以，数列的递推公式为，
则
，
由数表可得，，，，
所以，数列的递推公式为，
所以，.
21. 已知抛物线的焦点为F，过F作平行于x轴的直线交抛物线于A，B两点(A在B的左侧)，若△AOB的面积为2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设P是抛物线C的准线上一点，Q是抛物线上的一点，若PF⊥QF，求证：直线PQ与抛物线相切.
【正确答案】(1) ； (2)见解析.
【分析】(1)由题意可得，则|由，可得，从而可得结果；（2）设，显然时不满足题意. 当时，.又直线的方程为，将代入整理得，则或，而，则，所以，从而可得结论.
【详解】(1)由题意可得，则|AB|=2p，△AOB的面积，所以p=2，则抛物线C的方程为.
(2)证明:显然FQ的斜率存在，设为k，当k=0时，P(0,-1，Q(2,1)或(-2,1)，直线或y=-x-1，与抛物线联立，得判别式△=0，所以此时直线与抛物线C相切；当k≠0时，设直线，
因为PF⊥QF，则直线PF的方程为，
由得P(2k,- 1)，消去y得，
由Q是直线FQ与抛物线C的交点，
设，显然时不满足题意.
当时，.
又直线PQ的方程为，将，即代入整理得，
则或，而，则，
所以，故直线PQ与抛物线C相切.·
本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.在得到三角形的面积的表达式后，能否利用换元的方法，观察出其中的函数背景成了完全解决问题的关键.
22. 已知函数，其中
（1）若函数在区间上不单调，求的取值范围；
（2）若函数在区间上有极大值，求的值.
【正确答案】（1）； （2）.
【分析】（1）由函数，其中．可得．由题意可得：在区间（1，+∞）上有解，分离参数可得： 上有解．设，利用到时讨论其的单调性即可得出．
（2）当时，函数在[1，+∞）上单调递增，此时无极值．
当时，函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，此时无极值．
当时，，得.（其中）．所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，由极大值，又，消去利用导数研究函数的单调性进而得出．
【详解】（1）因为，
所以上有解，
所以 上有解.
设
所以函数在上是减函数，在上是增函数，
所以
经验证，当时，函数上单调，
所以.
（2）当 所以.
当时， 所以.
当时，由，得.
（其中）
所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
由极大值
又
设函数，则，
所以函数在上单调递增.
而所以
故当时，.
本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难单位
党政机关
企事业单位
教师和学生
个体工商户
普通市民
参赛人数所占比例（单位：%）
20
30
25