2024_2025学年内蒙古自治区赤峰市松山区高三上学期10月月考数学试卷[附解析]

这是一份2024_2025学年内蒙古自治区赤峰市松山区高三上学期10月月考数学试卷[附解析]，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知为虚数单位，复数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知命题；命题，则（ ）
A．和都是真命题B．和都是真命题
C．和都是真命题D．和都是真命题
3．已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．在2024年巴黎奥运会上，中国跳水队表现卓越，成功包揽了全部8枚跳水金牌，这一成绩不仅创造了历史，也再次证明了“梦之队”的实力和统治力.跳水比赛计分规则如下：针对运动员每次跳水，共有7个裁判评分，去掉一个最高分与一个最低分，剩下的分数相加后乘以难度分，即可得出最终得分.下列说法正确的是（ ）
A．去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的中位数一定改变
B．去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的方差可能不变
C．去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的平均数不变
D．去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的众数不变
5．在平面直角坐标系中，已知点，，圆，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数为奇函数，则的值是（ ）
A．0B．0或10C．4或68D．68
7．甲烷是一种有机化合物，分子式为，其在自然界中分布很广，是天然气、沼气的主要成分．如图所示的为甲烷的分子结构模型，已知任意两个氢原子之间的距离（H-H键长）相等，碳原子到四个氢原子的距离（C-H键长）均相等，任意两个H-C-H键之间的夹角为（键角）均相等，且它的余弦值为，即，若，则以这四个氢原子为顶点的四面体的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数.若函数有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．记函数的最小正周期为T.若为的零点，则的值可以是（ ）
A．B．3C．6D．12
10．已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线C上，若，则（ ）
A．B．以为直径的圆与x轴相切
C．F的坐标为D．
11．定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作.定义：为一组数据相对于常数的“正弦方差”. 若，一组数据相对于的：“正弦方差”为，则的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知等差数列的公差不为零，且成等比数列，，则 .
13．记的内角的对边分别为，已知，则角 .
14．2024年9月1日出版的第17期《求是》杂志发表了、、的重要文章《培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人》·某校积极响应他的指示，创造性提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动.高三年级共有6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加.给出以下四个命题：①若1班不再分配名额，则共有种分配方法；②若1班有除劳动模范之外的学生参加，则共有种分配方法；③若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法；④若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法.其中正确命题的序号是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列an是公差不为零的等差数列，，且存在实数m满足.
(1)求m的值及通项公式；
(2)已知，求数列bn的前n项和.
16．已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.
17．如图，在长方体中，点分别在上，且.
(1)求证：平面平面；
(2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值.
18．某校高三年级部组织高中生数学知识竞赛，竞赛分为个人赛和团体赛，竞赛规则如下：个人赛规则：每位参赛选手只有一次挑战机会，电脑同时给出2道判断题（判断对错）和4道选择题（每个选择题的四个选项中有且仅有一个是正确的），要求参赛者全都作答，若有4道或4道以上答对，则该选手挑战成功.团体赛规则：以班级为单位，每班参赛人数不少于20人，且参赛人数为偶数，参赛方式有如下两种可自主选择其中之一参赛：方式一：将班级选派的个人平均分成n组，每组2人，电脑随机分配给同组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组挑战成功，若这n个小组都挑战成功，则该班级挑战成功.方式二：将班级选派的个人平均分成2组，每组n个人，电脑随机分配给同组n个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这n个人都回答正确，则该小组挑战成功.若这两个小组至少有一个小组挑战成功则该班级挑战成功.
(1)在个人赛中若一名参赛选手全部随机作答，求这名选手恰好答对一道判断题并且答对两道选择题的概率；
(2)甲同学参加个人赛，他能够答对判断题并且答对选择题，其余题目只能随机作答，求甲同学挑战成功的概率；
(3)在团体赛中，假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数，为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明理由.
19．已知椭圆经过点，离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设过点且倾斜角为的直线与轴，轴分别交于点，点为椭圆上任意一点，求面积的最小值.
(3)如图，过点作两条直线分别与椭圆相交于点，设直线和相交于点.证明点在定直线上.
答案
1．【正确答案】B
【分析】利用复数的加减运算即可求解.
【详解】由，可得.
故选B.
2．【正确答案】B
【分析】分别判断命题与命题的真假，利用命题和命题的否定真假相反即可判断、的真假，即可得结论.
【详解】对于命题p，取，则有，故p是假命题，是真命题，
对于命题q，取，则有，故q是真命题，是假命题，
所以，和都是真命题.
故选B.
3．【正确答案】A
【分析】利用投影向量公式进行求解.
【详解】在上的投影向量为.
故选A.
4．【正确答案】B
【分析】根据题意设出裁判的评分，根据数字特征计算即可.
【详解】若7个裁判的评分分别为：10，10，9.9，9.9，9.9，9.8，9.7，
去掉一个最高分与一个最低分后评分为：10，9.9，9.9，9.9，9.8，
去掉前后的中位数都为9.9，故错误；
去掉一个最高分和一个最低分前平均数为
去掉一个最高分和一个最低分后平均数为
，故错误；
若7个裁判的评分分别为：10，10，10，9.9，9.9，9.9，9.8，众数为：10和9.9，
去掉一个最高分与一个最低分后评分为：10，10，9.9，9.9，9.9，众数为9.9，故错误；
若七个裁判的评分为：10，10，10，10，10，10，10，则去掉一个最高分和一个最低分前后均值都为10，方差都为0，则正确；
故选.
5．【正确答案】B
先求出动点M的轨迹是圆D,再根据圆D和圆C相交或相切，得到的取值范围.
【详解】设，则，
所以，
所以点M的轨迹是一个圆D,
由题得圆C和圆D相交或相切，
所以，
所以.
故选B.
6．【正确答案】D
【分析】根据奇函数性质求得，进而求对应函数值.
【详解】由题设，的定义域为R，且为奇函数，则，
所以或，
当，则，满足，此时；
当，则不是奇函数，不合题设.
故选D.
7．【正确答案】A
【分析】利用余弦定理求得，计算出正四面体的高，从而计算出正四面体的体积.
【详解】设，则由余弦定理知：，解得，
故该正四面体的棱长均为，
由正弦定理可知：该正四面体底面外接圆的半径，
高，
故该正四面体的体积为．
故选A.
8．【正确答案】C
【分析】利用导数画出的图象，结合的零点个数求得的取值范围.
【详解】当时，，
所以在区间上，当且仅当x=0时，
所以函数fx在上单调递减，.
当时，，令解得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，当时，，当时，，
由此画出、的大致图象如下图所示，
函数有三个零点，等价于与图象有三个交点，
所以的取值范围是.
故选C.

【思路导引】在通过图象判断函数零点个数时，容易由于图象的不准确或导数符号变化的错误判断，导致零点个数错误．在分析图象时，要特别注意极值点的准确位置.
9．【正确答案】ABD
【分析】求出，根据和求出，为的零点，故，解得，从而得到ABD正确.
【详解】因为，所以，
故，
又，故，
故，
为的零点，故，
故，解得，
当时，，当时，，当时，，
令，解得（舍去），ABD正确，C选项不成立.
故选ABD.
10．【正确答案】AB
【分析】由抛物线的方程求出焦点坐标即可判断C；由焦半径的公式求出即可判断A；求出点的坐标，即可判断B，D；
【详解】抛物线的焦点为，故C错误；
点在抛物线C上，若，
则，所以，故A正确；
代入，得，故或
所以，故D错误；
所以以为直径的圆的圆心为：或，半径为，
所以圆心为：或到x轴的距离为：等于圆的半径，
故以为直径的圆与x轴相切，故B正确；
故选AB.
11．【正确答案】BCD
【分析】根据正矢和余矢的定义可得函数的解析式，再根据正弦方差的定义可求的范围，最后根据正弦函数的性质可求函数的值域，故可得正确的选项.
【详解】由正矢和余矢的定义可得：
，
而
，
因为，故，故，
故，，
而，故的值域为，
因为，函数的最大值是，
故函数值不可能取，
而，故，
故，故函数值可取BCD.
故选BCD.
12．【正确答案】
【分析】利用等比中项的性质列方程，将已知条件转化为的形式列方程组，解方程组求得，由此求得的值.
【详解】设等差数列的公差为，由题意得 ，即，
化简，得 ．
因为，所以，解得
所以 .
故答案为.
13．【正确答案】
【分析】利用二倍角公式化简得，由余弦定理得，即可求解.
【详解】因为，得，
可得，即，
由余弦定理得，即，
可得.
故答案为.
14．【正确答案】②④
【分析】根据题意，由隔板法，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于①，若1班不再分配名额，即将20个名额分配到5个班级，
每个班级都必须有人参加，可以将20个名额看成20个小球，排成一排，
中间有19个空位，在其中任选4个，放置4个隔板，有种分配方法，故①错误；
对于②，若1班有除劳动模范之外的学生参加，即将20个名额分配到6个班级，
每个班级都必须有人参加，可以将20个名额看成20个小球，排成一排，
中间有19个空位，在其中任选5个，放置5个隔板，有种分配方法，故②正确；
对于③④，若每个班至少3人参加，可以将每个班的2个名额收回，
即将10个名额分配到6个班级，每个班级都必须有人参加，
可以将10个名额看成10个小球，排成一排，中间有9个空位，
在其中任选5个，安排5个挡板，有种分配方法，故③错误，④正确.
故②④.
15．【正确答案】(1)，
(2)
【分析】（1）设等差数列an的公差为，然后相减便可得出结果；
（2）先根据求得，根据错位相减法求前n项和即可.
【详解】（1）设等差数列an的公差为，，
由，
得，
两式相减得，又，所以，
将代入可得，即，所以，
又，所以；
（2）由（1）可知，则，
所以，则，即，
，
，
，
即，.
16．【正确答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用导数几何意义求对应切点处的切线方程；
（2）由题设得在上恒成立，利用导数研究函数最值，即可得确定参数范围.
【详解】（1）由题设，则，
所以，故在处的切线方程.
（2）由恒成立，
对于且，则，
对于且，则，
所以在上递增，则，故，
所以在上递增，则，
综上，只需.
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理，即可得出答案．
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，平面的法向量为，,，设平面与平面夹角为，则，即可得出答案．
【详解】（1）由于平面，平面，故，
根据题意可得，，
又，平面，平面，所以平面，
又平面，所以，
由于平面，平面，故，
又，平面,故平面,
平面，故，
又，平面，平面，
所以平面．
平面，故平面平面；
（2）如图所示，建立空间直角坐标系：
所以，,4,，，,
结合（1）知，平面的法向量为,
又，,4,，
设平面的法向量为,
则，
令，则，所以,3,，
设平面与平面夹角为，
则．
18．【正确答案】(1)
(2)
(3)选择方式一
【分析】（1）由独立事件的概率乘法公式即可得到答案；
（2）分析出甲同学挑战不成功的事件，结合独立事件的概率乘法公式，再用对立事件即可得到结果；
（3）分别计算出方式一和方式二的团队挑战成功的概率，再通过作差比较，利用函数单调性判断差值大小即可得到结论.
【详解】（1）设事件A：选手答对1道选择题；事件：选手答对1都选择题，
则，，
这名选手恰好答对一道判断题并且答对两道选择题的概率：
（2）甲同学挑战不成功可能得情况如下：
①只答对一道判断题和选择题；②除和外只答对一道填空题或一道选择题（中任意一道）
∴甲同学挑战成功的概率：
（3）方式一：小组调整成功的概率：，
该班级挑战成功的概率：；
方式二：小组调整成功的概率：，
该班级挑战成功的概率：
，
令
则
∵，则，，
可得，，
∴，即，∴单调递增，
又∵，且，
∴，
从而，即，所以为使本班调整成功的可能性更大，应该选方式一参赛.
19．【正确答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据待定系数法计算即可求解；
（2）由题意求出MN，利用点到直线的距离公式求出到的距离，结合三角形面积公式计算即可求解；
（3）设，利用平面向量的坐标表示和点差法计算表示出A、B、C、D的坐标，由直线的两点式方程分别表示出直线AD和BC，两直线方程相减可得，即可求解.
【详解】（1）由题意，点在椭圆上得，可得①
又由，所以②，
由①②联立且，可得，
故椭圆的标准方程为；
（2）易知，则，所以，
设，联立与有，
则，由解得，
到的距离即为在边上高的最小值，即，
此时面积的最小值；
（3）设，则，即，
又由，得，
整理得，
再代入得，即，
所以，
同理令，，则，
则，，
则直线的方程为
，
同理的方程为
，
两式相减，整理得，即点在定直线上.
【思路导引】求定点、定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定点（值），再证明这个点（值）与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点（值）．