2024_2025学年内蒙古赤峰市阿鲁科尔沁旗高三上学期10月月考数学试卷[附答案]

这是一份2024_2025学年内蒙古赤峰市阿鲁科尔沁旗高三上学期10月月考数学试卷[附答案]，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若集合，则集合的真子集共有（ ）
A.7个B.8个C.15个D.16个
2.函数的定义域为（ ）
A.B.C.D.
3.若，是方程的两根，则，的等差中项为（ ）
A.B.C.1D.
4.若实数，，满足，，则（ ）
A.B.C.D.
5用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，则该菜园面积的最大值为（ ）
A.B.C.D.
6.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ）
A.B.C.D.
7.函数在区间上的大致图像为（ ）
A. B.
C. D.
8.设椭圆：的左、右焦点分别为，，点，在上（位于第一象限），且点，关于原点对称，若，，则的离心率为（ ）
A.B.C.D.
二、多选题
9.下列四个图形各表示两个变量，的对应关系，其中表示是的函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
10.下列说法正确的是（ ）
A.函数的最小值为6
B.若函数的定义域为，则函数的定义域为
C.幂函数在上为减函数，则的值为2
D.若不等式的解集为，则
11.定义在上的偶函数，满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.函数的所有零点之和为5
D.
三、填空题
12.函数在处的切线方程为______.
13.若函数在上是单调函数，则的取值范围是______.
14.已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，的取值范围是______.
四、解答题
15.（本题12分）已知函数在处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）求函数在区间上的最小值.
16.（本题12分）已知数.
（1）求的最小正周期和对称轴方程；
（2）求在的最大值和最小值.
17.（本题12分）已知数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18.（本题12分）如图，在正四棱柱中，，，为的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的大小
19.（本题17分）已知椭圆：的离心率，且点在椭圆上，直线：与椭圆交于不同的两点，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）证明：线段AB的中点在直线：上；
（3）过点作轴的平行线，与直线：的交点为，证明：点在以线段AB为直径的圆上.
20.（本题12分）马尔科夫链因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，…次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有，两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从，两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为.
（1）求，的值；
（2）求的值（用表示）；
（3）求证：的数学期望为定值.
答案：
8.【详解】点，关于原点对称，所以线段MN，互相平分，故四边形为平行四边形，
又，故，所以四边形是矩形，故，其中，
设，则，由，
得，整理得，
由于点在第一象限，所以，
由，得，即，
整理得，即，解得.
10.BD【详解】对于A，令，则，是对勾函数，
且在内单调递增，当时，，
所以的最小值为，故A错误；
对于B，，，则函数的定义域为，故B正确；
对于C，，且，解得，故C错误；
对于D，依题意，方程的两个解是或，并且，
由韦达定理：，，，，D正确；
11.ABD【详解】对于A，由于，令，
则，，A正确；
对于B，为偶函数，即，结合，
得，即，故，
故4为函数的周期，由时，得，
故，B正确；
对于C，由于，故函数的图象关于点对称，
又为偶函数，则的图象也关于点对称，
结合4为函数的周期，当时，，
作出函数的图象如图，
设，则该函数图象关于点对称，且函数在上本调递增，
结合，的图象可知，二者有3个交点，且交点横坐标之和为3，
即函数的所有零点之和为3，C错误；
对于D，令，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故，即，
当且仅当时等号成立，故得，
则；
同理可证得，当且仅当时等号成立，
则，
由于在上单调递增，故，
12.
13.由函数在为单调函数，
当时，函数，
此时函数在区间上单调递增，
所以函数在为单调递增函数，
则满足，解得，
14.【详解】作函数的图象如下图所示：
由图象可知，方程有四个不同的解，，，，且，需满足，则由二次函数的对称性可知，，
由对数函数的图象及性质可知，，，，
则，，
，
而函数在递减，上递增，
当时，，当或4时，，故其取值范围为.
15.【详解】（1）由题意得的定义域，且因为函数在处取值得极值，所以
解得此时，，
令得或，令得，
故函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意
所以.
（2）由（1）得，，
令，得，所以函数在单调递增，
令，得，所以函数在单调递减，
所以函数在处取极小值，
所以当时，的最小值为
16.（1）
，
所以函数的最小正周期为.
令，，解得，，
所以函数图象的对称轴方程为，，
（2）当时，，则，
进而可得，
当时，即时，取最小值，
时，即时，取最大值1.
17.（1）解：根据题意，数列满足，即，
由等差数列的定义，可得数列是以3为公差的等差数列，
因为，可得，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1），可得
，
.
18.（1）因为，，为的中点，所以，
而，即，
又平面，平面，所以，
，，平面ABE，所以平面ABE，
又平面，故平面平面.
（2）以为原点，AB，AD，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
由（1）可得平面ABE，所以为平面ABE的一个法向量，
正方形ABCD中，，
正四棱柱中，平面，平面ABCD，则，
，AC，平面ACE，平面ACE，
所以为平面ACE的一个法向量，
所以，
结合图形可得，二面角的大小为.
19.【详解】（1），又，
，又，，，
椭圆方程为；
（2）联立直线与椭圆方程，，
又因为有两个交点，所以，
解得，设，，
故，，又，，
，
线段AB的中点的坐标为，，
线段AB的中点在直线：上；
（3）由已知得：，
，，
，
，，
点在以线段AB为直径的圆上.
20.【详解】（1）设第次操作后盒子中恰有2个红球的概率为，
则没有红球的概率为.由题意知，
，.
（2）略
（3）因为，①
②.
所以①-②，得.
又因为，所以，所以.
的可能取值是0，1，2，
，
，
.
所以的概率分布列为
所以.
所以的数学期望为定值1题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
D
A
D
C
C
BC
BD
题号
11
答案
AC
0
1
2