江西省宜春市丰城市2024_2025学年高三上学期期末考试数学试卷[有解析]

这是一份江西省宜春市丰城市2024_2025学年高三上学期期末考试数学试卷[有解析]，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若方程表示一个圆，则m可取的值为（ ）
A 0B. 1C. 2D. 3
3. 设内角A，B，C对边分别为，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，则“”是“”成立的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知向量，若，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. 1B. C. D.
6. 已知圆锥的底面积为π，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 为了研究我国男女性的身高情况，某地区采用分层随机抽样的方式抽取了100万人的样本，其中男性约占､女性约占，统计计算样本中男性的平均身高为，女性的平均身高为，则样本中全体人员的平均身高约为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若方程有三个不同的根，则（ ）
A. 4B. 3C. 2D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
9. 甲、乙两位射击爱好者，各射击10次，甲的环数从小到大排列为4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，乙的环数从小到大排列为2，5，6，6，7，7，7，8，9，10，则（ ）
A. 甲、乙的第70百分位数相等
B. 甲的极差比乙的极差小
C. 甲的平均数比乙的平均数大
D. 甲的方差比乙的方差大
10. 已知椭圆：（）和：（），则（ ）
A. 与的长轴长相等B. 的长轴长与的短轴长相等
C. 与的离心率相等D. 与有4个公共点
11. 如图，在棱长为2的正方体中，P为线段上的动点，下列说法正确的是（ ）
A. 对任意点，平面
B. 三棱锥与正方体的体积比为1：3
C. 线段长度的最小值为
D. 存在点P，使得DP与平面所成角大小为
12. 回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是（ ）
A. 四位回文数有90个
B. 四位回文数有45个
C. （）位回文数有个
D. （）位回文数有个
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 若抛物线上一点到焦点的距离为，则____．
14. 已知与具有相关关系，且利用关于回归直线方程进行预测，当时，，当时，，则关于的回归直线方程中的回归系数为__________.
15. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是___________.
16. 已知复平面上一个动点Z对应复数z，若，其中i是虚数单位，则向量扫过的面积为____________．
四、解答题（共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共60分）
17. 已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）在中，分别是角的对边，若，，且的面积为，求外接圆的半径.
18. 已知数列是等差数列，其前项和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19. 2020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标．2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年（他2020年新年贺词）．某贫困地区截至2019年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康．现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2019年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图．
（1）求出频率分布直方图中的a的值，并求出这50户家庭人均年纯收入的平均数；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
（2）2020年1月，统计了该地一个家庭2019年7～12月的该家庭人均月纯收入如下表：
由散点图发现：家庭人均月纯收入y与时间代码x之间具有较强的线性相关关系，求出回归直线方程；并估计2020年3月份（即时间代码x取9）该家庭人均月纯收入为多少元？
参考数据：；；线性回归方程中，，．
20. 如图，在平行六面体中，，，，，点为中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
21. 已知椭圆经过点，左焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作任意直线与椭圆交于，两点，轴上是否存在定点使得直线，的斜率之和为？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由.
22 已知函数．
（1）设是函数的极值点，求m的值，并求的单调区间；
（2）若对任意的恒成立，求m的取值范围．
江西省宜春市丰城市2024-2025学年高三上学期期末考试数学
检测试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】对集合化简，然后求出即可.
【详解】因为，解得，
因为，解得，
所以，，
所以,
故选：D.
2. 若方程表示一个圆，则m可取的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【正确答案】D
【分析】将题设中的一般式方程经配方化成标准方程，依题须使右式大于零，求得的范围，对选项进行判断即可.
【详解】由方程分别对进行配方得：，
依题意它表示一个圆，须使，解得：或，在选项中只有D项满足.
故选：D.
3. 设的内角A，B，C对边分别为，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据正弦定理求解即可.
【详解】因，所以，
由，得，
所以.
故选：B.
4. 已知，则“”是“”成立的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】分析“”和“”范围的包含关系，由此得出正确选项.
【详解】由可知，而由“”得；故“”的范围是“”范围的真子集，所以是充分不必要条件.
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查分数分母不为零，属于基础题.
5. 已知向量，若，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. 1B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据平面向量减法的坐标表示公式，结合投影向量的定义进行求解即可.
【详解】由，
向量在向量上的投影向量为
，故D正确.
故选：D.
6. 已知圆锥底面积为π，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由条件求出圆锥的底面半径r，母线长，从而求得圆锥外接球的半径及球的表面积.
【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
由题意得，所以，
因为圆锥的侧面积是底面积的2倍，所以，得，
易知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，其外接圆的半径R即圆锥外接球的半径，
所以，
故该圆锥外接球的表面积，
故选：B
7. 为了研究我国男女性的身高情况，某地区采用分层随机抽样的方式抽取了100万人的样本，其中男性约占､女性约占，统计计算样本中男性的平均身高为，女性的平均身高为，则样本中全体人员的平均身高约为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据平均数的性质即可求解.
【详解】样本中全体人员的平均身高约，
故选：C
8. 已知函数，若方程有三个不同的根，则（ ）
A. 4B. 3C. 2D.
【正确答案】B
【分析】由题意，易知为奇函数，由函数向右平移一个单位长度，再向上平移4个单位长度而得到的，所以的图象关于点对称，再根据直线也关于点对称，即可得答案.
【详解】由题意，因为，所以为奇函数，
由函数向右平移一个单位长度，再向上平移4个单位长度而得到的，
所以的图象关于点对称.
而所表示的直线也关于点对称，
所以方程的三个实根中必有一个为1，另外两个关于对称，所以.
故选：B.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
9. 甲、乙两位射击爱好者，各射击10次，甲的环数从小到大排列为4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，乙的环数从小到大排列为2，5，6，6，7，7，7，8，9，10，则（ ）
A. 甲、乙的第70百分位数相等
B. 甲的极差比乙的极差小
C. 甲的平均数比乙的平均数大
D. 甲的方差比乙的方差大
【正确答案】AB
【分析】根据百分位数、极差、平均数和方差相关概念直接求解即可.
【详解】对于A，因为，所以甲的环数的70百分位数是，乙的环数的70百分位数是，故A正确；
对于B，甲的极差为，乙的极差为，故B正确；
对于C，甲的平均数为，乙的平均数为，所以甲的平均数比乙的平均数小，故C错误；
对于D，根据题中数据可知，甲数据分布更集中，而乙数据分布更分散，甲的方差比乙的方差小，故D错误.
故选：AB
10. 已知椭圆：（）和：（），则（ ）
A. 与的长轴长相等B. 的长轴长与的短轴长相等
C. 与的离心率相等D. 与有4个公共点
【正确答案】BC
【分析】化为标准方程，求出相关长轴和短轴长以及离心率一一分析即可.
【详解】椭圆：（），即，
椭圆（），，
则的长轴长为，短轴长为，的长轴为，短轴为，故A错误，B正确；
的离心率为，的离心率，故C正确；
因为的长轴长与的短轴长相等，且的焦点在轴上，的焦点在轴上，
则与有2个公共点，故D错误.
故选：BC.
11. 如图，在棱长为2的正方体中，P为线段上的动点，下列说法正确的是（ ）
A. 对任意点，平面
B. 三棱锥与正方体的体积比为1：3
C. 线段长度的最小值为
D. 存在点P，使得DP与平面所成角大小为
【正确答案】ACD
【分析】证明平面平面判断A正确；直接求出棱锥的体积判断B；当时，为中点，此时线段长度取最小值，求出最小值判断C；求出与平面所成角的正弦值的范围判断D．
【详解】解：连接，，由，且，
得四边形为平行四边形，
，由平面，平面，
得平面，
同理平面，又，可得平面平面，
平面，
对任意点，平面，故A正确；
，，
所以，故B错误；
线段在△中，当时，最小，
此时点为的中点，在中，，
故的最小值为，故C正确；
当在线段上运动时，长度的最小值为，最大值为，
在正方体中，
平面平面，平面，
则即为DP与平面所成角，
在中，，
则与平面所成角的正弦值的取值范围是，
而，
则存在点，使得与平面所成角的大小为，故D正确．
故选：ACD．
12. 回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是（ ）
A. 四位回文数有90个
B 四位回文数有45个
C. （）位回文数有个
D. （）位回文数有个
【正确答案】AC
【分析】按照分步乘法计数原理计算可得.
【详解】根据题意，对于四位回文数，
有1001、1111、1221、……、1991、
2002、2112、2222、……、2992、
……、
9009、9119、9229、……、9999，
其首位和个位有种选法，第二为和第三位有种选法，故共有个，则A正确，B错误；
对于位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种选法，……，
第个数字，即最中间的数字有10种选法，
则共有种选法，
即（）位回文数有个，故C正确，D错误.
故选：AC.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 若抛物线上一点到焦点的距离为，则____．
【正确答案】
【分析】利用焦半径公式求解.
【详解】点到焦点的距离为,则，解得
故
14. 已知与具有相关关系，且利用关于的回归直线方程进行预测，当时，，当时，，则关于的回归直线方程中的回归系数为__________.
【正确答案】5
【分析】由题意设出回归直线方程，由待定系数法即可得解.
【详解】设关于的回归直线方程为，由题意得，解得，即回归系数为5.
故5.
15. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是___________.
【正确答案】(0，)
【分析】对函数求导后，由题意可知在有2个不同的零点，从而可得方程在上有两个不同的实根，再结二次函数的性质可求得结果
【详解】解：因为函数有两个不同的极值点，
所以在有2个不同的零点，
所以方程在上有两个不同的实根，
所以，解得，
故(0，)
16. 已知复平面上一个动点Z对应复数z，若，其中i是虚数单位，则向量扫过的面积为____________．
【正确答案】
【分析】根据题意，利用复数的几何意义，得到复数表示以为圆心，以为半径的圆的圆面，过原点作圆的切线，切点为，结合三角形和扇形的面积公式，即可求解.
【详解】因为，
根据复数的几何意义，可得复数表示以为圆心，以为半径的圆的圆面，
如图所示，过原点作圆的切线，切点为，
在直角中，可得，所以，且 ，
所以，
所以复数向量扫过的面积为.
故答案为.
四、解答题（共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共60分）
17. 已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）在中，分别是角的对边，若，，且的面积为，求外接圆的半径.
【正确答案】（1）
（2）2
分析】（1）利用降幂公式及两角和正弦公式化简得，根据最小正周期公式即得.
（2）由（1）得，利用正弦面积公式与余弦定理得到，再借助正弦定理得结果.
【小问1详解】
，
的最小正周期；
【小问2详解】
由，可得，又，
，， ，
由，得，
由余弦定理得：，得，
由正弦定理得外接圆的半径.
18. 已知数列是等差数列，其前项和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【正确答案】（1）
（2）.
【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式求解；
（2）分组求和方法求解.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，又，，
所以，解得，，
所以的通项公式.
【小问2详解】
由（1）知，
所以
.
19. 2020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标．2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年（他2020年新年贺词）．某贫困地区截至2019年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康．现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2019年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图．
（1）求出频率分布直方图中的a的值，并求出这50户家庭人均年纯收入的平均数；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
（2）2020年1月，统计了该地的一个家庭2019年7～12月的该家庭人均月纯收入如下表：
由散点图发现：家庭人均月纯收入y与时间代码x之间具有较强的线性相关关系，求出回归直线方程；并估计2020年3月份（即时间代码x取9）该家庭人均月纯收入为多少元？
参考数据：；；线性回归方程中，，．
【正确答案】（1），4.72
（2），630（元）
【分析】（1）利用频率分布直方图求解；
（2）最小二乘法求回归直线方程,并利用回归方程估计.
【小问1详解】
，
平均数
.
【小问2详解】
，，
，
，，
所以回归直线方程为：，
当时，（元）。
20. 如图，在平行六面体中，，，，，点为中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【正确答案】（1）证明见详解
（2）
【分析】（1）依次证得四边形与四边形是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理即可得证；
（2）依题意建立空间直角坐标系，利用待定系数法求得点的坐标，进而求得平面与平面的法向量，再利用空间向量法即可得解.
【小问1详解】
连结，交于点，连结，
在平行六面体中，，是的中点，
所以四边形平行四边形，又点为中点，
则且，
所以四边形是平行四边形，从而，
因为平面，，所以平面.
【小问2详解】
以为原点建立如图所示的坐标系，
则，，设点为，其中，
则，，，
因为，，，
所以，即，解得，
则，则，
设平面的法向量为，则，
令，则，
设平面的法向量，则，
令，则，
设二面角为，则，
所以，
则，
所以二面角的正弦值为.
21. 已知椭圆经过点，左焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作任意直线与椭圆交于，两点，轴上是否存在定点使得直线，的斜率之和为？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由.
【正确答案】（1）
（2）存在，
【分析】（1）根据焦点坐标和经过的点的坐标，列方程组求解即可；
（2）当直线不是轴时，可设，将直线方程与椭圆方程联立、消元，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理代入，求解得到，验证当直线是轴时也成立，从而求解.
【小问1详解】
设椭圆的焦距为，则，
又因为椭圆经过点，所以，
又，所以，，
所以椭圆的方程为；
【小问2详解】
假设在轴上存在定点使得直线，的斜率之和为，
设，，
①当直线不是轴时，可设，
与联立，并整理得，
，即，
，，
依题意有，
即，
，，代入上式得，
，解得，
即在轴上存在定点使得直线，的斜率之和为；
②当直线为轴时，也符合直线，的斜率之和为.
综上所述，存在点使得直线，的斜率之和为0.
22. 已知函数．
（1）设是函数的极值点，求m的值，并求的单调区间；
（2）若对任意的恒成立，求m的取值范围．
【正确答案】（1），在和上单调递增，在上单调递减；（2）.
【分析】（1）求得函数的导数，根据是函数的极值点，求得，进而根据导数的符号，即可求解函数的单调区间；
（2）由（1）可得，分和两种情况讨论，结合哈市的单调性和极值，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数，可得，
因为是函数的极值点，所以，故，
令，解得或，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
（2）由（1）可得，
当时，，则在上单调递增，
又由，所以恒成立；
当时，易知在上单调递增，
故存在，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，则，这与恒成立矛盾，
综上可得，实数m的取值范围.
本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
月份/2019（时间代码x）
1
2
3
4
5
6
人均月纯收入入y（元）
275
365
415
450
470
485
月份/2019（时间代码x）
1
2
3
4
5
6
人均月纯收入入y（元）
275
365
415
450
470
485