2024_2025学年黑龙江省牡丹江市高三上学期期中数学试卷

这是一份2024_2025学年黑龙江省牡丹江市高三上学期期中数学试卷，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若，则（ ）
A B. C. D.
2. 从1984年第23届洛杉矶夏季奥运会到2024年第33届巴黎夏季奥运会，我国获得的夏季奥运会金牌数依次为15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，这11个数据的分位数是（ ）
A. 16B. 30C. 32D. 51
3. 如图，在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为（ ）

A. B. C. D.
4. 《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为尺，最后三个节气日影长之和为尺，今年月日时分为春分时节，其日影长为（ ）
A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺
5. 若函数在区间上单调递增．则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，是一元二次方程的两个根，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，若关于方程有实数解，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 若函数在上恰有3个零点，则符合条件的m的个数是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，则（ ）
A. 若，则B. 若，共线，则
C. 不可能是单位向量D. 若，则
10. 在等比数列中，，则（ ）
A. 的公比为B. 的公比为2
C. D. 数列递增数列
11. 已知函数，，若，的图象与直线分别切于点，，与直线分别切于点C，D，且，相交于点，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知平面向量满足，且，则________.
13. 若，且，则__________.
14. 设Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，且设A是直线BC外一点，P是直线BC上一点，且则实数λ的值为________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等比数列为递增数列，其前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和.
16. 在锐角中，内角对边分别为，且.
（1）证明.
（2）若点在边上，且，求的取值范围.
17. 18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（Brk Taylr）发现的泰勒公式（又称麦克劳林公式）有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．其中，f″x表示的二阶导数，即为f′x的导数，表示的阶导数．
（1）根据公式估计的值；（结果保留两位有效数字）
（2）由公式可得：，当时，请比较与的大小，并给出证明；
（3）已知，证明：．
18. 某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回的从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励50元的奖券，抽到黑球则奖励25元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励25元的奖券，记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额的数学期望为．
（1）求及的分布列．
（2）写出与递推关系式，并证明为等比数列；
（3）若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值．（考数据：​）
19. 已知.
（1）求的定义域；
（2）若恒成立，求能够取得的最大整数值；
（3）证明.