天津市四校联考2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份天津市四校联考2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分.）
1.i是虚数单位，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知向量.若与共线，则实数k的值为（ ）
A.B.C.D.
3.在中，三个内角为.若，则的值是（ ）
A.B.C.D.
4.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
5.正方形的边长为3，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图）.则原图形的周长是（ ）
A.12B.24C.D.
6.一个袋子中有大小和质地相同的5个球，其中有2个白色球（标号为1和2），3个黑色球（标号为3、4和5），从袋中不放回地依次随机取出2个球，每次摸出一个球，设事件，“至少摸到一次白球”，“两次都摸到白球”，“两次都摸到黑球”，Q=“两球颜色相同”，“两球颜色不同”.则下列说法错误的是（ ）
A.Q与T互斥但不对立B.与互斥C.M与P对立D.
7.某校高一数学备课组老师的年龄（单位：岁）分别为：37，31，42，32，41，46，45，48，35，53，则下列说法错误的是（ ）
A.该组数据极差为22B.如再增加一位41岁的老师，则该组数据的方差变大
C.该组数据平均数为41D.该组数据的第60百分位数为43.5
8.在平行四边形ABCD中，分别在边上，，AF与BE相交于点G，记，则（ ）
A.B.C.D.
9.在中，分别是角的对边，下列四个命题中正确的个数为（ ）
①若，则是等腰三角形；
②若，三角形面积，则三角形外接圆半径为；
③若点M为内一点，且，则；
④在中，若有解，则a的取值范围是.
A.1B.2C.3D.4
二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分.）
10.假设且A与B相互独立，则__________.
11.已知向量满足，且，则__________.
12.2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，为激发民众的爱国热情和民族自豪感，某地举办相关知识竞答活动.在决赛中，每轮活动由甲、乙各答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙在两轮活动中恰好答对一个问题的概率为__________；两人在两轮活动中共答对3个问题的概率为__________.
13.已知；是夹角为的两个单位向量，若向量在上的投影向量为，则实数__________.
14.设是同一个半径为3的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥D-ABC体积的最大值为__________.
15.已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点，其中点M在线段OB上且满足，则__________，若点是线段AB上的动点，则的最大值为__________.
三、解答题（本题共5题，共75分.）
16.（14分）已知复数，且，a为实数.
（I）求实数a的值；
（II）若z为纯虚数，复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数b的取值范围.
17.（15分）如图，在棱长为4的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱的中点.
（I）求证：平面；
（II）求二面角的平面角的正弦值；
（III）求点到面的距离.
18.（15分）2025年秋天将在天津举办上合组织峰会，为了加深师生对上合峰会的了解，天津某校举办了“上合组织峰会”知识竞赛，并将100名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）分成六段后得到如下频率分布直方图.观察图形信息，回答下列问题：
（I）求a的值，并估计本次竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（II）估计这组数据的第75百分位数；
（III）用分层抽样的方法在分数落在内的师生中随机抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人的分数在内的概率.
19.（15分）如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面ABCD是等腰梯形，是PD的中点.
（I）求证：平面PAB；
（II）若，
（i）求证：平面平面ABCD；
（ii）求直线CE与底面ABCD所成角的余弦值.
20.（16分）在中，为角对应的边，S为的面积，且满足如下条件：.
（I）求角A；
（II）若，求面积的最大值；
（III）为锐角三角形，且，若恒成立，求实数的取值范围.
高一数学参考答案
一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分.）
二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分.）
10.0.611.12.13.214.15.
三、解答题（本题共5题，共75分.）
16.（14分）【详解】
（I）…………………………………………3分
………………………………………………5分
………………………………………………………………………………………………6分
（II）为纯虚数，，且………………………………………………7分
………………………………………………………………………………………………8分
……………………………………………………………………9分
……………………………………………………………………………分
………………………………11分
因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，则，………………………13分
解得.因此，实数的取值范围是.………………………………………14分
17.（15分）【详解】
（I）以为原点，分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，
则，…………………2分
因为为棱BC的中点，为棱CD的中点，所以，
所以…………………………………………4分
设平面的一个法向量为
则，
令，则，………………………………………………………………分
……………………………………7分
平面……………………………………………………………………………………8分
（II）设平面的一个法向量为，
则，
令，则，………………………………………………………………10分
由（I）知平面的法向量为
则，………………………………………………11分
所以二面角的正弦值为分
（III）设点到面的距离为
………………………………………13分
解得：……………………………………………………15分
（注：其它方法酌情给分）
18.（15分）【详解】
（I）根据频率分布直方图可知：，……………………1分
即；……………………………………………………………………………………2分
估计本次竞赛成绩的平均分为
…………………………4分
（II）由图中前四组面积之和为：，……………………4分
图中前五组面积之和为：，…………………………6分
故这组数据的第75百分位数在第五组数据中，
设这组数据的第75百分位数为m，
则有，……………………………………………………7分
故，即估计这组数据的第75百分位数为82分；………………………………8分
（III）用分层抽样的方法在分数在内的师生中抽取一个容量为6的样本，
其中分数在的人数为2，分别记为a、b，分数在的人数为4，分别记为A，B，C，D
…………………………………………………………………………………………………………10分
从6人中任取2人，所有的基本事件有：ab、aA、aB、aC、aD、bA、bB、bC、bD、AB、AC、AD、BC、BD、CD，共15种，………………………………………………………………………………12分
其中，事件“从6人中任取2人，至多有1人的分数在内”所包含的基本事件有：ab、aA、aB、aC、aD、bA、bB、bC、bD，共9种，……………………………………………………14分
故所求概率为………………………………………………………………………15分
19.（15分）【详解】
（I）证明：取PA中点，连接EF、BF，
是PD的中点，
，……………………………………………………………………2分
四边形EFBC是平行四边形，
平面平面PAB，
平面PAB………………………………………………………………………………4分
（II）（i）在等腰梯形ABCD中，过点作交AD于点，，可知，
在中由余弦定理可得，
分
，
平面平面PBD，
平面………………………………………………7分
平面ABCD，
平面平面ABCD…………………………………………8分
（ii）过点作于点，连接CH，
平面平面ABCD，
平面平面平面PBD，
平面ABCD，…………………………………………9分
是斜线CE在平面ABCD上的射影……………………10分
是CE与底面ABCD所成的角，……………………11分
在Rt中，，得，
所以
在中，是PD的中点，得，
在Rt中，，
在Rt中，……………………14分
，即直线AE与底面ABCD成角的余弦值为.………………15分
20.（16分）【详解】
（I）因为，
所以，…………………………………………1分
由正弦定理得，…………………………………………………2分
整理得，
由余弦定理得，…………………………………………3分
又，所以；…………………………………………………………4分
（II）由得：，
则，………………………………………………………………………5分
从而，…………………………………6分
由余弦定理可得：，…………………7分
因为，所以，所以，…………………………8分
当且仅当时等号成立，
从而，
所以面积的最大值为；……………………………………………………9分
（II）由及正弦定理可得：，
……………………………………………………10分
……………………………………………………………………………12分
为锐角三角形
……………………………………………………………13分
令………………………………………………………………………………14分
函数在上单调递减，在上单调递增
实数的取值范围是………………………………………………………………………16分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
C
D
D
B
A
B
C
B