江苏省盐城市五校联考2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题（解析版）

这是一份江苏省盐城市五校联考2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题（解析版），共12页。
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】易知直线斜率为，
设其倾斜角为，且，满足，可得.
故选：B.
2. 已知直线与垂直，则实数（ ）
A. 3B. C. D. 2
【答案】C
【解析】由直线与垂直，
得，所以.
故选：C.
3. 已知数列是首项为3，公差为2的等差数列，则（ ）
A. B. C. 23D. 25
【答案】B
【解析】由题意，，则，故.
故选：B.
4. 已知直线恒过点P，则以点P为圆心，为半径的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】将直线方程变形为.
令，解得，所以点的坐标为.
故圆心，半径
所以圆的方程为.
故选：A.
5. 某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为25m，拱顶距水面，该处路面厚度约.若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】以拱形部分的顶点为坐标原点，水平线为轴，建立平面直角坐标系．
设抛物线方程为（）
由已知点在抛物线上，所以，所以，
所以抛物线方程为，所以焦点坐标为，
所以绳子最合适的长度是，故选：B.
6. 已知点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ）
A. B. 9C. 6D. 3
【答案】A
【解析】由点，，得，
直线：，即，
因为圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
因此点到直线距离的最小值，
所以△PAB面积的最小值为.
故选：A.
7. 若直线是曲线的一条切线，则k的值为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】设切点坐标为，易知，因此，
所以切线方程为，即，
可得，即，可得，所以.
故选：D.
8. 已知双曲线（）的左焦点，点分别在双曲线的左、右两支上，（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图，设双曲线右焦点为E，连接，设，
由对称性知交点D在轴上，且，
，
在中，，
，
即，所以，
故选：D.
二、多项选择题.本题共3题，每小题6分，共18分.在每小题选项中，有多项符合题目要求，全选对给6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知曲线，则下列结论正确的有（ ）
A. 若，则C是焦点在x轴上的双曲线
B. 若，则C是圆
C. 若，则C是焦点在x轴上的椭圆
D. 若，则C是两条平行于y轴的直线
【答案】BCD
【解析】对于A，若，则，
所以C是焦点在轴上的椭圆，故A错误；
对于B，若，则曲线，所以C是圆，故B正确；
对于C，若，则，所以C是焦点在轴上的椭圆，故C正确；
对于D，若，则，所以C是两条平行于y轴的直线，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知数列，下列结论正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则数列是等比数列
D. 若，则数列是等比数列
【答案】ABD
【解析】对于A,由,可知数列为等比数列,首项为2,公比为3,
则,故A正确；
对于B, 由,可得,
即数列为等比数列,首项为2,公比为3,
则,即,故,故B正确；
对于C,由① ,可得,当时, ② ,
由,因时, ,故C错误；
对于D,由① ,可得,当时, ② ,
由,因时, ,故D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记.若是奇函数，且且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】对于A，因为是奇函数，则，
求导可得，即，
又因为，则，
即，可得，故A正确；
对于B，联立方程，
解得，，
则，
可得，解得，
所以，，
因，
当且仅当，即时，等号成立，即，故B错误；
对于C，由，得，故C正确；
对于D，因为，故D错误.
故选：AC.
三、填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 直线：与直线：的交点坐标为________.
【答案】
【解析】联立，解得，故交点为.
13. 已知圆，直线过点且与圆相切，若与两坐标轴交点分别为、，则______.
【答案】
【解析】由题意可知，圆心为，半径为，
因为，
所以，点在圆上，由圆的几何性质可知，，
，所以，直线的斜率为，
故直线的方程为，即，
直线交轴于点，交轴于点，
因此，.
14. 在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差×等比数列”此类数列求和，也可以用“裂项相消法”求解，例如，故的前n项和
，记数列的前n项和为Tn，利用上述方法得＝__________.
【答案】
【解析】设，
则，即，
则数列的前n项和，
.
四、解答题.本题共6小题，共77分.
15. （1）求过，且与直线平行的直线的方程.
（2）已知的三个顶点，，，求边上的高所在的直线方程.
解：（1）已知直线斜率是，
因为所求直线与已知直线平行，所以所求直线的斜率也是，
根据直线的点斜式方程，得所求直线的方程为，即；
（2）由两点式，可得，边上高所在直线方程的斜率，
的高所在直线的直线方程，即.
16. 在平面直角坐标系xy中，已知， M上存在两点关于直线对称.
（1）求圆M的半径；
（2）过坐标原点O的直线l被M得的弦长为，求l的方程.
解：（1）圆方程可化为：，
则圆心为，半径.
因为上存在两点关于直线对称，
所以点在直线上，所以，解得，
所以的半径.
（2）由（1）可得，圆心为，半径.
因为过坐标原点的直线被截得的弦长为，
所以圆心到直线的距离.
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离，符合题意；
直线的斜率存在，设直线的方程为，则解得.
所以直线的方程为，即.
综上可得直线的方程为或.
17. 已知等差数列的前n项和为，且满足， ，数列满足，，
（1）证明:数列是等比数列，并求，的通项公式;
（2）已知数列满足，求的前2n项和
（1）证明：依题意，设数列的公差为，
因为，所以，则，
因为所以，
所以，所以，
所以，所以，
又因为，所以，
故数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，所以．
（2）解：由（1）知，，可得，
所以
=
=.
18. 凸函数是数学中一个值得研究的分支，它包括数学中大多数重要的函数，如，等.记为的导数.现有如下定理：
在区间上为凸函数的充要条件为.
（1）证明：函数为上的凸函数;
（2）已知函数.
① 若为上的凸函数，求的最小值;
② 在① 的条件下，当取最小值时，证明：在上恒成立.
（1）证明：，
则，，
，，
故在区间上恒成立，
即为上的凸函数.
（2）解：①，
，，
由题知在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，则在区间上恒成立，
令，对称轴为，所以当时，取到最大值，最大值为，
所以，得到，所以的最小值为，
②由①知，
令，
则，
令，
则在区间恒成立，
所以在区间上单调递增，得到，
即在区间恒成立，
即在区间上单调递增，所以，
令，令，得到，
则在区间上恒成立，
在区间上单调递减，，
所以，在上恒成立．
19. 已知椭圆C:的左右焦点为,点为椭圆C上的三点，且满足，直线与直线交于点Q，记直线的斜率为，直线的斜率为·
（1）若点P在y轴上，则是边长为2的等边三角形，求椭圆方程;
（2）若，求椭圆C的离心率;
（3）求证为定值.
（1）解：由题可知，
所以椭圆的方程为.
（2）解：在椭圆中，，，设，，，，将代入 中有
，
所以，①，代入PA方程中有
②同理，③，④，
因为，所以，
解得：.
（3）证明：根据（2）中①②③④解得.
和分别三点共线可得⑤，⑥，
将①②③④代入⑤⑥解得，
，.
，
从而.