江苏省盐城市五校联考2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题（Word版附解析）

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总分 150 分考试时间 120 分钟）
注意事项:
1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分.
2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上.
3.作答非选择题时必须用黑色字迹 0.5 毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必
须用 2B 铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答
案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损.
一、单项选择题.本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据倾斜角与斜率之间的关系计算可得结果.
【详解】易知直线 的斜率为 ，
设其倾斜角为 ，且 ，满足 ，可得 .
故选：B
2. 已知直线 与 垂直，则实数 （ ）
A. 3 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用两条直线垂直列式计算即得.
【详解】由直线 与 垂直，得 ，
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所以 .
故选：C
3. 已知数列 是首项为 3，公差为 2 的等差数列，则 （ ）
A. B. C. 23 D. 25
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，求得 ，即得 ，代入 即得.
【详解】由题意， ，
则 ，故 .
故选：B.
4. 已知直线 恒过点 P，则以点 P 为圆心， 为半径的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线方程求出定点 的坐标，然后根据圆的标准方程 （其中 为圆
心坐标， 为半径）来确定圆的方程.
【详解】将直线方程 变形为 .
令 ，解得 ，所以点 的坐标为 .
已知圆心 ，半径 .
所以圆的方程为 .
故选：A.
5. 某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为 25m，拱顶距
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水面 ，该处路面厚度约 .若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点
处，则绳子最合适的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，求抛物线方程，由此确定焦点坐标，再求绳子最合适的长度.
【详解】以拱形部分的顶点为坐标原点，水平线为 轴，建立平面直角坐标系．
设抛物线方程为 （ ）
由已知点 在抛物线上，
所以 ，
所以 ，
所以抛物线方程为 ，
所以焦点坐标为 ，
所以绳子最合适的长度是 ，
故选：B.
6. 已知点 ， ，点 P 是圆 上任意一点，则 面积的最小值为（ ）
A. B. 9 C. 6 D. 3
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【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，求出直线 的方程及线段 长，再求出点 到直线 距离的最小值即可.
【详解】由点 ， ，得 ，
直线 ： ，即 ，
因为圆 的圆心为 ，半径 ，
圆心到直线 的距离 ，
因此点 到直线 距离的最小值 ，
所以△PAB 面积的最小值为 .
故选：A.
7. 若直线 是曲线 的一条切线，则 k 的值为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】设出切点坐标 ，利用导数的几何意义求得切线方程，解方程可得 ，可得结果.
【详解】设切点坐标为 ，
易知 ，因此 ，
所以切线方程为 ，即 ，
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可得 ，即 ，可得 ，
所以 .
故选：D
8. 已知双曲线 （ ）的左焦点 ，点 分别在双曲线 的左、右两支上，
（ 为坐标原点），且 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由对称性知 交点 在 轴上，分别在 中利用已知的边角表示出未知的边角，
再利用双曲线的定义建立 的等式即可求出离心率．
【详解】如图，设双曲线右焦点为 E，连接 ，设 ，
由对称性知 交点 D 在 轴上，且 ，
，
在 中， ，
，
即
所以 ，
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故选：D
二、多项选择题.本题共 3 题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题选项中，有多项符合题目要求，
全选对给 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知曲线 ，则下列结论正确的有（ ）
A. 若 ，则 C 是焦点在 x 轴上的双曲线
B. 若 ，则 C 是圆
C. 若 ，则 C 是焦点在 x 轴上的椭圆
D. 若 ，则 C 是两条平行于 y 轴的直线
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意结合双曲线、椭圆和圆的方程，逐一分析判断即可.
【详解】对于 A，若 ，则 ，
所以 C 是焦点在 轴上的椭圆，故 A 错误；
对于 B，若 ，则曲线 ，
所以 C 是圆，故 B 正确；
对于 C，若 ，则 ，
所以 C 是焦点在 轴上的椭圆，故 C 正确；
对于 D，若 ，则 ，
所以 C 是两条平行于 y 轴的直线，故 D 正确.
故选：ABD.
10. 已知数列 ，下列结论正确的有（ ）
A. 若 ，则
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B. 若 ，则
C. 若 ，则数列 是等比数列
D. 若 ，则数列 是等比数列
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 A，利用等比数列通项公式即可求得；对于 B，需要构造等比数列 ，求出通项，代值
即得；对于 C，先由 求出 ，利用首项验证不满足排除 C；对于 D，与 C 项同法可得
，利用首项验证满足.
【详解】对于 A,由 ,可知数列 为等比数列,首项为 2,公比为 3,则 ,故 A
正确；
对于 B, 由 ,可得 ,
即数列 为等比数列,首项为 2,公比为 3,
则 ,即 ,故 ,故 B 正确；
对于 C,由 ① ,可得 ,当 时, ② ,
由 ,因 时, ,故 C 错误；
对于 D,由 ① ,可得 ,当 时, ② ,
由 ,因 时, ,故 D 正确.
故选：ABD.
11. 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 .若 是奇函数，且
且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
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【 分 析 】 根 据 函 数 奇 偶 性 ， 结 合 方 程 组 法 计 算 可 得 和 ， 结 合
可得 ，进而逐项分析判断即可.
【详解】对于 A，因为 是奇函数，则 ，
求导可得 ，即 ，
又因为 ，则 ，
即 ，可得 ，故 A 正确；
对于 B，联立方程 ，解得 ， ，
则 ，可得 ，解得 ，
所以 ， ，
因 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，即 ，故 B 错误；
对于 C，由 ，得 ，故 C 正确；
对于 D，因为 ，故 D 错误.
故选：AC.
【点睛】方法点睛：函数 性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中
根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
三、填空题.本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 直线 ： 与直线 ： 的交点坐标为________.
【答案】
【解析】
【分析】联立方程即可求解.
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【详解】联立 ，解得 ，故交点为 ，
故答案为：
13. 已知圆 ，直线 过点 且与圆 相切，若 与两坐标轴交点分别为 、 ，
则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】求出直线 的方程，可求出点 、 的坐标，利用平面内两点间的距离公式可求得 的值.
【详解】由题意可知，圆心为 ，半径为 ，
因为 ，所以，点 在圆 上，由圆的几何性质可知， ，
，所以，直线 斜率为 ，故直线 的方程为 ，即 ，
直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，
因此，
故答案为： .
14. 在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差×等比数列”此类数列求和，也可以用
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“裂 项 相 消 法 ”求 解 ， 例 如 ， 故 的 前 n 项 和
，记数列 的前 n 项和为 Tn，利用上述方法得 ＝__________.
【答案】
【解析】
【分析】先将 裂成两项，再运用待定系数法求解裂成两项的系数，接着利用裂项相消法求和即得.
【详解】设 ，
则 ，即 ，
则数列 的前 n 项和
，
.
故答案为： .
【点睛】本题主要考查运用裂项相消法解决“等差×等比数列”的求和问题，属于难题.解题的关键在于按
照题意，将数列通项写成两项的差的形式，通过待定系数法确定各项系数，再裂项相加即可.
数列求和的常用方法有：公式法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法、分组求和法和并项求和法.
四、解答题.本题共 6 小题，共 77 分.
15. （1）求过 ，且与直线 平行的直线的方程.
（2）已知 的三个顶点 ， ， ，求边 上的高所在的直线方程.
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【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）根据直线的平行关系，可得所求直线斜率，运用点斜式方程，即可求得；
（2）根据直线 垂直关系，可得所求直线斜率，运用点斜式方程，即可求得.
【详解】（1）已知直线的斜率是 ，
因为所求直线与已知直线平行，所以所求直线的斜率也是 ，
根据直线的点斜式方程，得所求直线的方程为 ，即 ；
（2）由两点式，可得 ， 边上高所在直线方程的斜率 ，
的高所在直线的直线方程 ，即 .
16. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xy 中 ， 已 知 ， M 上 存 在 两 点 关 于 直 线
对称.
（1）求圆 M 的半径；
（2）过坐标原点 O 的直线 l 被 M 得的弦长为 ，求 l 的方程.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）首先将圆的方程化成标准方程，即可得到圆心坐标 与半径，依题意点 在直线
上，即可求解；
（2）根据圆的几何性质求出圆心到直线的距离 ，再分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出所对
应的直线方程，即可得解.
【小问 1 详解】
圆 方程可化为： ，
则圆心为 ，半径 .
因为 上存在两点关于直线 对称，
所以点 在直线 上，所以 ，解得 ，
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所以 的半径 .
【小问 2 详解】
由（1） 可得，圆心为 ，半径 .
因为过坐标原点 的直线 被 截得的弦长为 ，所以圆心 到直线的距离 .
若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 ，此时圆心 到直线的距离 ，符合题意；
直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，则 解得 .
所以直线 的方程为 ，即 .
综上可得直线 的方程为 或 .
17. 已知等差数列 的前 n 项和为 ，且满足 ， ，数列 满足 ，
，
（1）证明:数列 是等比数列，并求 ， 的通项公式;
（2）已知数列 满足 ，求 的前 2n 项和
【答案】（1）证明见解析， ．
（2）
【解析】
【分析】（1）通过已知条件 和 联立方程组可求出 和 ，进而得到 的通项公式. 对
于数列 ，根据 ，通过变形得到 ，可证明 是等比数列，
进而求出 的通项公式.
（2）根据 的分段定义，根据分组求和，分别计算奇数项和偶数项的和，从而求出 .
【小问 1 详解】
依题意，设数列 的公差为 ，
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因为 ，所以 ，则
因为 所以
所以 ， 所以
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
故数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，
所以 ，所以 ．
【小问 2 详解】
由（1）知 ， ，可得
所以
=
=
18. 凸函数是数学中一个值得研究的分支，它包括数学中大多数重要的函数，如 ， 等.记 为
的导数.现有如下定理：
在区间 上 为凸函数的充要条件为 .
（1）证明：函数 为 上的凸函数;
（2）已知函数 .
① 若 为 上的凸函数，求 的最小值;
② 在① 的条件下，当 取最小值时，证明： 在 上恒成立.
【答案】（1）证明见解析
（2）① ；②证明见解析
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【解析】
【分析】（1）先求 ，再得 即可证明；
（2）①根据凸函数的定义，转化为 在区间 上恒成立，进而可得；
②设 ，根据导函数可得 ，设 ，令 ，换元后，
根据导函数可得 ，进而可得.
【小问 1 详解】
，则 ， ，
， ，
故 在区间 上恒成立，即 为 上的凸函数.
【小问 2 详解】
① ，
， ，
由题知 在区间 上恒成立，
即 在区间 上恒成立，
令 ，则 在区间 上恒成立，
令 ，对称轴为 ，所以当 时， 取到最大值，最大值为 ，
所以 ，得到 ，所以 的最小值为 ，
②由①知 ，
令 ，
则 ，
令 ，
则 在区间 恒成立，
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所以 在区间 上单调递增，得到 ，
即 在区间 恒成立，
即 在区间 上单调递增，所以 ，
令 ，令 ，得到 ，
则 在区间 上恒成立，
在区间 上单调递减， ，
所以 ，在 上恒成立．
【点睛】关键点点睛：第二问由 可以观察不等号前后有明显差异，可考虑
即可.
19. 已知椭圆 C: 的左右焦点为 ,点 为椭圆 C 上的三点，且满足
，直线 与直线 交于点 Q，记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为
·
（1）若点 P 在 y 轴上，则 是边长为 2 的等边三角形，求椭圆方程;
（2）若 ，求椭圆 C 的离心率;
（3）求证 为定值.
【答案】（1）
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（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】(1)根据题意，直接用椭圆的定义直接求得结果.
（2）联立直线与椭圆的方程，由韦达定理求出 ， ，再由
列出式子即可求得离心率.
（3）由（2）的结论联立 ， 即可求得结果.
【小问 1 详解】
由题可知 ，
所以椭圆的方程为 .
【小问 2 详解】
在椭圆 中， ， ，设 ， ， ，
，将 代入 中有
，
所以 ， ①，代入 PA 方程中有
②同理 ， ③，
④
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因 ，所以 ，
解得： .
【小问 3 详解】
根据（2）中①②③④解得 .
和 分别三点共线可得 ⑤， ⑥，将①②③④代入⑤⑥解得
， ， .
，从而
【点睛】关键点点睛：由椭圆的定义求出椭圆的方程，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理得到离心率再
求出利用三点共线的条件求出 的定值.
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