陕西省宝鸡市岐山高级中学2024-2025学年高三下学期期中考试数学试题（含答案解析）

这是一份陕西省宝鸡市岐山高级中学2024-2025学年高三下学期期中考试数学试题（含答案解析），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分)
1. 已知集合，则（ ）
2. 设复数是纯虚数，则的值可以为（ ）
3. 如表是某公司员工月收入的资料.
能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（ ）
4. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
5. 如图，半径为1的圆与轴相切于原点，切点处有一个标志，该圆沿轴向右滚动，当圆滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为)，标志位于点处，圆与轴相切于点，则阴影部分的面积是（ ）

6. 已知抛物线，过的焦点的直线交于两点，交的准线于，且，则的方程为（ ）
7. 已知函数 ，若实数 成等差数列，且 ，则 （ ）
8. 已知 ，则 （ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 3 分，共 9 分)
9. 函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（ ）
10. 已知，双曲线：的左、右焦点，点P在C上，设的内切圆圆心为，半径为，直线交于，若，，，则（ ）
11. 已知正方体的棱长为1，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则下列结论正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 3 分，共 9 分)
12. 已知函数则的值为__________.
13. 已知的内角，，的对边分别为，，，，，若为中点，则______．
14. 已知随机取或1，构成数列为初始数列，当不为常数列时，对数列进行如下操作：①统计中-1的个数，记为；②把改为，其余项不变，得到新数列；③若新数列为常数列，停止操作，记录操作次数，否则将替换为新数列，重复上述操作，可知对任意初始数列，必在有限次操作后停止．如：，对初始数列1，，操作过程为1，，，，1；．当时，对所有可能的初始数列，对应操作次数的和为________．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 已知函数，且在处的切线方程是．
(1)求实数，的值；
(2)求函数的单调区间和极值．
16. 如图，在直棱柱中，为中点，．
(1)若，证明：平面；
(2)若，，求平面与平面所成的二面角的正弦值．
17. 某高校为了提升学校餐厅的服务水平， 组织4000名师生对学校餐厅满意度进行评分 调查，按照分层抽样方法，抽取200位师生的评分(满分100 分)作为样本，绘制如图所示的 频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级:

(1)求图中 的值，并估计满意度评分的分位数;
(2)若样本中男性师生比为，且男教师评分为80分 以上的概率为0.8， 男学生评分为80分以上的概率0.55， 现 从男性师生中随机抽取一人， 其评分为80分以上的概率为多少?
(3)设在样本中，学生、教师的人数分别为，记所有学生的评 分为，其平均数为，方差为，所有教师的评分为，其平均数为，方差为，总样本的平均数为，方差为 ，若，试求的最小值.
18. 在平面直角坐标系中，已知点，点（不位于轴左侧）到轴的距离为．
(1)求点的轨迹方程；
(2)若圆与点的轨迹有且仅有一个公共点，求的最大值；
(3)在（2）的条件下，当取最大值，且时，过作圆的两条切线，分别交轴于两点，求面积的最小值．
19. 数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立.证明分为下面两个步骤：①证明当取第一个值时命题成立；②假设时命题成立，证明当时命题也成立.根据①②就可以断定命题对于从开始的所有正整数都成立.根据上述材料解决下面的问题：已知数列满足，当时，，其中.
(1)写出和，猜想的通项公式，并证明你的猜想；
(2)若，求；（参考公式：）
(3)对任意的且，设满足的的最小值为，证明：当时，
陕西省宝鸡市岐山高级中学2024-2025学年高三下学期期中考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、复数、计数原理与概率统计、平面解析几何、平面向量、空间向量与立体几何、数列、推理与证明
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
月收入/元
45000
18000
10000
5500
5000
3400
3300
1000
人数
1
1
1
3
6
1
11
1
A．平均数和众数
B．平均数和中位数
C．中位数和众数
D．平均数和方差
A．
B．
C．
D．
A．2
B．1
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．8
B．10
C．
D．
A．
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在上单调递减
A．
B．圆心I的横坐标为1
C．
D．C的离心率为2
A．
B．点的轨迹长度为
C．线段长度的最小值为
D．的最小值为
满意度评分
满意度等级
不满意
基本满意
满意
非常满意
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
6
适中
8
较难
3
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
并集的概念及运算；具体函数的定义域；求指数函数在区间内的值域
2
0.85
正弦函数图象的应用；已知复数的类型求参数；特殊角的三角函数值
3
0.85
计算几个数的众数；计算几个数的中位数；用中位数的代表意义解决实际问题；计算几个数的平均数
4
0.65
根据函数的单调性求参数值；判断指数型复合函数的单调性
5
0.85
扇形面积的有关计算
6
0.65
抛物线定义的理解；根据定义求抛物线的标准方程
7
0.65
函数奇偶性的应用；求含csx的函数的奇偶性
8
0.65
求指定项的系数；两个二项式乘积展开式的系数问题；二项展开式的应用；求二项展开式的第k项
二、多选题
9
0.65
求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；求csx型三角函数的单调性；求图象变化前（后）的解析式
10
0.4
双曲线定义的理解；利用定义解决双曲线中焦点三角形问题；求双曲线的离心率或离心率的取值范围；平面向量共线定理的推论
11
0.15
点到平面距离的向量求法；从平面向量到空间向量；空间位置关系的向量证明
三、填空题
12
0.85
求分段函数解析式或求函数的值；指数幂的运算；对数的运算
13
0.85
余弦定理解三角形；已知数量积求模
14
0.65
数列新定义
四、解答题
15
0.85
已知切线（斜率）求参数；求已知函数的极值；利用导数求函数的单调区间（不含参）
16
0.65
证明线面平行；面面角的向量求法
17
0.65
估计总体的方差、标准差；利用全概率公式求概率；由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量；总体百分位数的估计
18
0.4
由直线与圆的位置关系求参数；求平面轨迹方程；已知切线求参数
19
0.4
用和、差角的余弦公式化简、求值；数学归纳法
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
函数与导数
1,4,7,12,15
3
三角函数与解三角形
2,5,7,9,13,19
4
复数
2
5
计数原理与概率统计
3,8,17
6
平面解析几何
6,10,18
7
平面向量
10,13
8
空间向量与立体几何
11,16
9
数列
14
10
推理与证明
19