陕西省宝鸡市2023−2024学年高一下学期期末测试 数学试卷（含解析）

这是一份陕西省宝鸡市2023−2024学年高一下学期期末测试 数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．某单位老、中、青人数之比依次为.现采用分层随机抽样方法从中抽出一个容量为的样本，若样本中青年人人数为20，则此样本的容量为（ ）
A．40B．50C．70D．100
2．一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间，设，，则（ ）
A．与互斥B．与相互对立
C．与相互独立D．
3．若，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
4．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，，则
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，且面积为，则的外接圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
7．某学校对甲、乙两个班级的某次成绩进行统计分析，制成了如图的条形图与扇形图，则下列说法一定正确的是（ ）
A．甲班成绩优良人数超过了乙班成绩优良人数
B．甲班平均成绩高于乙班平均成绩
C．甲班学生比乙班学生发挥稳定
D．甲班不及格率高于乙班不及格率
8．如图，圆锥PO的底面直径和高均是4，过PO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（ ）

A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列关于复数的四个命题中为真命题的是（ ）
A．
B．
C．的共轭复数为
D．是关于的方程的一个根
10．某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议：掷两个骰子，把得到的点数之和是几就选几班，针对这种选法下面说法不正确的有（ ）
A．公平，每个班被选到的概率都为
B．公平，每个班被选到的概率都为
C．不公平，6班被选到的概率最大
D．不公平，7班被选到的概率最大
11．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是（ ）．
A．
B．该半正多面体的外接球的表面积为
C．与平面所成的角为
D．与所成的角是的棱共有16条
三、填空题（本大题共3小题）
12．若一组样本数据，，，的标准差为4，则数据，，，的标准差为 .
13．已知向量满足，且，则 .
14．在空间四边形ABCD中，AB=CD，且异面直线AB与CD所成的角为30°，E､F分别是边BC和AD的中点，求异面直线EF和AB所成的角为 ..
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在中，为线段上一点，且.
若，求，的值；
若，，，且与的夹角为，求的值.
16．如图所示，边长为2的正方形中，点E是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使两点重合于点.
(1)求证:；
(2)求三棱锥的体积.
17．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)已知落在的平均成绩是61，方差是7，落在的平均成绩为70，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差
18．在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
19．某校在课外活动课上连续开展若干项体育游戏，其中一项为“扔沙包”的游戏．其规则是：将沙包扔向指定区域内，该区域共分为A，B，C三个部分．如果扔进A部分一次，或者扔进B部分两次，或者扔进C部分三次，即视为该项游戏过关，并进入下一项游戏．小杨每次都能将沙包扔进这块区域内，若他扔进A部分的概率为p，扔进B部分的概率是扔进A部分的概率的两倍，且每一次扔沙包相互独立．
(1)若小杨第二次扔完沙包后，游戏过关的概率为，求p；
(2)设小杨第二次扔完沙包后，游戏过关的概率为；设小杨第四次扔完沙包后，恰好游戏过关的概率为，试比较与的大小．
参考答案
1．【答案】A
【分析】根据分层抽样的知识求得正确答案.
【详解】依题意可知，.
故选A.
2．【答案】D
【分析】根据已知条件求出概率，结合互斥事件，相互独立及概率的乘法公式进行计算即可.
【详解】依题得，，，，
对A，有共同的样本点2,3，所以不互斥，A错误；
对B，与共同的样本点，所以，B错误；
对C，，，则，则，
，，则，则C错误；
对D，，，D正确.
故选D.
3．【答案】C
【分析】首先根据得到，再根据充要条件的定义求解即可.
【详解】若，则，
所以则是的充要条件.
故选C.
4．【答案】C
【分析】ABD可举出反例；C选项，根据直线与平面垂直的性质得到C正确.
【详解】对于A，若，，则或，故A错误；
对于B，若，，，则或与异面，即B错误；
对于C，若，，由直线与平面垂直的性质可得，故C正确；
对于D，若，，，则与的关系为平行、相交或异面，故D错误；
故选C
5．【答案】A
【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值.
【详解】因为，所以，
而，所以，
故即，
从而，故，
故选A.
6．【答案】B
【分析】先利用面积公式，求出边，由余弦定理得出a，再利用正弦定理求解即可.
【详解】由题意，，
，
的外接圆的半径为.
故选B.
7．【答案】D
【分析】根据条形统计图和扇形图，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择.
【详解】：因为每个班的总人数不确定，故无法比较；
：甲班及格人数占比，乙班及格人数占比，
故甲班平均成绩显然高于乙班平均成绩；
：无法确定甲班和乙班学生成绩的方差，故错误；
：甲班不及格率为，乙班不及格率为，故正确.
故选.
8．【答案】C
【分析】通过圆锥的底面半径和高，可求出圆柱的高和底面半径，再结合圆锥的表面积与圆柱的侧面积可求得剩下几何体的表面积.
【详解】设圆柱的底面半径为r，高为h，则，，
圆锥的母线长为，
过PO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，
则剩下的几何体的表面积为
故选
9．【答案】BD
【分析】根据复数的除法运算求得，根据模的计算可判断A；根据复数的乘方判断B；根据共轭复数的概念判断C；计算，判断D.
【详解】由题意得，
故，A错误；
，B正确；
的共轭复数为，C错误；
，
即z是关于x的方程的一个根，D正确，
故选BD.
10．【答案】ABC
【分析】求出每个班被选到的概率，如果概率不相等，则不公平.
【详解】列表如下：
点数之和为，点数之和为点数之和为，
点数之和为点数之和为，
点数之和为点数之和为，
点数之和为点数之和为，
点数之和为点数之和为，点数之和为，
所以不公平，7班被选到的概率最大.
故选
11．【答案】ACD
【分析】补全该半正多面体得到一正方体，根据条件计算正方体的棱长，再求的长，判断A; 利用几何体的对称性确定该半正多面体的外接球的球心及半径,判断B；根据线面角的定义找到线面角，解三角形求其大小,判断C；利用平行关系，确定与所成的角是 的棱的条数，判断D.
【详解】补全该半正多面体得到一正方体，设正方体的棱长为，则，
对选项A：由题意知，该半正多面体由6个全等的正方形和8个全等的正三角形构成.
则由半正多面体的表面积为，
得，解得，
因为，所以，故A正确；
对选项B：由半正多面体的对称性可知，其对称中心与相应的正方体的对称中心是同一点，其对称中心为正方体的体对角线的中点，点在平面的投影点为，
则有，，所以，
故该半正多面体的外接球的半径为，面积为，故B错误；
对选项C：因为平面，所以为AB与平面BCD的夹角，
因为为直角三角形，且，所以
所以AB与平面BCD所成的角为，故C正确；
对选项D：在与相交的6条棱中，与AB所成的角是的棱有4条，又这4条棱中，每一条棱都有3条平行的棱，故与AB所成的角是的棱共有16条，故D正确；
故选ACD.
12．【答案】8
【分析】根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差，然后结合变量之间的方差关系进行求解即可.
【详解】
样本数据 ，，，的标准差为4，
样本数据 ，，，的方差为16，
数据，，，的方差为，
所以数据 ，，，的标准差为8，
故答案为：8
13．【答案】或
【分析】根据得，由，两边同时平方得，结合两式计算即可.
【详解】因为，
所以，
又因为，
所以，
所以，
解得.
故答案为：.
14．【答案】或．
【分析】取中点，作出异面直线所成的角及异面直线EF和AB所成的角，然后根据定义可得结论．
【详解】如图，取中点，连接，
∵E､F分别是边BC和AD的中点，∴，，，，
又，∴，
∴异面直线所成的角是或补角，异面直线EF和AB所成的角是或其补角，
异面直线AB与CD所成的角为30°，
若，则；若，则．
故答案为：或．
【思路导引】本题考查求异面直线所成的角，作出异面直线所成的角是求解的基础，要注意异面直线所成角的定义，异面直线所成的角只能是锐角或直角．已知异面直线所成的角求解时需分类讨论．
15．【答案】；.
【分析】用，表示出，根据平面向量的基本定理得出，的值；
用，表示出，，代入数量积公式计算即可.
【详解】解：若，则，
即，故.
若，则，
即，
所以
.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由已知可得，，从而有平面，进而可得结论；
（2）由勾股定理可得，从而易得的面积，又由（1）知平面，从而根据即可求解．
【详解】（1）证明：由正方形知，，
，，
，、平面，
平面，
又平面，
．
（2）解：，，可得，
的面积为，
又由（1）平面，
是三棱锥的底面上的高线，
所以三棱锥的体积为：.
17．【答案】(1)0.030
(2)84
(3)总平均数是67，总方差是23.
【分析】（1）利用小矩形的面积之和为1，进行求解；
（2）先判断第75百分位数在，然后列方程可求得结果；
（3）由频率分布直方图中数据结合方差计算公式即可解答.
【详解】（1）每组小矩形的面积之和为1，
，
；
（2）成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第75百分位数为m，
由，
得，故第75百分位数为84；
（3）由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
故，
设成绩在中10人的分数分别为，，，，
成绩在中20人的分数分别为
则由题意可得，，，
即，，
，
所以两组市民成绩的总平均数是67，总方差是23.
18．【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得；
(2)由题意可得，则，据此即可求得的面积.
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
则，，
.
（2）由三角形面积公式可得，
则.
19．【答案】(1)
(2)当时，；
当时，；
当时，．
【分析】（1）由题意可知，恰好游戏过关包含“第一次未扔中A部分，第二次扔中A部分”和“第一次与第二次均扔中B部分”两个事件，然后求解即可;
（2）第四次扔完沙包后，恰好游戏过关后游戏过关需前三次扔完后有一次扔进B部分且有两次扔进C部分,根据独立重复事件的概率计算即可.
【详解】（1）解：扔进B部分的概率为，扔进C部分的概率为，且．
（1）小杨第二次扔完沙包后，恰好游戏过关包含“第一次未扔中A部分，第二次扔中A部分”和“第一次与第二次均扔中B部分”两个事件，则概率为，
由，得，解得或者，
又，
所以．
（2）第四次扔完沙包后，恰好游戏过关后游戏过关需前三次扔完后有一次扔进B部分且有两次扔进C部分，
因此，
又，
，又，所以，
当时，；
当时，；
当时，．
和
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12