2025-2026学年上学期北京初中数学九年级开学模拟考2

这是一份2025-2026学年上学期北京初中数学九年级开学模拟考2，共46页。
A．13B．4C．5D．8
2．（2分）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．3、4、5B．2、2、3C．2、1、2D．6、12、13
3．（2分）若直线y＝kx+b经过第一、二、三象限，则函数y＝bx﹣k的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2分）如果关于x的方程x2+kx+9＝0有两个不相等的实数根，那么k的值可以为（ ）
A．6B．4C．7D．﹣6
5．（2分）一鞋店试销一款女鞋，老板想了解哪些尺码的鞋最畅销，则下列关于尺码的统计量中最有参考意义的是（ ）
A．众数B．平均数C．方差D．中位数
6．（2分）如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，则根据题意可列出方程（ ）
A．5000﹣150x＝4704
B．5000﹣150x﹣x2＝4704
C．5000−155x+x22=47044
D．（100﹣x）（50﹣x）＝4704
7．（2分）如图，四边形ABCD是矩形，有一动点P从点B出发，沿B→C→D→A路线绕矩形的边匀速运动，当点P到达点A时停止运动．在点P的运动过程中，△ABP的面积S随时间t变化的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，连接AE、DE，若△ADE≌△BDE，AC：AB：BC＝2：3：4，且△ABC的周长比△AEC的周长大6，则△AEC的周长为（ ）
A．6B．9C．12D．15
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）已知y=x−3−3−x−2，则xy＝ ．
10．（2分）直线y＝﹣2x+b过点（2，1），将它向下平移2个单位后所得直线的表达式是 ．
11．（2分）已知平行四边形ABCD的周长为16，AB＝5，则BC的长为 ．
12．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0的一个根是﹣1，则m＝ ．
13．（2分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2+2x﹣1的图象先沿x轴翻折，再向下平移3个单位，所得到的新的函数图象的解析式是 ．
14．（2分）某校举行科技创新大赛，比赛打分包括以下几项：理论知识、创新设计、现场展示，某参赛选手本次比赛的各项成绩分别是：理论知识92分，创新设计87分，现场展示90分，若将理论知识、创新设计、现场展示依次按20%，40%，40%的比例计算选手的综合成绩，那么该选手的综合成绩是 分．
15．（2分）设矩形的一条对角线长为2cm，两条对角线组成的对顶角中，有一组是120°，则矩形的周长是 ．
16．（2分）二次函数y＝ax2的图象经过点（﹣2，8），则a的值为 ．
三．解答题（共12小题，满分66分）
17．（4分）计算：12−(12)−1+(1−π)0．
18．（4分）解方程：
（1）x2＝5x；
（2）x2﹣6x+8＝0．
19．（6分）如图，已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°．
（1）尺规作图：过点D作DE⊥BC，交BC于点E（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）若BC＝2AD，当∠C满足什么条件时，（1）中作出的四边形ABED为正方形？并证明你的结论．
20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x＝1是一元二次方程x2+x﹣m＝0的解，求方程的另一个解．
21．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数y的部分对应值如表：
（1）二次函数图象的开口方向 ，m的值 ；
（2）点P（﹣3，y1）、Q（2，y2）在函数图象上，y1 y2（填＜、＞、＝）；
（3）当y＜0时，x的取值范围是 ；
（4）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的解为 ．
22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣kx+3的图象交于点（2，1）．
（1）求k和b的值；
（2）当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝mx+1（m≠0）的值大于y＝﹣kx+3的值，且小于y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
23．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，连接DB，过点C作CE∥DB，且CE＝DB，连接BE，DE．
（1）求证：四边形BECD是菱形；
（2）连接AE，当∠ACB＝30°，AB＝2时，求AE的长．
24．（5分）某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段．
（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．教师评委打分：86，90，90，91，91，91，91，92，96，92；
b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组82≤x＜85，第2组85≤x＜88，第3组88≤x＜91，第4组91≤x＜94，第5组94≤x＜97，第6组97≤x≤100）；
c．评委打分的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
①m的值为 ，n的值位于学生评委打分数据分组的第 组；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余教师评委打分的平均数为 ；
（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制），对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是 ，表中k（k为整数）的值为 ．
25．（6分）一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米．
（1）如图1，若把桥看作是抛物线的一部分，建立如图坐标系．
①求抛物线的解析式；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
（2）如图2，若把桥看作是圆的一部分．
①求圆的半径；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
26．（6分）已知抛物线y=−14x2+x+5．
（1）求抛物线的开口方向和对称轴；
（2）当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围．
27．（6分）已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC．
（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA＝EC；
（2）若点P在线段AB上．
①如图2，连接AC，当P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；
②如图3，设AB＝m，BP＝n，当EP平分∠AEC时，求m：n的值．
28．（6分）在平面直角坐标系xOy中，Q是x轴正半轴上一点，对于四边形ABCD边上的点P和图形W（点P不在x轴上），给出如下定义：若∠POQ＝α，将图形W绕点P逆时针旋转α得到图形M，则称图形M是图形和点P的“关联图”．
如图，点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣1），D（1，﹣1）．
（1）点N1（﹣1，2），N2（2，2），N3(1，32)，N4(2，3)中，在四边形ABCD和点E（0，1）的“关联图”上的点是 ；
（2）已知点F(12，0)，G(t，33)．
①若线段OF关于点P的“关联图”在四边形ABCD的内部（包含边界），设点P的横坐标的最小值为m，纵坐标的最大值为n，直接写出n﹣m的值 ；
②当△OFG关于点P的“关联图”和△OFG都在四边形ABCD的内部（包含边界）时，锐角α的最大值是60°，请直接写出t的取值范围 ．
2025-2026学年上学期北京初中数学九年级开学模拟考2
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A．13B．4C．5D．8
【考点】最简二次根式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】最简二次根式是指被开方数中不含有开得尽方的因数或因式，同时也不含有分母，按照定义即可判定．
【解答】解：A：13=33，所以不是最简二次根式；
B：4=2，所以不是最简二次根式；
C：5不能继续化简，所以是所以是最简二次根式；
D：8=22，所以不是最简二次根式．
故选：C．
【点评】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是把握好定义的两个要求．
2．（2分）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．3、4、5B．2、2、3C．2、1、2D．6、12、13
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】直角三角形三边的数量关系：斜边的平方等于两直角边的平方和，据此性质逐项依次判断即可解题．
【解答】解：A、32+42＝52，是直角三角形，符合题意；
B、22+22≠32，不是直角三角形，不符合题意；
C、（2）2+12≠22，不是直角三角形，不符合题意．
D、122+62≠132，不是直角三角形，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查直角三角形三边关系、勾股定理及其逆定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题根据．
3．（2分）若直线y＝kx+b经过第一、二、三象限，则函数y＝bx﹣k的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】一次函数的性质；一次函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；应用意识．
【答案】D
【分析】根据直线y＝kx+b经过第一、二、三象限，可以得到k、b的正负，然后即可得到﹣k的正负情况，再根据一次函数的性质，即可得到函数y＝bx﹣k经过哪几个象限，从而可以判断哪个选项符合题意．
【解答】解：∵直线y＝kx+b经过第一、二、三象限，
∴k＞0，b＞0，
∴﹣k＜0，
∴函数y＝bx﹣k的图象经过第一、三、四象限，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
4．（2分）如果关于x的方程x2+kx+9＝0有两个不相等的实数根，那么k的值可以为（ ）
A．6B．4C．7D．﹣6
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝k2﹣36＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意，得Δ＝k2﹣4×9＞0，
解得k＞6或k＜﹣6．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5．（2分）一鞋店试销一款女鞋，老板想了解哪些尺码的鞋最畅销，则下列关于尺码的统计量中最有参考意义的是（ ）
A．众数B．平均数C．方差D．中位数
【考点】统计量的选择；算术平均数；中位数；众数；方差．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】A
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对这个鞋店的老板来说，他最关注的是数据的众数．
【解答】解：对这个鞋店的老板来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数．
故选：A．
【点评】本题考查学生对统计量的意义的理解与运用．要求学生对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
6．（2分）如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，则根据题意可列出方程（ ）
A．5000﹣150x＝4704
B．5000﹣150x﹣x2＝4704
C．5000−155x+x22=47044
D．（100﹣x）（50﹣x）＝4704
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】由在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：（100﹣x）（50﹣x）＝4704，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（2分）如图，四边形ABCD是矩形，有一动点P从点B出发，沿B→C→D→A路线绕矩形的边匀速运动，当点P到达点A时停止运动．在点P的运动过程中，△ABP的面积S随时间t变化的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】B
【分析】分析动点P在每段路径上的运动的过程中的面积增大、减小或不变的趋势即可．
【解答】解：由题意得，当点P在点B运动到点C时，S=12AB•BP，△ABP的面积S随时间t的增大而增大；
当点P在点C运动到点D时，S=12AB⋅BC，△ABP的面积S随时间t的增大而不变；
当点P在点D运动到点A时，S=12AB⋅AP，△ABP的面积S随时间t的增大而减小；
所以在点P的运动过程中，△ABP的面积S随时间t变化的函数图象大致是选项B的图象．
故选：B．
【点评】本题为动点问题的函数图象判断题，考查学生对于动点运动过程中函数图象的变化趋势的判断．解答关键是注意动点到达临界点前后的图象变化．
8．（2分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，连接AE、DE，若△ADE≌△BDE，AC：AB：BC＝2：3：4，且△ABC的周长比△AEC的周长大6，则△AEC的周长为（ ）
A．6B．9C．12D．15
【考点】全等三角形的性质．
【专题】三角形；图形的全等；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由全等三角形的性质推出BE＝AE，由△ABC的周长比△AEC的周长大6，得到AB+BC+AC﹣（AC+CE+AE）＝AB＝6，由AC：AB：BC＝2：3：4，求出AC+BC＝（2+4）×（6÷3）＝12，即可得到△AEC的周长为AC+BC＝12．
【解答】解：∵△ADE≌△△BDE，
∴BE＝AE，
∵△ABC的周长比△AEC的周长大6，
∴AB+BC+AC﹣（AC+CE+AE）＝AB+BC+AC﹣（AC+CE+BE）＝AB+BC+AC—（AC+BC）＝AB＝6，
∵AC：AB：BC＝2：3：4，
∴AC+BC＝（2+4）×（6÷3）＝12，
∴△AEC的周长为＝AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC＝12．
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角的性质得到AE＝BE，从而推出△ABC的周长与△AEC的周长差是AB．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）已知y=x−3−3−x−2，则xy＝ 19 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】19．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x﹣3＝0，进而得出y的值，求出答案即可．
【解答】解：∵y=x−3−3−x−2，
∴x−3≥03−x≥0，
∴x﹣5＝0，
解得x＝3，
∴y＝﹣2，
故xy＝3﹣2=19．
故答案为：19．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x的值是解题关键．
10．（2分）直线y＝﹣2x+b过点（2，1），将它向下平移2个单位后所得直线的表达式是 y＝﹣2x+3 ．
【考点】一次函数图象与几何变换．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】将（2，1）代入y＝﹣2x+b，即可求得b，然后根据“上加下减”的平移规律求解即可．
【解答】解：将（2，1）代入y＝﹣2x+b，
得：1＝﹣4+b，
解得：b＝5，
∴y＝﹣2x+5，
将直线y＝﹣2x+5向下平移2个单位后所得直线的解析式是y＝﹣2x+5﹣2，即y＝﹣2x+3，
故答案为：y＝﹣2x+3．
【点评】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．
11．（2分）已知平行四边形ABCD的周长为16，AB＝5，则BC的长为 3 ．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】推理填空题；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】3．
【分析】根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，根据2（AB+BC）＝16，AB＝5，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵平行四边形ABCD的周长是16，AB＝5，
∴2（AB+BC）＝16，
∴BC＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查对平行四边形的性质的理解和掌握，能利用平行四边形的性质进行计算是解此题的关键．
12．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0的一个根是﹣1，则m＝ 2 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】把x＝﹣1代入方程x2﹣mx﹣3＝0得1+m﹣3＝0，然后解关于m的方程．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2﹣mx﹣3＝0得1+m﹣3＝0，
解得m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13．（2分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2+2x﹣1的图象先沿x轴翻折，再向下平移3个单位，所得到的新的函数图象的解析式是 y＝﹣（x+1）2﹣1（或y＝﹣x2﹣2x﹣2）． ．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】y＝﹣（x+1）2﹣1（或y＝﹣x2﹣2x﹣2）．
【分析】先将二次函数变成顶点式，再进行变换即可．
【解答】解：y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，
二次函数的图象沿x轴翻折后，
函数表达式为：y＝﹣（x+1）2+2，
再向下平移3个单位后，
函数表达式为：y＝﹣（x+1）2﹣1，
化为一般式为：y＝﹣x2﹣2x﹣2．
故答案为：y＝﹣（x+1）2﹣1（或y＝﹣x2﹣2x﹣2）．
【点评】本题考查的是二次函数图象与几何变换，掌握二次函数翻折、平移变化规律是解题的关键．
14．（2分）某校举行科技创新大赛，比赛打分包括以下几项：理论知识、创新设计、现场展示，某参赛选手本次比赛的各项成绩分别是：理论知识92分，创新设计87分，现场展示90分，若将理论知识、创新设计、现场展示依次按20%，40%，40%的比例计算选手的综合成绩，那么该选手的综合成绩是 89.2 分．
【考点】加权平均数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】89.2．
【分析】根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以求得该选手的综合成绩．
【解答】解：由题意可得，
该选手的综合成绩是：92×20%+87×40%+90×40%＝89.2（分），
故答案为：89.2．
【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
15．（2分）设矩形的一条对角线长为2cm，两条对角线组成的对顶角中，有一组是120°，则矩形的周长是 (2+23)cm ．
【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】(2+23)cm．
【分析】根据矩形性质可得：∠ABC＝90°，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AB＝CD，AD＝BC，结合AC＝BD＝2cm，从而得出OA＝OB＝1cm，再根据已知∠AOD＝120°，可得∠AOB＝60°，继而可得△AOB是等边三角形，根据其性质得出AB＝OA＝1cm，利用勾股定理求得BC，最后代入长方形周长公式即可求得结果．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AB＝CD，AD＝BC，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵AC＝BD＝2cm，
∴OA＝OB＝1cm，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝1cm，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°
.BC=AC2−AB2=22−12=3cm，
∴矩形的周长为：2AB+2BC＝2×1+2×3=(2+23)cm，
故答案为：(2+23)cm．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
16．（2分）二次函数y＝ax2的图象经过点（﹣2，8），则a的值为 2 ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】2．
【分析】将（﹣2，8）代入y＝ax2求解．
【解答】解：将（﹣2，8）代入y＝ax2得8＝4a，
解得a＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
三．解答题（共12小题，满分66分）
17．（4分）计算：12−(12)−1+(1−π)0．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的化简求值．
【专题】实数；二次根式；运算能力．
【答案】23−1．
【分析】先根据二次根式的性质，负整数指数幂和零指数幂进行计算，再算加减即可．
【解答】解：12−(12)−1+(1−π)0
＝23−2+1
＝23−1．
【点评】本题考查了负整数指数幂，二次根式的化简，零指数幂和实数的混合运算等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解此题的关键．
18．（4分）解方程：
（1）x2＝5x；
（2）x2﹣6x+8＝0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】计算题．
【答案】（1）x1＝0，x2＝5；
（2）x1＝2，x2＝4．
【分析】（1）先移项得到x2﹣5x＝0，然后利用因式分解法求解；
（2）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x2﹣5x＝0，
x（x﹣5）＝0，
x＝0或x﹣5＝0，
所以x1＝0，x2＝5；
（1）x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝2，x2＝4．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键．
19．（6分）如图，已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°．
（1）尺规作图：过点D作DE⊥BC，交BC于点E（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）若BC＝2AD，当∠C满足什么条件时，（1）中作出的四边形ABED为正方形？并证明你的结论．
【考点】作图—基本作图；正方形的判定．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）当∠C＝45°时，四边形ABED是正方形．根据邻边相等的矩形是正方形证明即可．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）当∠C＝45°时，四边形ABED是正方形．
理由：∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴AD＝BE，
∵∠C＝45°，∠DEC＝90°，
∴∠EDC＝∠C＝45°，
∴DE＝EC，
∵BC＝2AD，AD＝BE，
∴BE＝EC＝DE，
∴四边形ABED是正方形．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，正方形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x＝1是一元二次方程x2+x﹣m＝0的解，求方程的另一个解．
【考点】根的判别式；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）m＞−14；
（2）即方程的另一根为﹣2．
【分析】（1）由方程根的情况可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围；
（2）把x＝1代入方程可求得m的值，再解方程可求得另一根．
【解答】解：（1）∵方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即12+4m＞0，
解得m＞−14；
（2）把x＝1代入方程可得1+1﹣m＝0，
解得m＝2，
∴方程为x2+x﹣2＝0，
解得x＝1或x＝﹣2，
即方程的另一根为﹣2．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，一元二次方程的解，根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解答（1）题的关键；熟知一元二次方程根与系数的关系是解答（2）题的关键．
21．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数y的部分对应值如表：
（1）二次函数图象的开口方向 向上 ，m的值 5 ；
（2）点P（﹣3，y1）、Q（2，y2）在函数图象上，y1 ＞ y2（填＜、＞、＝）；
（3）当y＜0时，x的取值范围是 ﹣1＜x＜3 ；
（4）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的解为 x＝﹣2或4 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念．
【答案】（1）向上；5；
（2）＞；
（3）﹣1＜x＜3；
（4）x＝﹣2或4．
【分析】根据表格数据确定函数的对称轴，根据函数图象对称性即可求解．
【解答】解：（1）由表格可见，函数的对称轴为x＝1，对称轴右侧，y随x的增大而增大，故抛物线开口向上，
顶点坐标为（1，﹣4），根据函数的对称性m＝5；
故答案为：向上；5；
（2）从P、Q的横坐标看，点Q离函数的对称轴近，故y1＞y2；
故答案为：＞；
（3）从表格看，当y＜0时，x的取值范围是：﹣1＜x＜3，
故答案为：﹣1＜x＜3；
（4）从表格看，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的解为：x＝﹣2或4，
故答案为：x＝﹣2或4．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣kx+3的图象交于点（2，1）．
（1）求k和b的值；
（2）当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝mx+1（m≠0）的值大于y＝﹣kx+3的值，且小于y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
【考点】两条直线相交或平行问题；一次函数图象与系数的关系；待定系数法求一次函数解析式．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】（1）k＝1，b＝﹣1；
（2）m的取值范围是−13≤m≤13且m≠0．
【分析】（1）先根据直线y＝﹣kx+3点（2，1）得出k＝1，再将点（2，1）代入y＝x+b，求出b的值；
（2）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣kx+3点（2，1），
∴﹣2k+3＝1，
解得k＝1，
将点（2，1）代入y＝x+b得：2+b＝1，
解得b＝﹣1．
（2）当x＝3时，y＝﹣x+3＝0，y＝x﹣1＝2，
∵当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝mx+1（m≠0）的值大于y＝﹣kx+3的值，且小于y＝kx+b的值，
∴0≤3m+1≤2，
∴−13≤m≤13．
∴m的取值范围是−13≤m≤13且m≠0．
【点评】本题是两条直线相交或平行问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
23．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，连接DB，过点C作CE∥DB，且CE＝DB，连接BE，DE．
（1）求证：四边形BECD是菱形；
（2）连接AE，当∠ACB＝30°，AB＝2时，求AE的长．
【考点】菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线．
【专题】证明题；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）23．
【分析】（1）先证四边形BECD是平行四边形，由直角三角形的性质可证BD＝CD，即可得结论；
（2）由直角三角形的性质可得AC＝2AB＝4，证明△CDE是等边三角形，再利用勾股定理即可得结果．
【解答】（1）证明：∵CE∥BD，CE＝DB，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，D是AC中点，
∴BD＝DC，
∴四边形BECD是菱形；
（2）解：如图，连接AE，
∵∠ACB＝30°，∠ABC＝90°，AB＝2，
∴AC＝2AB＝4，
∵四边形BECD是菱形，
∴∠DCE＝60°，CD＝CE，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，CD＝DE，
∵AD＝CD，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA＝30°，
∴∠CEA＝90°，
∵CE＝CD＝2，
∴AE=AC2−CE2=42−22=23．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
24．（5分）某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段．
（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．教师评委打分：86，90，90，91，91，91，91，92，96，92；
b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组82≤x＜85，第2组85≤x＜88，第3组88≤x＜91，第4组91≤x＜94，第5组94≤x＜97，第6组97≤x≤100）；
c．评委打分的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
①m的值为 91 ，n的值位于学生评委打分数据分组的第 4 组；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余教师评委打分的平均数为 91 ；
（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制），对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是 甲 ，表中k（k为整数）的值为 92 ．
【考点】频数（率）分布直方图；加权平均数；中位数；众数；方差．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）①91；4；
②91；
（2）甲，92．
【分析】（1）①根据众数以及中位数的定义解答即可；
②根据算术平均数的定义求出其余8名教师评委打分的平均数，即可得出答案；
（2）根据方差的定义和平均数的意义求解即可．
【解答】解：（1）①由题意得，教师评委打分中91出现的次数最多，故众数m＝91．
45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故n的值位于学生评委打分数据分组的第4组；
故答案为：91；4；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余教师评委打分的平均数为：
x=18×（90+90+91+91+91+91+92+92）＝91，
故答案为：91；
（2）甲选手的平均数为15×（93+90+92+93+92）＝92，
乙选手的平均数为15×（91+92+92+92+92）＝91.8，
∵92＞91.8，
∴甲选手在乙选手的前面，
∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
∴这三位选手中排序最靠前的是甲，
∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
∴丙选手的平均数大于或等于乙选手的平均数，
∵5名专业评委给乙选手的打分为91，92，92，92，92，
乙选手的方差S2乙=15×[4×（92﹣91.8）2+（91﹣91.8）2]＝0.16，5名专业评委给丙选手的打分为90，94，90，94，k，
∴乙选手的方差小于丙选手的方差，
∴丙选手的平均数大于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，
∴93+90+92+93+92≥90+94+90+94+k＞91+92+92+92+92，
∴92≥k＞91，
∵k为整数，
∴k（k为整数）的值为92，
故答案为：甲，92．
【点评】本题考查频数分布直方图，平均数、众数、中位数、方差，理解平均数、众数、中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．
25．（6分）一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米．
（1）如图1，若把桥看作是抛物线的一部分，建立如图坐标系．
①求抛物线的解析式；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
（2）如图2，若把桥看作是圆的一部分．
①求圆的半径；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）①y=−125x2+4；②10米；
（2）①14.5米；②47米．
【分析】（1）①利用待定系数法求函数解析式即可；
②根据题意得出y＝3时，求出x的值即可；
（2）①构造直角三角形利用BW2＝BC2+CW2，求出即可；
②在Rt△WGF中，由题可知，WF＝14.5，WG＝14.5﹣1＝13.5，根据勾股定理知：GF2＝WF2﹣WG2，求出即可．
【解答】解：（1）①设抛物线解析式为：y＝ax2+c，
∵桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米，
∴A（﹣10，0），B（10，0），D（0，4），
∴100a+c=0c=4，解得：a=−125c=4，
∴抛物线解析式为：y=−125x2+4；
②∵要使高为3米的船通过，
∴y＝3，则3=−125x2+4，
解得：x＝±5，
∴EF＝10米；
答：要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过10米；
（2）①设圆半径r米，圆心为W，
∵BW2＝BC2+CW2，
∴T2＝（r﹣4）2+102，
解得：r＝14.5；即圆的半径为14.5米；
②在Rt△WGF中，由题可知，WF＝14.5米，WG＝14.5﹣1＝13.5米，
根据勾股定理知：GF2＝WF2﹣WG2，
即GF2＝14.52﹣13.52＝28，
所以GF=27米，
此时宽度EF=47米．
答：要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过47米．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、垂径定理以及勾股定理的应用等知识，利用图象上的点得出解析式是解决问题关键．
26．（6分）已知抛物线y=−14x2+x+5．
（1）求抛物线的开口方向和对称轴；
（2）当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）对称轴为直线x＝2，开口方向向下；
（2）﹣1≤x≤3时，y的取值范围是 154≤y≤6．
【分析】（1）把一般式配方成顶点式，确定开口方向和对称轴即可；
（3）当﹣1≤x≤3时，分别求y的最大值和最小值即可求得y的取值范围．
【解答】解：（1）y=−14x2+x+5
=−14（x2﹣4x+4﹣4）+5
=−14（x﹣2）2+6，
∴对称轴为直线x＝2，开口方向向下；
（2）由（1）知，抛物线y=−14（x﹣2）2+6开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，6）．
∵当x＝2时，y最大值＝6：x＝﹣1时，y=154，
∴当﹣1≤x≤3时，y的取值范围是 154≤y≤6．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握待二次函数的性质是解题的关键．
27．（6分）已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC．
（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA＝EC；
（2）若点P在线段AB上．
①如图2，连接AC，当P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；
②如图3，设AB＝m，BP＝n，当EP平分∠AEC时，求m：n的值．
【考点】四边形综合题．
【专题】三角形；图形的全等；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）①△ACE是直角三角形，理由见解答；
②2：1．
【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定定理证明△APE≌△CFE，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）①根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质解答；
②根据PE∥CF，得到PEBC=PGGB，代入m、n的值计算求出m：n．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，
∴AB＝BC，BP＝BF，
∴AP＝CF，
在△APE和△CFE中，
AP=CF∠P=∠FPE=EF，
∴△APE≌△CFE（SAS），
∴EA＝EC；
（2）①△ACE是直角三角形，
理由：
∵P为AB的中点，
∴PA＝PB，
又∵PB＝PE，
∴PA＝PE，
∴∠PAE＝45°，
又∵∠DAC＝45°，
∴∠CAE＝90°，即△ACE是直角三角形；
②∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，
∴AP＝PG＝m﹣n，BG＝m﹣（2m﹣2n）＝2n﹣m，
∵PE∥CF，
∴PEBC=PGGB，即nm=m−n2n−m，
解得，m=2n；
∴m：n=2：1；
方法二：如图，连接BE，设CE与AB交于点G，
由题易知∠ACB＝∠EBF＝45°，
∴AC∥BE，
∴S△ABC＝S△ACE，
∴12AB2=12AG•（BC+PE），
即m22=(2m−2n)(m+n)2，
整理得m=2n，
∴m：n=2：1．
【点评】本题考查的是正方形的性质、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质，掌握相关的性质定理和判定定理、正确作出辅助线是解题的关键．
28．（6分）在平面直角坐标系xOy中，Q是x轴正半轴上一点，对于四边形ABCD边上的点P和图形W（点P不在x轴上），给出如下定义：若∠POQ＝α，将图形W绕点P逆时针旋转α得到图形M，则称图形M是图形和点P的“关联图”．
如图，点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣1），D（1，﹣1）．
（1）点N1（﹣1，2），N2（2，2），N3(1，32)，N4(2，3)中，在四边形ABCD和点E（0，1）的“关联图”上的点是 N4（2，3），N2（2，2） ；
（2）已知点F(12，0)，G(t，33)．
①若线段OF关于点P的“关联图”在四边形ABCD的内部（包含边界），设点P的横坐标的最小值为m，纵坐标的最大值为n，直接写出n﹣m的值 22 ；
②当△OFG关于点P的“关联图”和△OFG都在四边形ABCD的内部（包含边界）时，锐角α的最大值是60°，请直接写出t的取值范围 −1≤t≤233−1 ．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；压轴题；新定义；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）N2，N4；
（2）①22；②−1≤t≤233−1．
【分析】（1）由题意得：α＝90°，此时正方形ABCD绕点E（0，1）逆时针旋转90°得到的关联图形M仍为正方形，A（1，1）的对应点为A1（0，2），B（﹣1，1）的对应点为B1（0，0），点C（﹣1，﹣1）的对应点C1（2，0），点D（1，﹣1）的对应点D1（2，2），即可确定；
（2）①分类讨论，分别讨论点P在正方形的四条边上，画出示意图进行分析，找出临界状态，多动点，固定变量，一个一个分析即可；
②由①可知，只有P落在CD或AD边上，OF关于点P的“关联图”才在正方形ABCD内部，要使△OFG关于点P的“关联图”和△OFG都在四边形ABCD的内部，且α的最大值为60°，故P一定会在CD上，当∠POF＝60°，此时α不能增大，即移动点G时，不能使得G′仍然落在正方形ABCD内部，则此临界状态时，G′一定落在BC上．由G(t，33)可知点G在直线y=33上运动，记为直线l，记直线l与y轴交于点M，过点P作PN⊥l，由勾股定理建立方程t2+433+13=t2−233t+53+233即可求解．
【解答】解：（1）如图，
由题意得：α＝90°，此时正方形ABCD绕点E（0，1）逆时针旋转90°得到的关联图形M仍为正方形，A（1，1）的对应点为A1（0，2），B（﹣1，1）的对应点为B1（0，0），点C（﹣1，﹣1）的对应点C1（2，0），点D（1，﹣1）的对应点D1（2，2），
∴N4（2，3），N2（2，2）在四边形ABCD和点E（0，1）的“关联图”上，
故答案为：N4（2，3），N2（2，2）；
（2）①当点P在AD上时，连接PO，DO，
∵四边形ABCD是正方形，
∴0＜α≤45°，OP≤OD=OR2+RD2=2，
∴1＜OP≤2，
当点P与点D重合时，即α＝45°，此时点O的对应点O'在CD上，且O′(1−2，−1)，如图：
随着点P在AD上运动，画图可知O′F′在正方形内部运动，直至点F′落在AD上，如图：
如图，此时∠POQ＝∠FPF′＝α，
∵∠PTF＝∠OTP，
∴△PTF∽△OTP，
∴PTOT=TFPT，
∴PT2=TO×TF=1×12=12，
∴PT=22，
∴当点P在AD上运动时，−1≤yP≤22，
当点P在AB边上时，此时45°≤α≤135°，即点P在AB两个端点处，α取得最小值和最大值，1≤OP≤OA=2，
随着α增大，作图可发现O′F′会远离AB，如图：
当点P运动到AB，点O′恰好落在点A，但此时点F′仍在正方形的外部，
∴当点P在AB边上时，线段OF关于点P的“关联图”不可能在正方形ABCD的内部；
当点P在BC边运动时，
∵135°≤α＜180°，O′F′会更加远离正方形ABCD，如图：
∴点P在BC边运动时，线段OF关于点P的“关联图”不可能在正方形ABCD的内部；
当点P在CD边上时，
∵∠OPO′＝∠POQ＝α，
∴O′P∥OF，如图：
当点P运动到CD中点时，此时O′落在点C处，F点落在点(−1，−12)处，随着点P继续接近点D，O′F′始终在正方形ABCD内，如图：
∴点P在CD边上时，0≤xP≤1，
综上所述：点P横坐标最小值为0，纵坐标最大值为n=22，
∴n−m=22，
故答案为：22；
②由①可知，只有P落在CD或AD边上，OF关于点P的“关联图”才在正方形ABCD内部，
∴要使△OFG关于点P的“关联图”和△OFG都在四边形ABCD的内部，且α的最大值为60°，
∴P一定会在CD上，
如图所示，当∠POF＝60°，此时α不能增大，即移动点G时，不能使得G′仍然落在正方形ABCD内部，则此临界状态时，G′一定落在BC上．
由G(t，33)可知点G在直线y=33上运动，记为直线l，记直线l与y轴交于点M，
过点P作PN⊥l，
∴在Rt△OMG中，由勾股定理得：GO=G′O′2=t2+(33)2=t2+13，
∵∠POQ＝α＝60°，CD∥x轴，
∴∠OPR＝60°，
∴∠ROP＝30°，
∴OP＝2PR，
设RP＝x，OP＝2x，
则在Rt△ORP中，由勾股定理得：OR=3x=1，
∴x=33，
∴OP=233，
∴CO′=CP−PO′=33+1−233=1−33，
在Rt△CG′O中，由勾股定理得：CG′2=t2+13−(1−33)2=t2+233−1，
∴在Rt△CG′P中，由勾股定理得：G′P2=t2+233−1+(1+33)2=t2+433+13，
在Rt△GNP中，GP2=(33−t)2+(1+33)2=t2−233t+53+233，
由旋转得△G′O′P≌△GOP，
∴GP＝G′P，
∴t2+433+13=t2−233t+53+233，
解得：t=233−1，
当点P落在AD上时，t＝﹣1，均可满足△G′O′F′在正方形ABCD内部，
∴综上所述：−1≤t≤233−1．
故答案为：−1≤t≤233−1．
【点评】本题考查正方形的性质，旋转变换，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等，难度很大，重点理解题意，根据旋转的不变性，进行画图分析，对分类讨论的思想要求较高．
考点卡片
1．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
2．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
3．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p=1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
4．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．a（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
5．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
6．二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
7．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
8．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
9．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
10．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
11．动点问题的函数图象
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
12．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（−bk，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
13．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
14．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
15．一次函数图象与几何变换
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
16．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
17．两条直线相交或平行问题
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
18．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a），对称轴直线x=−b2a，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜−b2a时，y随x的增大而减小；x＞−b2a时，y随x的增大而增大；x=−b2a时，y取得最小值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜−b2a时，y随x的增大而增大；x＞−b2a时，y随x的增大而减小；x=−b2a时，y取得最大值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|−b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac−b24a|个单位得到的．
19．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a）．
①抛物线是关于对称轴x=−b2a成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x1+x22．
20．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
21．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
22．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
23．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
24．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
25．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
26．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
27．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
28．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
29．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
30．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
31．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
32．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
33．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
34．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
35．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
36．频数（率）分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．
注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距×频率组距=频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．
37．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则x=1n（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
38．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
39．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
40．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
41．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2=1n[（x1−x）2+（x2−x）2+…+（xn−x）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
42．统计量的选择
（1）一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定．但这并不是绝对的，有时多数数据相对集中，整体波动水平较小，但个别数据的偏离仍可能极大地影响极差、方差或标准差的值．从而导致这些量度数值较大，因此在实际应用中应根据具体问题情景进行具体分析，选用适当的量度刻画数据的波动情况，一般来说，只有在两组数据的平均数相等或比较接近时，才用极差、方差或标准差来比较两组数据的波动大小．
（2）平均数、众数、中位数和极差、方差在描述数据时的区别：①数据的平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，极差、方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小（即波动大小）的特征数，描述了数据的离散程度．②极差和方差的不同点：极差表示一组数据波动范围的大小，一组数据极差越大，则它的波动范围越大；方差和标准差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差（或标准差）越大，数据的离散程度越大，稳定性越小；反之，则离散程度越小，稳定性越好．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
m
…
平均数
中位数
众数
教师评委
91
91
m
学生评委
90.8
n
93
评委1
评委2
评委3
评委4
评委5
甲
93
90
92
93
92
乙
91
92
92
92
92
丙
90
94
90
94
k
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
D
A
D
B
C
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0
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3
4
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中位数
众数
教师评委
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评委1
评委2
评委3
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评委5
甲
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乙
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