四川省阿坝藏族羌族自治州2024-2025学年高一下学期7月期末质量检测数学试卷

这是一份四川省阿坝藏族羌族自治州2024-2025学年高一下学期7月期末质量检测数学试卷，共11页。
数学试题
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
注意事项:
答题前, 务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用 2B 铅笔填涂对应题目的答案标号，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
考试结束后, 只将答题卡交回。
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
在复平面内，设 z=1+i（i 是虚数单位），则复数+z2 对应的点位于 A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
在V ABC
–––→
中，D 为 BC 的中点，E 为 AC 边上的点，且 AE 
1 –––→
EC ，则 E D  （）
3
1 –––→
AB 
1 –––→
AC
1 –––→
AB 
2 –––→
AC
24
 1 –––→
1 –––→
23
1 –––→
2 –––→
AB  AC
24

AB  AC
23
已知圆柱存在内切球，则该球与圆柱的体积之比为（）
4323
B． C． D．
3432
一人打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）
至多有一次中靶B．两次都中靶
C．两次都不中靶D．只有一次中靶
函数 f  x  2sin  x  π  的一个单调递增区间是（）
2 
A．π, 0

B．π, π
C． 0, π
D．0, 2π
2024 年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一，奖牌榜第二的优异成绩.首金是中国组合 黄雨婷和盛李豪在10 米气步枪混合团体赛中获得，两人在决赛中14次射击环数如图，则（ ）
盛李豪的平均射击环数超过10 .6 B．黄雨婷射击环数的第80 百分位数为10.65 C．盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差 D．黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差
下列说法正确的是（）
→→
若 a  c ，则a  c
若 →，则存在唯一实数λ使得 →
a//b
C．若，
→
a//b
→ ，则 a //c
a  λb
b//c
→
D．与非零向量 a 共线的单位向量为 a
a
2
已知底面是正方形的直四棱柱 ABCD  A1B1C1D1的外接球的表面积为 40π ，且 AB ，则 AC1与底面 ABCD 所成角的正切值为
2
A． 2B． 2
C． 3D． 4
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．下列说法正确的是（）
z  z  z 2 ， z  C
i 2024  1
若 z 1， z  C ，则
z  2
的最小值为 1
若 4  3i 是关于 x 的方程 x2  px  q  0  p, q  R  的根，则 p  8
某市高一年级举行了一次数学竞赛，从所有参加竞赛的1000 名学生中随机抽取了一部分学生，经统计这部分学生的成绩全部介于50至100 之间，将成绩数据按照
50, 60,60, 70,70,80,80, 90,90,100 分组，作出频率分布直方图如图所示，则（）
a  0.020 B．估计全市高一年级数学竞赛成绩不低于80 分的有300 人 C．估计全市高一年级数学竞赛成绩的平均分是75
D．估计全市高一年级数学竞赛成绩的中位数约为73
已知函数 f  x   Asin ωx φ A  0,ω 0, φ  π  的部分图象如图所示，下列说法正
2 
确的是（）
函数 y 
函数 y 
函数 y 

f  x 的最小正周期为 2 π
f  x 的图象关于直线 x   5π 对称
12
f  x 在 2π ,  π  单调递减
36 
该图象向右平移 π 个单位可得 y  2 s in 2 x 的图象
6
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
某英语听力测试规则如下：测试者听一段录音材料，录音材料用标准的英式英语依次朗读
4 个发音相近的英文单词，该段录音材料仅播放一遍，播放完后，测试者根据刚刚播放的录音材料确认录音材料中 4 个英文单词的先后朗读顺序，即完成一次测试.若测试者甲在一次测试中每正确答出一个英文单词的朗读顺序加 20 分，则测试者甲在一次测试中所得分数不高于 60分且至少正确答出一个英文单词朗读顺序的概率为.
已知α，β 0，π ，且csα 5 ， tanαβ   1 ，则α β .
57
在某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续 7 天每天新增感染人数不超过 5 人”，根据连续 7 天的新增病例数计算，下列各个选项中，一定符合上述指标的是(填写序号)．
①平均数 x  3 ； ②标准差 s  2 ； ③平均数 x  3 且极差小于或等于 2；
④平均数 x  3 且标准差 s  2 ； ⑤众数等于 1 且极差小于或等于 4．
四、解答题：本大题共 6 小题，共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15．学校举行了以“科幻阿坝，遇见未来”为主题的科幻知识通关赛，并随机抽取了该校 50 名同学的通关时间（单位：分钟）作为样本，发现这些同学的通关时间均位于区间40,100，
然后把样本数据分成40, 50 ， 50, 60 ， 60, 70 ， 70,80 ， 80, 90 ， 90,100 六组，经过整理绘制成频率分布直方图（如图所示）．
计算 a 的值，并估算该校同学通关时间低于 60 分钟的概率；
拟在通关时间低于60 分钟的样本数据对应的同学中随机选取2 位同学赠送科幻大会入场券，求此 2 人的通关时间均位于区间50, 60 的概率．
如图，GH 是一条东西方向的公路，现准备在点 B 的正北方向的点 A 处建一仓库，设 A B  y
千米，并在公路旁边建造边长为 x 千米的正方形无顶中转站CDEF （其中边 EF 在公路GH
上）.若从点 A 向公路和中转站分别修两条道路 AB , AC ，已知 AB  AC  1 ，且
ABC  60 .
求 y 关于 x 的函数解析式，并求出定义域；
如果中转站四周围墙的造价为 10 万元/千米，道路的造价为 30 万元/千米，问 x 取何值时，修建中转站和道路的总造价 M 最低？
已知函数 f  x  Asin ωx φ A  0,ω 0, 0 φ π 在一个周期内的图象如图所示.
求函数 f  x 的解析式；
求函数 f  x 在区间0, 2π  上的最值及对应的 x 的取值；
3 
当 x  0, π  时，写出函数 f  x 的单调递增区间.
2 
如图，在正四棱锥 P  ABCD 中，已知侧棱长为 4，底面边长等于 2， E 是 AB 的中点．
求证：平面 PAC  平面 PBD ；
求异面直线 PE 与 BC 所成角的余弦值．
已知 a,b,c 分别为V ABC
求 B ；
三个内角 A , B , C 的对边， bcsA  c 且b  1 .
–––→ –––→
若 AB  AC 
，求 1  1 的取值范围；
ac
若eO 为V ABC
的外接圆，若 PM 、PN 分别切eO 于点 M 、N ，求 PM  PN 的最小值
阿坝州 2025 春季高 2027 届期末质量检测
数学试题参考答案
​
（1）解：因为0.004  a  0.018  0.022  2  0.02810  1，所以 a  0.006 ，
由所给频率分布直方图可知，50 名同学通关时间低于钟的频率为0.004  0.00610  0.1，据此估计该校同学通关时间低于钟的概率为0 .1 .
（2）解：样本中同学通关时间位于区间50, 60 的有50  0.006  10  3 人，即为 A1, A2, A3 ，
通关时间位于区间40, 50 的有： 50  0.004 10  2 （位），即为 B1， B2，从这 5 名入样同学中随机抽取 2 人，所有可能的结果共有 10 种，
分别为A1, A2  ，A1 , A3，A1 , B1，A1, B2  ，A2 , A3，A2 , B1 ，A2 , B2  ，A3 , B1 ，
A3 , B2 ，B1, B2  ，
所抽取 2 人的通关时间均位于区间50, 60 的结果有 3 种，即A1, A2  ，A1 , A3，A2 , A3，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
A
A
C
C
A
C
D
C
ACD
ABC
BD
7
12
 π
4
③⑤
故此 2 人的通关时间均位于区间50, 60 的概率为 P  3
10
​
 0.3 ．
解：（1）由题意，在直角三角形 BCF 中，mCF  x ， ABC  60 ，
  CBF  30 ，所以 BC  2 x ，又 AB  y, AC  y 1，
在V ABC 中，由余弦定理得， ( y 1)2  y2  4x2  2y  2x cs60 ，
所以 y 
4x2  1
2( x  1)
，由2x  y 1 y 得 x  1 ，
2
∵ y0且 x  1 ，∴ x  1 ，
2
∴ y 
4 x2  1
2( x  1)
( x  1) ；
120x2  30
M
 30(2 y  1)  40x  30  40x ，其中 x  1 ，
x  1
设t  x  1 ，则t  0 ，
160t  90
t
120(t  1)2  3090
所以 M
 30  40(t  1)  160t  250  2
tt
 250  490 .
当且仅当t
 3 时等号成立，此时 x  7 ，
44
所以当 x  7 时，修建中转站和道路的总造价 M 最低.
4
​
（1）由图可知 A  2 或 A  2 ， T  1  2π  5π  π   π ，
22 ω1212 2

又 A  0 、ω 0 ，则 A  2 ，ω 2 ，
则有2   π  φ π  2kπk  Z ，解得φ 2π  2kπk  Z ，
12 2

2πfx 
3
2π 
又0φπ，则φ，故  
2 sin  2 x 
3  ；
3
（2）当 x  0, 2π  时， 2x  2π   2π , 2π ，
3 
2π 
3 3
3 
则sin  2x  3  1, 2  ，故 f  x 2,3 ，

3
即函数 f  x 在区间0, 2π  上的最大值为，
3 
此时有2x  2π  2π ，即 x  0 ；
33
函数 f  x 在区间0, 2π  上的最小值为 2 ，
3 
此时有2x  2π  3π ，即 x  5π ；
3212
当 x  0, π  时， 2x  2π   2π , 5π  ，
2 
3

33 
则当 3π  2x  2π  5π ，即 5π  x  π 时， f  x 单调递增，
233
x  0, π 
122
f x
 5ππ 
即当2  时，函数   的单调递增区间为
，  .

18．
 122 
证明：在正四棱锥 P  ABCD 中，连接 AC ， BD 交于点O ，连接 PO ，因为四棱锥 P  ABCD 为正四棱锥，所以 PO  平面 ABCD ，
因为 BD  平面 ABCD ，所以 PO  BD ．
又 AC ⊥BD ， PO ∩ AC
 O ， PO , AC  平面 PAC ，
所以 BD ⊥平面 PAC ，
因为 BD  平面 PBD ，所以平面 PBD  平面 PAC ．
连接 EO ，由（1）知， PO  平面 ABCD ，
又mOE  平面 ABCD ， PO  OE ，又mE 为 AB 的中点， EO ∥ BC ．
OE
 PEO 为异面直线 PE 与 BC 所成角，
在Rt△ PEO 中， csPEO ，
PE
15
在aPAB 中， PA  PB  4 ， AB  2 ，PE ．
又mOE  1 BC  1， 2
15
15
1
csPEO ，
15
异面直线 PE 与 BC 所成角的余弦值为 15 ．
15
19．
解：已知bcsA  c ，由正弦定理
abc 2R ，
sin Asin Bsin C
得2 R sin BcsA  2 R sin C ，又sin C  sin  A  B ，
π
所以sin BcsA  sin  A  B  sin A cs B  cs Asin B ，即sin A cs B  0 ，可得sin A  0 或cs B  0 ，因为0  A  π ， 0  B  π ，
所以sin A  0 ，则cs B  0 ，即 B  .
2
由（1）可知V ABC
–––→ –––→1
为直角三角形，若 AB  AC  ，
2
–––→ –––→–––→–––→–––→ 221
则 AB  AC 
AB  AC  cs A  AB
 c  ，
2
2
所以0  c2  1 ，即0  c ，则C  0, π  ，
4 
2
在Rt△ ABC 中， a 2  c 2
2
 b 2

 1 ， c  sin C ， a  cs C ，
所以 1  1 
ac
1
cs C
1 sin C
 sin C  cs C ，
sin C cs C
令t  sin C  cs C 
2 sin  C  π , t 1,2 ，
4 

又因为t2  (sinC csC)2 1 2sinC csC ，
t1
2 11
所以sin C cs C ，所以
2t, t  (1,2) ，
y 2t
令t 2 1
2
2, t  (1,2)
t  1
t
act 2 1
，因为t  1 在t  (1,2) 上单调递增，
t
y 2y 
所以t  1 在t  (1,2) 上单调递减，所以
t
2 2
2
2
2
 1，
所以 1  1 的取值范围为(2 2, ) .
ac
V ABC
的外接圆的半径r  OA  OC
 1 b  1 ，设 P(m,n) ，
22
则 PO 2
 m 2  n 2 ， PN 2 
PM 2 
PO 2  ON 2  m2  n2  1 ，
4
––––→ –––→––––→–––→––––→–––→
所以 PM  PN  PM  PN csMPN  PM  PN 2cs2 NPO 1，
2
PN
m2  n2  1
而cs2 NPO  4 ，
––––→ –––→
PO 2
m2  n2
m2  n2  1
PM  PN   m2  n2  1  2 4 1 ，
4 
m2  n2


––––→ –––→
t  1
令t  m 2  n 2 ，则 PM  PN   t  1  2 4 1   t  1 1 1   t  1  3
4 t4 2t 8t4



t  1 8t
 2 3 2  3 ，当且仅当t  1 ，即t 2 时取等号，
4248t4
所以 PM  PN 的最小值为 2  3 .
24