2024-2025学年上海市普陀区宜川中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市普陀区宜川中学高一（下）期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设点O是正三角形ABC的中心，则向量AO，BO，OC是( )
A. 相同的向量B. 模相等的向量C. 共线向量D. 共起点的向量
2.函数y=sinx2的单调递增区间是( )
A. [kπ−π4,kπ+π4](k∈Z)B. [kπ+π4,kπ+3π4](k∈Z)
C. [4kπ−π,4kπ+π](k∈Z)D. [4kπ+π,4kπ+3π](k∈Z)
3.若|a|=3，a在b方向上的数量投影是32，则〈a,b〉为( )
A. π6B. 2π3C. π2D. π3
4.已知函数f(x)=4sinπx,0≤x≤112f(x−1),x>1，若函数y=f2(x)+2af(x)+2−a在[0,+∞)有6个不同零点，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,−3)∪(−187,−2)B. (−∞,−187)∪(1,+∞)
C. (−3,−2)∪(1,187)D. (−∞,−2)∪(1,+∞)
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.若复数z=−1+ai(i为虚数单位)的实部和虚部相等，则实数a的值为______．
6.若AB=3a−4b，AC=5a+3b，则BC= ______．
7.函数y=sin(3x−π5)的最小正周期为______．
8.不等式x−12x+5>0的解集为______．
9.已知4a=5b=10，则1a+2b=______．
10.如果csα=−15，且α是第三象限的角，那么cs(α+π2)=______．
11.已知sin(α+π12)=35，则cs(2α+π6)=______．
12.一个人骑自行车由A地出发向东骑行了6km到达B地，由B地向南东30°方向骑行了6km到达C地，从C地向北偏东60°骑行了2 3km到达D地，则A，D两地的距离是______km．
13.已知函数f(x)= 3−axa−1(a>0)，若f(x)在区间(0,1]上是严格减函数，则实数a的取值范围是______．
14.复数z满足|z−5|=|z−1|=|z+i|，则|z|= ______．
15.已知A，B，C是半径为l的圆O上的三点，AB为圆O的直径，P为圆O内一点(含圆周)，则PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA的取值范围为______．
16.若存在实数φ，使函数f(x)=cs(ωx+φ)−12(ω>0)在x∈[π,3π]上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为______．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知z为复数，z+2i和z2−i均为实数，其中i是虚数单位．
(1)求复数z；
(2)若z1=z−+1m−1−7m+2i对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
18.(本小题14分)
已知函数y=f(x)，其中f(x)=4x+k2x(k∈R)．
(1)是否存在实数k，使函数y=f(x)是奇函数？若存在，请写出证明．
(2)当k=1时，若关于x的不等式f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围．
19.(本小题14分)
在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知b=2 3，c=2，bsinC−2csinBcsA=0．
(1)求△ABC的面积S；
(2)函数f(x)=4csx(sinxcsA+csxsinA)(x∈[0,2])，求函数f(x)的严格增区间．
20.(本小题14分)
如图，点G是△OAB重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线．
(1)设PG=λPQ，将OG用λ、OP、OQ表示；
(2)设OP=xOA，OQ=yOB，问：1x+1y是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
(3)在(2)的条件下，记△OAB与△OPQ的面积分别为S、T，求TS的取值范围．
21.(本小题14分)
若函数y=f(x)的定义域、值域均为[a,b]，则称y=f(x)为[a,b]上的方正函数；
(1)若y=12x2−x+32为区间[1,b](b>1)的方正函数，求实数b的值；
(2)是否存在实数对(a,b)，使得函数f(x)=−x1+|x|为区间[a,b](a02−7m+2