辽宁省点石联考2025届高三下学期年级3月份联合考试数学试题（含答案）

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本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置。考试结束后,将答题卡交回。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 2 B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
3. 回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、单选题 (本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题所给的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的)
1. 已知 A={−1,0,1,2},B=xlg2x∣≤1 ,则 A∩B=
A. {−1,0,1,2} B. {0,1,2} C. {−1,1,2} D. {1,2}
2. 已知 z1−2i=5i ,则 z=
A. 2 B. 2 C. 5 D. 5
3. 探究学习小组收集了 A 早餐店 2024 年前六个月包子的售卖数据,得出每个月售卖包子的个数 y (单位: 万个)与月份 xx=1,2,3,⋯,6 的经验回归方程为 y=0.1x+1.4 ,已知五月份的售卖量为 2 万个,则 x=5 时的残差为
A. -0.2 B. 0.2 C. -0.1 D. 0.1
4. 已知有穷数列 an 是等差数列,公差为 d ,前 n 项和为 Sn,a1>0 . 命题 p:∀d∈R , Snn 为等差数列; 命题 q:∃d0 的最小正周期为 T ,且 fx1=−fx2=33 , x1−x2eC 的是
A. OP=OQ 且 OQ⊥OP B. OQ=2OP
C. 2OQ=OP+OP⋅uu D. 2OQ=OP+OP⋅vv
7. 已知圆台 O1O2 的上、下底面半径分别为 r1,r2r10 . 若 fx 只有一个零点,则 a2+ b−22 的最小值为
A. 15 B. 5 C. 2 D. 2
二、多选题 (本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题所给的四个选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的待 0 分 }
9. 已知直线 l 的方向向量为 v ,平面 α 的法向量为 n ,则下列说法正确的是
A. 若 n⋅v=0 ,则 l//α
B. 若存在 λ∈R ,使得 n=λv ,则 l⊥α
C. 若 l//α ,则 l 到 α 内任意直线的距离等于 l 到 α 的距离
D. 若 l 与 α 内任意直线所成的角均相等,则 l⊥α
10. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 ,焦点 F1,0,A−1,0 ,动点 Pa,b 满足 PA==2PF ,则
A. p=2
B. 若 P 在 C 上,则 △PFA 是等腰直角三角形
C. 4a≥b2
D. P 的轨迹长度为 2π
11. 函数 fx 的定义域为 I ,若存在 a∈I 满足: fx≤2fa 对任意的 x∈I 恒成立,则称 fx 为 I 上的 La 函数,则下列说法正确的是
A. 若 fx 是 m,n 上的 La 函数,则 f−x 为 −n,−m 上的 L−a 函数
B. ∀a≥ln3,fx=ex−1ex+1 是 R 上的 La 函数
C. fx=sinωx+φ 是 R 上的 L0 函数,则 f0=12
D. 命题“ fx=a−xx2−a2x+b 是 0,+∞ 上的 La 函数”的一个必要条件为“ b≥−427 ”
三、填空题 (本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12. 某类考试报名人数为 10000 人,已知考试的成绩服从正态分布 N (300, 2500),若录取分数线为 350 分,则录取人数约为_____.(结果四舍五入取整数)
(参考数据:若 ξ 服从正态分布 Nμ,σ2 ,则 Pμ−σ≤ξ≤μ+σ≈0.6827 )
13. 已知 α∈π2,π,β∈0,π2 ,且 sinα+β=−74,tanα−β=−34 ,则 1tanα− 1tanβ 的值为_____.
14. 为积极响应教育部印发的《全国青少年学生读书行动实施方案》,鼓励学生多读书、品经典,社区举办了“图书在哪”的抽奖活动. 如图,在一个 5×5 的方格表中,按如下规则放置了一些图书,小方格中的数字表示与其有公共顶点的小方格的图书的总本数,且有数字的小方格上没有图书,其余方格内无限制,且每一个方格只能放 1 本图书. 则在所有可能的情况中,能抽中的图书数目最多为_____,所有可能的图书排列方式总数为

四、解答题 (本大题共 5 小题, 共 77 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤)
15. (13 分) 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别 a,b,c ,已知 acsC−asinC− b+2c=0.
(1) 求 A ;
(2) 设 D 是边 BC 中点,若 csC=−35 ,求 sin∠ADC .
16. (15 分) 如图,在四棱锥 P−ABCD 中,底面 ABCD 为梯形, AB//CD,PC= PD=4,AB=6,PA=32,PB=36,M 是棱 CD 上一点,且二面角 M−AP - B 为直二面角.
(1)证明: M 是 CD 中点；
( 2 )若 AM⊥PM ,且二面角 P−AD−B 的余弦值为 66 ,求 CD 的长.

17. (15 分) 已知函数 fx=ex−alnx−a,a>0 .
(1)当 a=1 时,求曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线方程；
(2) 若 fx 的极小值小于 0,求 a 的取值范围.
18. (17 分) 现有一个质地均匀的骰子, 按照下述规则从左到右依次记录字符: 抛掷骰子,点数为 1,2,3 时,记录字符 AA；点数为 4 时记录字符 B,点数为 5 时记录字符 C, 点数为 6 时记录字符 D. 继续投掷骰子, 按照相同的规则向右记录 AA, B, C, D 的字符. 例如抛掷 5 次骰子得到的点数依次是5,6,2,3,4,则记录的字符为 CDAAAAB,共 7 个字符,其中从左向右第 4 个字符为 A,第 7 个字符为 B.
(1)抛掷 3 次骰子,并记录字符. 记字符中 A 的个数为 X ,求 EX ；
(2) 抛掷 n 次骰子 n∈N∗ ,并记录字符. 记第 n 个字符为 A 的概率为 pn .
(i) 求证: pn+1+12pn 是常数列;
(ii) 求 pn 的前 n 项和.
19. (17 分) 已知椭圆 C:x24+y2=1 的左、右顶点分别为 B,A ,双曲线 E:x2a2− y2b2=1a>0,b>0 过点 A,B 且离心率为 5 .
(1) 求 E 的方程;
(2)若过点 D65,0 的直线交 C 于 M,N 两点 (异于 A,B 两点),直线 AM , AN 交 E 于 P,Q 两点 (异于点 A ),过 A 作 AH⊥PQ ,垂足为 H . 求证: 存在定点 T ,使得 TH 为定值.