湖北省汉川市第一高级中学等校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案解析）

这是一份湖北省汉川市第一高级中学等校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案解析），共40页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知，则的虚部是（ ）
2. 已知向量，，则在方向的投影向量为（ ）
3. 已知，且，则（ ）
4. 在中，设，则（ ）
5. 下列命题：
①若都是非零向量，则；
②的充要条件是且；
③为实数，若，则与共线；
④若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件．
其中，真命题的个数是（ ）
6. 在中，，则的取值范围为（ ）
7. 已知函数的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，为图象与x轴的交点，C为图象上的最高点，且，则（ ）
8. 在中，内角所对的边分别为，若D是边上的一点，且,则的最大值是（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
9. 下列说法正确的是（ ）
10. 已知向量，则下列命题正确的是（ ）
11. 在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知，点P在直线上，且，则点P的坐标是_______．
13. 先将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若，且，则的取值范围是_______．
14. 如图，在平面四边形中，点分别是线段的中点，为平面内一点，且，则_______．

四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分)
15. 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中有非常重要的地位，被推举为“数学中的天桥”．
(1)若复数，求：；
(2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中O是原点，设与所成的角为，求．
16. 在中，内角所对的边分别为，
(1)求B；
(2)若，求c．
17. 在中，，为边上一点，与相交于点P，
(1)若，求实数的值；
(2)若，，，求的余弦值．
18. 已知函数的图象的两条相邻对称轴之间的距离为，
(1)求函数在区间上的单调递减区间；
(2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围．
19. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使的点P即为费马点．已知分别为三内角的对边，，点P是的“费马点”．
(1)求角A；
(2)若，求的周长；
(3)在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数n的取值范围．
湖北省汉川市第一高级中学等校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷
整体难度：适中
考试范围：复数、平面向量、三角函数与解三角形、等式与不等式、函数与导数
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．2
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．2
A．3
B．
C．
D．
A．1
B．2
C．3
D．4
A．
B．
C．
D．
A．
B．在上有3个零点
C．在上单调递减
D．函数的图象关于直线对称
A．2
B．
C．
D．
A．若互为共轭复数，则为实数
B．对于复数，若，则
C．若是关于x的二次方程的根，则也是该方程的根
D．复数z满足，则的最大值为
A．若，则
B．若，则
C．是与共线的单位向量，则
D．取得最大值时，
A．若，且，则为直角三角形
B．若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形
C．若，则为钝角三角形
D．若，则为锐角三角形
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
较易
5
适中
11
较难
3
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
求复数的实部与虚部；共轭复数的概念及计算；复数代数形式的乘法运算
2
0.65
求投影向量；数量积的坐标表示
3
0.85
用和、差角的正切公式化简、求值
4
0.85
数量积的运算律；已知模求数量积
5
0.65
相等向量；数量积的运算律；平行向量（共线向量）；向量数乘的有关计算
6
0.65
余弦定理解三角形；基本不等式求和的最小值；向量数乘的有关计算
7
0.65
正弦函数图象的应用；由图象确定正（余）弦型函数解析式
8
0.4
三角形面积公式及其应用；用定义求向量的数量积；基本不等式求和的最小值
二、多选题
9
0.65
与复数模相关的轨迹（图形）问题；复数范围内方程的根；求复数的模；共轭复数的概念及计算
10
0.65
求含sinx(型)函数的值域和最值；由向量共线（平行）求参数；数量积的运算律；数量积的坐标表示
11
0.4
正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形；向量夹角的计算；垂直关系的向量表示
三、填空题
12
0.85
平面向量线性运算的坐标表示；由坐标解决线段平行和长度问题
13
0.65
结合三角函数的图象变换求三角函数的性质；求图象变化前（后）的解析式
14
0.65
用基底表示向量；数量积的运算律；向量加法法则的几何应用
四、解答题
15
0.65
向量夹角的计算；求复数的模；复数的乘方；复数的除法运算
16
0.85
正弦定理解三角形；余弦定理解三角形；用和、差角的正弦公式化简、求值；正弦定理边角互化的应用
17
0.65
用基底表示向量；向量夹角的计算
18
0.65
与二次函数相关的复合函数问题；求sinx型三角函数的单调性；由正弦（型）函数的周期性求值；三角恒等变换的化简问题
19
0.4
正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用；用定义求向量的数量积
序号
知识点
对应题号
1
复数
1,9,15
2
平面向量
2,4,5,6,8,10,11,12,14,15,17,19
3
三角函数与解三角形
3,6,7,8,10,11,13,16,18,19
4
等式与不等式
6,8
5
函数与导数
18