四川省眉山市2025届高三数学下学期二模试卷含解析

这是一份四川省眉山市2025届高三数学下学期二模试卷含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知全集 ， ， ，则 ( )
A. B. C. D.
2.某中学有初中生 600 名，高中生 200 名，为保障学生的身心健康，学校举办了“校园安全知识”竞赛，
现按比例分配的分层随机抽样的方法，分别抽取初中生 m 名，高中生 n 名，经统计： 名学生的平均
成绩为 74 分，其中 m 名初中生的平均成绩为 72 分，n 名高中生的平均成绩为 x 分，则 ( )
A. 74 B. 76 C. 78 D. 80
3.若向量 ，且 ，则 ( )
A. B. 8 C. D. 2
4.已知 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
5.把函数 的图象向左平移 个单位，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵
坐标不变，得到函数 的图象．若函数 在 上恰有 3 个零点，则正数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它
使用存储在电池中的电来发动.因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向.研究发现电池
的容量随放电电流的大小而改变，1898 年 Peukert 提出铅酸电池的容量 C、放电时间 t 和放电电流 I 之间关
系的经验公式： ，其中 为与蓄电池结构有关的常数 称为 Peukert 常数 ，在电池容量不变的条件
下，当放电电流为 15A 时，放电时间为 30h；当放电电流为 50A 时，放电时间为 ，则该萻电池的 Peukert
常数 约为 参考数据： ，
A. B. C. D.
7.已知抛物线 C： 的焦点为 F，动点 M 在 C 上，圆 M 的半径为 1，过点 F 的直线与圆 M 相切于
点 N，则 的最小值为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
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8.如图，在直三棱柱 中，M，N 分别为线段 ， 的中点，
，平面 平面 ，则四面体 ABMN 的外
接球的体积为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，
部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9.设 z， ， 为复数，且 ，下列命题中正确的是( )
A. 若 ，则
B. 若 ，则 最大值为 3
C. 若 ，则
D. 若 ，则 z 在复平面对应的点在一条直线上
10.我们把平面内到两个定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.在平面直角坐标系中，设定点为
， ，动点 满足 ，化简可得卡西尼卵形线
，则( )
A. 曲线 C 既是中心对称图形也是轴对称图形 B. 曲线 C 关于直线 对称
C. 曲线 C 都在圆 内 D. 曲线 C 与椭圆 没有公共点
11.已知函数 ， ，则下列说法正确的是( )
A. 当 时， 有唯一零点
B. 当 时， 是减函数
C. 若 只有一个极值点，则 或
D. 当 时，对任意实数 t，总存在实数 ， ，使得
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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12.若变量 x，y 满足 ，目标函数 取得最大值的是 6，则 的
最小值为______.
13.一道单项选择题有 4 个答案，要求学生将正确答案选择出来．某考生知道正确答案的概率为 ，在乱猜
时，4 个答案都有机会披他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是______.
14.若关于 x 的方程 有解，则实数 m 的最大值为______.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题 13 分
在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，
求 的值；
若 ，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得 存在且唯一确定，求 的面积.
条件①： ；条件②： ；条件③： 的周长为
16. 本小题 15 分
已知函数
当 时，求 在 处的切线方程；
当 时，不等式 恒成立，求 a 的取值范围.
17. 本小题 15 分
如图，在三棱锥 中， ， ， 分别是侧棱 PA，PB，PC 的中点， ， 平面
求证：平面 平面 ；
如果 ， ，求二面角 的余弦值.
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18. 本小题 17 分
已知椭圆 的离心率为 ，左右两顶点分别为 ， ，过点 作斜率为
的动直线与椭圆 E 相交于 M，N 两点.当 时，点 到直线 MN 的距离为
求椭圆 E 的标准方程；
设点 M 关于原点的对称点为 P，设直线 与直线 相交于点 Q，设直线 OQ 的斜率为 ，试探究
是否为定值，若为定值，求出定值并说明理由.
19. 本小题 17 分
已知 是定义在Ⅰ上的函数，若对任意 ， 恒成立，则称 为Ⅰ上的非负函数.
判断 是否为 上的非负函数，并说明理由.
已知 n 为正整数， 为 上的非负函数，记 a 的最大值为 ，证明：
为等差数列.
已知 且 ，函数 ，若 为 上的非负函数，证明
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答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为全集 ， ，
，
所以 或 ，
则
故选：
先分别求出集合 A，B，然后结合集合的交集及补集运算即可求解．
本题主要考查了集合的交集及补集运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解： 名学生的平均成绩为 74 分，其中 m 名初中生的平均成绩为 72 分，n 名高中生的平均
成绩为 x 分，
得 可得 ，解得
故选：
根据分层随机抽样的特点求出 m 与 n 的关系，再利用平均数的计算公式列出关于 x 的方程，进而求解 x 的
值．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：根据题意得 ，若 ，则 ，解得
故选：
根据题意，先求出 向量的坐标，然后根据两个向量垂直的条件与平面向量数量积的坐标表示，列式
求出实数 m 的值，可得答案．
本题主要考查两个向量垂直的条件、平面向量数量积的坐标等知识，考查了概念的理解能力，属于基础题．
4.【答案】B
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【解析】解： ，得 ，
由 ，得
故选：
由角的范围结合已知利用同角三角函数基本关系式可求 的值，再由拆角的方法结合两角差的正弦
函数公式求得 的值．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，考查了三角函数的求值，考查了计算能力和转化思想，
属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：函数 的图象向左平移 个单位，得到 再将得到的曲线上所有点
的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象．
由于 ，
所以 ，
故 ，解得
故正数 的取值范围是
故选：
首先利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数 的关系式，进一步利用函数图象在
上恰有 3 个零点，求出 的取值范围．
本题考查的知识要点：正弦型函数的图象和性质的应用，函数的图象的伸缩变换和平移变换，主要考查学
生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：由题意知 ，
所以 ，两边取以 10 为底的对数，得 ，
所以
故选：
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根据题意可得 ，再结合对数式与指数式的互化及换底公式即可求解．
本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：因为抛物线 C： ，
所以焦点坐标为 ，
如图所示：连接 MN，过 M 作 MQ 垂直准线 于 Q，
则在直角 中， ，
所以
，
由抛物线的定义得： ，
则由图可得 的最小值即抛物线顶点 O 到准线 的距离，
即 ，
所以
故选：
由题作图，由图可得 ，根据抛物线定义可得 等于点 M 到准线 的距离，
根据图形可得最小值情况，从而可得 的最小值．
本题考查了抛物线的定义，重点考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
8.【答案】A
【解析】解：如图，取 BN 的中点 D，连接 CD，
因为 ，所以
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
，
所以 平面 ABN，
又 平面 ABN，所以 ，
依题意 平面 ABC， 平面 ABC，
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所以 ，又 ， ， 平面 ，
所以 平面
又 BN， 平面 ，
所以 ， ，所以 ，
所以 ，
连接 ，则 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
因为 与 共斜边 AN，
所以四面体 ABMN 的外接球的球心为 AN 的中点，
且外接球半径 ，
所以该球的体积
故选：
取 BN 的中点 D，连接 CD，由等腰三角形的性质与面面垂直的性质定理证 平面 ABN，由线面垂直的
性质及判定定理证 平面 ，进而推出 ，利用勾股定理及勾股定理的逆定理等证
，从而确定四面体 ABMN 的外接球的球心与半径，利用球的体积公式求解即可．
本题主要考查了三棱锥的外接球问题，考查了线面垂直的判定定理，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：令 ， ，满足 ，但 不成立，故 A 错误；
设 ，a， ，
因为 ，则复数 z 的对应点 在以原点为圆心，1 为半径的圆上， 的几何意义为 到
的距离，其最大值为 ，故 B 正确；
令 ， ，则 ， ，
满足 ，但 ，故 C 错误；
因为 ，设 ， 对应的点为 A，B，
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若 ，则 z 在复平面内对应点到 A 和 B 的距离相等，即 z 在复平面内对应点在线段 AB 的垂
直平分线上，所以 z 在复平面对应的点在一条直线上，故 D 正确．
故选：
通过举反例判断 A 和 C；由复数的几何意义判断 B 和
本题考查复数的应用，属于中档题．
10.【答案】ACD
【解析】解：对于 A，把方程 中的 x 换为 ，y 换为 ，方程不变，所以曲线 C
的图象关于原点对称；
把方程中的 x 换为 ，y 不变，方程也不变，所以曲线 C 的图象也关于 y 轴对称；选项 A 正确；
对于 B，把方程 中的 x 与 y 互换，得 ，方程改变，
所以曲线 C 的图象不关于直线 对称，选项 B 错误；
对于 C，方程 中，由 得 ，两边平方解得 ；
设 O 为原点，则 ，
所以曲线 C 在圆 内，选项 C 正确；
对于 D，椭圆 的两个焦点分别为 和 ，
若曲线 C 与椭圆有交点 P，则 ，
所以 ，这与已知 矛盾，
所以假设不成立，即曲线 C 与椭圆无交点，选项 D 正确．
故选：
选项 A，把方程中的 x 换为 ，y 换为 ，判断曲线 C 的图象是否关于原点对称；x 换为 ，y 不变，
判断图象是否关于 y 轴对称；
选项 B，把方程中的 x 与 y 互换，判断曲线 C 的图象是否关于直线 对称；
选项 C，由 得出不等式，求得 ，设 O 为原点，判断 ，得出曲线 C 在圆
内；
选项 D，假设曲线 C 与椭圆有交点 P，得出 ， ，这
与已知矛盾，得出曲线 C 与椭圆无交点．
本题考查了圆锥曲线的定义与性质应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
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11.【答案】ABD
【解析】解：对于 A：当 时， ，
令 得 ，
又 ，
所以 ，
令 在 R 上单调递增，
， ，
所以存在 ，使得 ，
所以方程 的根为 ，
所以 有唯一零点，故 A 正确；
对于 B：因为 ， ，
所以
，
设 ，则 ，
令 ，得 ，
所以在 上 ， 单调递增，
在 上 ， 单调递减，
所以 ，
因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
又 恒成立，
所以 在 R 上恒成立，
所以 在 R 上是减函数，故 B 正确；
对于 C：当 时，由 B 选项知 ，
所以 恒成立，
即 恒成立，
所以 在 R 上单调递减，无极值点，
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反之，若 只有一个极值点， 不成立，故 C 错误；
对于 D：当 时， ，
，
所以 在 R 上单调递减，
又 时， ； 时， ，
作出函数 大致图象如下：
由图知，对 实数 t，总存在 ， ，使得 ，故 D 正确．
故选：
根据零点与方程的关系，求导分析单调性，极值，逐项分析，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由 得 ，
则直线的斜率 ，截距最大时，z 也最大．
平移直 ，由图象可知当直线 经过点 A 时，
直线 截距最大，此时 z 最大，
由 ，解得 ，
即 ，
此时 ，
即 ，
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，当且仅当 时，取等号，
故 的最小值为 ，
故答案为：
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，确定 z 取最大值点的最优解，利用基本不等式
的性质，利用数形结合即可得到结论．
本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义先求出最优解是解决本题的关键，利用基本不等式的解
法和结合数形结合是解决本题的突破点．
13.【答案】
【解析】解：记事件 考生答对 ，事件 考生知道答案 ，
由全概率公式得 ，
他答对了，则他确实知道正确答案的概率 ，
故答案为：
记事件 考生答对 ，事件 考生知道答案 ，由全概率公式得
，再结合条件概率 ，求解即可得出答案．
本题考查条件概率和概率的乘法公式，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由题意得， ，
令 ，则 ，
易知 在 R 上单调递增，所以 ，
令 ， ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
所以 ，得
故答案为：
由题意得， ，结合等式特点构造函数 ，结合导数与单调
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性关系及方程解的存在条件即可求解．
本题主要考查了导数与单调性关系及函数性质的综合应用，属于中档题．
15.【答案】解： ，则
，
；
由 得 ，由正弦定理得 ，
若选条件①：由余弦定理得 ，即 ，
又 ，解得 ，则 ，
此时 存在且唯一确定，
，则 ，
，
；
若选条件②： ，即 ，
若 C 为锐角，则 ，
由余弦定理 ，即 ，整理得 ，且 ，解得 ，则
；
若 C 为钝角，则 ，
由余弦定理得 ，即 ，整理得 ，且 ，解得
，则 ；
综上所述，此时 存在但不唯一确定，不合题意；
若条件③：由题意得 ，即 ，解得 ，则 ，
此时 存在且唯一确定，
由余弦定理得 ，
则 ， ，
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【解析】 根据三角恒等变换，求解即可得出答案；
由 得 ，若选条件①：利用余弦定理可求得 a，c，进而面积公式分析运算；若选条件②：分 C
为锐角和 C 为钝角两种情况讨论，利用余弦定理可求 a，c，结合题意分析判断；若选条件③：根据题意可
求得 a，c，利用余弦定理结合面积公式运算求解，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16.【答案】解： 当 时， ， ，
故切线的斜率 ，又 ， 切点为 ，
切线方程为 ，化简得
法 1：当 时， 恒成立，故 ，
也就是 ，即 ，
由 得 ，令 ，
则 ，
令 ，则 ，
可知 在 单调递增，则 ，即 在 恒成立，
故 在 单调递增，所以 ，故 在 恒成立，
所以 在 单调递增，而 ，所以 ，故 ，
即实数 a 的取值范围是
法 2：因为当 时， 恒成立，故 ，
由 ，
令 ，得 或 ，
①当 ，即 时， 在 上恒成立， 在 上单调递减，
， 不合题意， 合题意．
②当 ，即 时，
当 时 ，当 时 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
设 ，则 恒成立， 在 上单调递减，
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故 ，即 ，合题意．
综上， ，即实数 a 的取值范围是
法 3：因为当 时， 恒成立，也就是 ，
即 恒成立，令 ，
令 ， ， ， ， 恒成立，
在 上单调递增．
①当 ，即 时， ， 在 上单调递增， ，
合题意；
②当 ，即 时， ，
因为 ， ，
存在 ，使得 ，即 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
，不合题意．
综上， ，即实数 a 的取值范围是
【解析】 求出函数的导数后可求切线的斜率，从而可求切线方程．
法 1：利用参变分离结合导数可求参数的取值范围；
法 2：利用分类讨论求出函数的最值，根据最值的性质讨论参数的取值范围；
法 3：将不等式转化为 恒成立，令 ， 利用导数
求出函数的最值，根据最值的性质讨论参数的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于
中档题．
17.【答案】 证明：因为 ， ， 分别是侧棱 PA，PB，PC 的中点，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ， 、 平面 ，
所以 平面 ，
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因为 平面 ，
所以平面 平面
解：因为 平面 ，BC、 平面 ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 平面 ， ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
所以 ，CB， 两两垂直，
故以点 C 为坐标原点，CB， ， 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
可取 ，
因为 平面 ，
所以 为平面 的一个法向量，
所以 ， ，
由图知，二面角 为锐角，
所以二面角 的余弦值为
【解析】 易得 ，根据线面垂直的性质证明 ，再由线面垂直的判定定理证明
平面 ，然后利用面面垂直的判定定理，即可得证；
先求出 ， ，再证 ，CB， 两两垂直，然后以 C 为原点建立空间直角坐标系，利用向量
法求二面角即可．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，面面垂直的判定定理，以及利
用向量法求二面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
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18.【答案】解： 依题意可知 ，
由题意可知，直线 MN 的方程为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，则 ，
所以椭圆 E 的标准方程
设 ， ， ，直线 AB 的方程为 ，此时
联立直线与椭圆方程 ，消去 x 得 ，
则 ，
所以 ，
不妨设 ，则 ，
所以 ，
因为 ，P，Q 三点共线，则 ，即 ，
所以 ，
两式相加得， ，
所以 ，所以 ，
所以
【解析】 由已知结合椭圆的性质及点到直线的距离公式可求 a，c，再求 b，进而可求椭圆方程；
先设直线 BA 的方程，联立直线与椭圆方程，结合方程的根与系数关系及直线的斜率公式即可求解．
本题主要考查了椭圆性质在椭圆方程求解中的应用，还考查了直线与椭圆位置关系的应用，属于中档题．
19.【答案】解： 是定义在Ⅰ上的函数，若对任意 ， 恒成立，则称 为Ⅰ上的非负函
数．
是 上的非负函数，理由如下：
因为 ， ，所以
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
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则 ，故 是 上的非负函数．
由 ， ，得
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
则
因为 为 上的非负函数，所以 ，解得 ，则
因为 ，所以 为等差数列．
证明：由 ， ，得
因为 且 ，所以由 得， ，解得 ， 单调递增，
由 得， ，解得 ， 单调递减，
故
由 为 上的非负函数，得 ，则 ， ，
令 ， ，则 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，则 ，从而 在 上恒成立．
令 ，得 ，则 ，从而 在 上恒成立，
故 ，当且仅当 时，等号成
立，
所以
…
【解析】 通过求导分析函数单调性可得 ，即可判断结论．
通过分析函数单调性得 ，根据 得 ，即可证明结论．
通过分析函数单调性结合 得 ，通过构造函数，利用放缩法可证明结论．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，不等式恒成立问题，数列与不等式的应用，属于难题．
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