四川省南充市2025届高三下学期二模试题 数学 含解析

这是一份四川省南充市2025届高三下学期二模试题 数学 含解析，共21页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 如图所示为函数， 数学家波利亚说过等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解分式不等式、求二次函数的值域确定集合，再由集合的交集运算求结果.
【详解】由，
，
所以.
故选：A.
2. 已知复数，则（ ）
A. 0B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过复数的运算求出，进而根据模长公式计算即可.
【详解】 因为，
所以，所以.
故选：C.
3. 在递增的等比数列中，，，则数列的公比为（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由等比数列的性质有，易知是方程的两个根，再由已知及等比数列的通项公式求公比.
【详解】由题设，易知是方程的两个根，
又为递增的等比数列，所以，故公比.
故选：B
4. 已知的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，.则（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件，利用三角形的内角和性质，利用两角差的正弦公式求得角，进而利用正弦定理得解.
【详解】由于三角形的内角和为，即：,已知，所以：，
代入到中，得到：，
展开并化简：,即，
整理得到：，即，
根据正弦定理：,即.
故选：D.
5. 已知非零向量，满足，若，则在方向上的投影向量坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一个向量在另一个向量方向上的投影向量的公式计算.
【详解】首先，向量的坐标为(2, 0)，其模长为2，因此，
根据条件，即它们的数量积为零：
展开数量积：,即：
因此：,代入已知条件：
因此，在方向上的投影向量坐标为(2, 0)，
故选：B.
6. 若直线与曲线有公共点，则实数m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】确定曲线是半圆，作出曲线，由图形可得直线与曲线有公共点时参数范围．
【详解】由得，
因此曲线是圆的左半部分（直线左侧），

当直线过点时，，
当直线与圆相切时，，，
由图知当直线与曲线相切时，，
所以的范围是，
故选：C．
7. 已知正三棱锥底面边长为2，其内切球的表面积为，则二面角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据内切球的表面积求出内切球半径，再利用等体积法求出正三棱锥的高，最后找出二面角的平面角，进而求出其余弦值.
【详解】已知内切球表面积，则，解得.
设正棱锥的顶点在底面上的射影为，取中点，连接
.
因为正棱锥的性质，平面，，根据三垂线定理可得，所以就是二面角的平面角.
底面是边长为的正三角形，则.
设正棱锥的体积为，表面积为.
底面的面积.
侧面中，，，则侧面面积，
正棱锥的表面积.
根据等体积法，即
化简，即，.
两边平方：整理得到，即，解得（舍去）或.
在中，，，，所以.
二面角的余弦值为.
故选：A.
8. 已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数可得函数在,上的单调性及极值，作出函数的图象，由图象可得，再由对数函数的性质可得，结合，，是方程的三个根，可得，即可求得答案．
【详解】因为当时，，
所以，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，所以，
当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
作出函数的图象，如图所示：
由此可得，
当时，令，解得或，
所以，
又因为，
所以，
所以；
由题意可得，，是方程，即的三个根，
所以，
即，
所以，
即，
所以．
故选：．
【点睛】关键点点睛：关键点是画出图象，根据根的个数确定解的范围，再结合对数运算性质和对数函数，得到，即可解题.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图所示为函数（，）的部分图象，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 在区间上单调递增
C. 将的图象向右平移个单位可以得到的图象
D. 方程在上有三个根
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定的函数图象，利用五点法作图求出函数解析式，再逐项求解判断.
【详解】观察图象，得的最小正周期，解得，
由，得，而，解得，
对于A，，A正确；
对于B，当时，，当，即时，
取得最大值，因此在区间上不单调，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，当时，，由，得或，
因此方程在上有2个根，D错误.
故选：AC
10. 数学家波利亚说过：为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系.根据波利亚的思想，由恒等式（m，）左右两边展开式（其中，，）系数相同，可得恒等式，我们称之为范德蒙德恒等式，下列关于范德蒙德恒等式说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】依据范德蒙德恒等式（，，，）,适当对赋值来判断各个选项的正确性.
【详解】根据范德蒙德恒等式，而不是.
例如时，左边，右边，此时，A错误.
对于，这里.
根据范德蒙德恒等式，此时，.
所以，B正确.
对于，这里.
由范德蒙德恒等式，，.
所以，C正确.
对于，可以看作（因为）.
这里，，根据范德蒙德恒等式，而.
所以，D正确.
故选：BCD.
11. 已知抛物线的焦点为F，过x轴下方一点作抛物线C的两条切线，切点为A，B，直线PA，PB分别交x轴于M，N两点，则下列结论中正确的是（ ）
A. 当点P的坐标为时，则直线AB方程为
B. 若直线AB过点F，则四边形PMFN为矩形
C. 当时，
D. 时，面积的最大值为4
【答案】ABD
【解析】
【分析】设，，由导数的几何意义可得切线，的方程，进而可得直线的方程，把代入即可判断A；再由直线与抛物线方程联立得韦达定理，利用韦达定理即可判断B；取满足的轨迹上的特殊点即可判断C；由弦长公式得和满足的方程，再求出到直线的距离，代入三角形面积公式，结合不等式即可判断D.
【详解】方程变形为，则. 设，，
直线的方程：，即，
同理可得直线的方程：，
点在直线和上，∴，，
∴的方程为，
联立，得①，
由韦达定理得，，②.
对于选项A，当为时，，故A正确；
对于选项B，若直线过点时，，即，
，，利用韦达定理，则，
∴，同理.
由②得，，∴四边形PMFN为矩形，故B正确；
对于选项C，当时，取，方程①变为，
即得，，，故C错误；
对于选项D，当时，由弦长公式得，
即，
点到直线的距离为，，∴，
∴，当取等号，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某班从含有3名男生和2名女生的5名候选人中选出两名同学分别担任正、副班长，则至少选到1名女生的概率__________.
【答案】##0.7
【解析】
【分析】根据题意，首先分析从5人中选出2人，再分析可得若选出的2人中至少有1名女生，即包括1男1女和2女分别担任正、副班长两种情况，分别计算其情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案.
【详解】根据题意，从3名男生和2名女生中选出2名学生，有种选法，
若选出的2人中至少有1名女生，即包括1男1女和2女两种情况，
共有种选法，则选出的2人中至少有1名女生的概率为.
故答案为：．
13. 已知，为双曲线的左、右顶点，直线与双曲线C的左支相交于一点M，满足，则双曲线C的离心率的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由直线方程可得，则，所以，过作轴于点，表示出点的坐标，代入双曲线方程化简可求出离心率.
【详解】由直线，可知直线的斜率为，且过点，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
过作轴于点，
则，，，
所以点的坐标为，
因为点在双曲线上，
所以，得，
所以，所以，
所以离心率.
故答案为：
14. 若函数（其中），方程在上有解，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，将的最小值为原点到直线的距离的平方，从而求解．
【详解】令，则要，即，两式相加得，
令，则，
又因为，所以单调递增，
所以，即，
即在上有解．
，所以在上单调递增，所以要，
即，
则的最小值为原点到直线的距离的平方，即．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某公司在年终总结大会上开展了一次趣味抽奖活动.活动规则为：先在一个密闭不透光的箱子中装入6个标有一定金额的球（除标注金额不同外，其余均相同），其中标注金额为10元、20元、50元的球分别有3个、2个、1个.若员工甲每次从箱子中随机摸出1个球，记下摸出的球上的金额数，摸m次.规定：摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的抽奖奖金总金额.
（1）若，设员工甲获得的金额，求的分布列和数学期望；
（2）若，采用有放回方式摸球，设事件“员工甲获得的总金额不低于40元”，求.
【答案】（1）分布列见解析，20；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题设有的可能取值为10、20、50并求出对应概率值，即可得分布列，进而求期望；
（2）根据题设，分析事件所含的基本事件组成，再应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率.
【小问1详解】
的可能取值为10、20、50，其中，，.
故的分布列如下：
则数学期望为.
【小问2详解】
采用有放回方式摸球，
每次摸到10元的概率为，
每次摸到20元的概率为，
每次摸到50元的概率为.
事件X包含4种情况：
两次均摸到20元；
一次摸到10元，一次摸到50元；
一次摸到20元，一次摸到50元；
两次均摸到50元.
故.
16. 如图，三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均为2. 分别为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）取线段的中点为，连接，以点为坐标原点，所在的直线分别为坐标轴建立空间的直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用空间向量法求解即可.
【小问1详解】
在三棱柱中，，且，
连结，在三角形中，因为分别为的中点，
所以且，
又因为为的中点，可得，且，
即四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面.
【小问2详解】
取线段的中点为，连接，因为侧棱底面，且各棱长均相等，
所以直线两两垂直.
以点为坐标原点，所在直线分别为坐标轴建立如图所示空间的直角坐标系，
由于，则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量，则，
所以，设，则，所以，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17. 已知，函数，.
（1）若，求函数的极值；
（2）设，是的导数，是的导数，，图像的最低点坐标为，对于任意正实数，，且，恒成立.求实数m的最大值.
【答案】（1）极大值，极小值
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出时的函数解析式，再求导，利用导数可得函数的单调性，进而可得函数的极值；
（2）利用基本不等式结合已知条件可得，的值，从而可得的解析式，化简，利用导数可得其最大值，从而可得的取值范围，进而可得的最大值．
【小问1详解】
当时，，
，，
当时，，当或时，，
所以在单调递增，单调递减，单调递增.
在处取得极大值，
在处取得极小值.
【小问2详解】
由题意，得，则，
当且仅当时，等号成立.
，解得，
所以.又恒成立，
设
所以.
令，则，即，
，，
因为，
所以在上单调递减.
所以.
所以最大的实数.
18. 已知、F分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆C上，且的面积为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点的直线l与线段AF相交于S，与椭圆交于P、Q两点.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，求点P的坐标.
【答案】（1）
（2）（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）或
【解析】
【分析】（1）根据点在椭圆上及三角形面积公式求椭圆参数，即可得方程；
（2）设，，，联立椭圆方程，并写出对应韦达公式，（Ⅰ）根据，即可证；（Ⅱ）由三角形面积相等有，进而得到，再确定P为线段AF的中垂线与椭圆的交点，即可求P的坐标.
【小问1详解】
由的面积为，得，解得，所以①，
又点在椭圆C上，所以②，
联立①②解得，所以椭圆C的标准方程为.
【小问2详解】
设，，，联立方程，
消x得：，直线l与线段AF交于S点，则，
所以，，
（Ⅰ）因
，所以，
（Ⅱ）由得：，即，又.
所以，所以，则，
所以，又，
所以，所以，
所以P为线段AF的中垂线与椭圆的交点，
由，解得：或，
因此，P的坐标为或.
19. 对于无穷数列和函数，若，则称是数列的生成函数.
（1）定义在上的函数满足：对任意，都有，且；又数列满足.
（Ⅰ）求证：是数列生成函数；
（Ⅱ）求数列的前n项和.
（2）已知是数列的生成函数，且.若数列的前n项和为，求证：（，）.
【答案】（1）（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）（Ⅰ）根据条件可得，再结合生成函数定义证明；（Ⅱ）运用错位相减求和即可；
（2）根据生成函数定义，结合等比数列定义可得，数列是以为首项，为公比的等比数列，进而可得，结合等比数列求和公式即可证明.
【小问1详解】
（Ⅰ）由题意知：，，
又，，即，
所以是数列的生成函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，又，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，，
所以
两式相减得：
所以.
【小问2详解】
由题意知：，，
，
，
，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，又，
，（，），
则当时，，
即，
（，）.
【点睛】方法点睛：用错位相减法求和应注意的问题：
（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
（2）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错位对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；
（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．10
20
50
P