2024-2025学年北京109中高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年北京109中高二（下）期中数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在(x+2x)4的展开式中，常数项为( )
A. 6B. 8C. 12D. 24
2.已知直线l的一个方向向量为a=(2,1)，则过点A(1,−1)且与l垂直的直线方程为( )
A. x−2y−3=0B. x−2y+1=0C. 2x+y−3=0D. 2x+y−1=0
3.将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不同”，B=“至少出现一个3点”，则条件概率P(B|A)是( )
A. 12B. 6091C. 518D. 91216
4.已知f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处的极值为10，则a+b=( )
A. 0或−7B. −7C. 0D. 7
5.已知(1+x)n的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A. 210B. 211C. 212D. 213
6.将6本不同的书(包括1本物理书和1本历史书)平均分给甲、乙两人，其中物理书和历史书不能分给同一个人，则不同的分配种数是( )
A. 6B. 12C. 18D. 24
7.已知函数f(x)=ln(2−x)+ax在点(1,f(1))处的切线为l，若l与圆(x+2)2+y2=1相切，则a的值为( )
A. 1或 3B. 5或−2C. 1或73D. 2或43
8.若函数F(x)=aex−x2(a∈R)有两个极值点x1，x2，且x1b>0)的离心率为 32，短轴长为2，斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点，与y轴交于点E，点A关于y轴的对称点为点D，直线BD与y轴交于点G，O为坐标原点．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)求|OE|⋅|OG|的值．
20.(本小题13分)
已知函数f(x)=ex+csx．
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(Ⅱ)讨论f(x)在区间(−π,+∞)上的零点个数；
(Ⅲ)若f(m)=n，其中m>0，求证：n−m>2．
21.(本小题13分)
约数，又称因数.它的定义如下：若整数a除以整数m(m≠0)除得的商正好是整数没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数.设正整数a有k个正约数，即为a1，a2，…ak−1，ak，(a10，
所以f(x)在区间(0,+∞)上无零点；
②当−π0，sinx≤0，
所以f′(x)=ex−sinx>0，
所以f(x)在区间(−π,0]上单调递增．
又f(−π)=e−π−10，
所以f(x)在区间(−π,0]上仅有一个零点；
综上，f(x)在区间(−π,+∞)上的零点个数为1；
(Ⅲ)证明：设g(x)=f(x)−x−2(x>0)，即g(x)=ex+csx−x−2，
所以g′(x)=ex−sinx−1，
设g′(x)=ℎ(x)，则ℎ′(x)=ex−csx，
因为x>0时，ex>1，−1≤csx≤1，
所以ℎ′(x)>0，
所以ℎ(x)在区间(0,+∞)上单调递增，即g′(x)在区间(0,+∞)上单调递增，
故g′(x)>g′(0)=0，
所以g(x)在区间(0,+∞)上单调递增，
故g(x)>g(0)=0，
所以f(x)−x−2>0，
因为m>0，
所以f(m)−m−2>0，
又f(m)=n，
所以n−m>2．
21.解：(Ⅰ)存在，比如1，2，4，8，16为16的所有约数．
(Ⅱ)由题意得a1=1，ak=a，ak−1=aa2，ak−2=aa3，
∵k≥4，依题意可知a3−a2a2−a1=ak−ak−1ak−1−ak−2a3−a2a2−a1=a−aa2aa2−aa3，
化简可得(a3−a2)2=(a2−1)2a3，
因此可知a3是完全平方数，由于a2是整数a的最小非1因子，所以a3=a22，
所a2−a1，a3−a2，….ak−ak−1为a2−1，a22−a2，…，a2k−1−a2k−2，
因此a=a2k(k≥3)．
(Ⅲ)a1，a1+a2，a2+a3，…ak−1+ak不是另一个正整数的所有正约数的一个排列．
证明：假设a1，a1+a2，a2+a3…，ak−1+ak是另一个正整数b的所有正约数的一个排列．
A={a1,a2,⋯,ak}，B={a1,a1+a2,a2+a3,⋯,ak−1+ak}，
易知ai+ai+1≥3(i=1,2,⋯,k−1)，而1∈B，故a1=1，
又知2∈B，所以b是奇数．
所以a1+a2为奇数，又a2∈A，故a2是偶数，
其中A中最大的两个元素为a，a2，
显然B中每个元素都不超过a+a2=3a2，
特别地，b≤3a2，设ai=a，aj=a2，其中i，j≥2(因为a有k(k≥3)个正约数，a1=1)，
于是B中存在两个元素ai−1+ai，aj−1+aj，它们都大于a2，进而都大于b3且都是b的约数．
这表明b可以被2整除，与b为奇数矛盾，因此假设不成立．
所以a1，a1+a2，a2+a3，…ak−1+ak不是另一个正整数的所有正约数的一个排列．