2024-2025学年海南省临高县新盈中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年海南省临高县新盈中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.AB+PC+BA−QC的化简结果是( )
A. PQB. QPC. BQD. CQ
2.z=−3+4i2−i的共轭复数为( )
A. 2+iB. 2−iC. −2−iD. −2+i
3.设两个非零向量e1,e2不共线，且AB=e1+2e2，BC=2e1+7e2，CD=3(e1+e2)，则( )
A. A，C，D三点共线B. A，B，C三点共线
C. B，C，D三点共线D. A，B，D三点共线
4.已知向量a,b夹角为π3，|a|=2,|b|=1，则向量a在向量b上的投影向量为( )
A. bB. 12bC. aD. 12a
5.下列命题中，真命题为( )
A. 若两个平面α//β，a⊂α，b⊂β，则a//b
B. 若两个平面α//β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面
C. 若两个平面α//β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线
D. 若两个平面α∩β=b，a⊂α，则a与β一定相交．
6.如图，△O′A′B′表示水平放置的△OAB根据斜二测画法得到的直观图，O′A′在x′轴上，A′B′与x′轴垂直，且O′A′= 2，则△OAB的面积为( )
A. 2B. 2 2
C. 4D. 4 2
7.已知|a|=6，|b|=3，|a−b|=3 3，则=( )
A. π4B. π3C. π2D. 2π3
8.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2=c2+a2−ca，且sinA=2sinC，则△ABC的形状为( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中不正确的是( )
A. 两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同
B. 若非零向量AB与CD共线，则A、B、C、D四点共线
C. 若非零向量a与b共线，则a=b
D. 四边形ABCD是平行四边形，则必有|AB|=|CD|
10.在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BD=2DC，则下列命题正确的是( )
A. AD=13AB+23ACB. AB⋅AD=12
C. |AD|=2 2D. (AD+DC)⋅(AD−2DC)=0
11.已知复数z满足(1−i)z=4+6i，z−是z的共轭复数，则下列说法正确的是( )
A. z的虚部为5iB. 复数z−在复平面中对应的点在第三象限
C. z+26z=−2D. z>z−
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(2,0)，b=(−1, 3)，则a与a+b的夹角为______．
13.方程x2+4x+8=0在复数范围内的根为______．
14.如图，半径为4cm的半圆剪去一个以直径为底的等腰直角三角形，将剩余部分以半圆的直径为轴旋转一周，所得几何体的体积是______cm3．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知平面向量a=(−1,2)，b=(x,−3)，x∈R．
(1)若a//b，求实数x的值；
(2)若a⊥b，求实数x的值；
(3)若|c|= 5，且c⊥a，求c的坐标．
16.(本小题15分)
若复数z1=1+ai(a∈R)，复数z2=3−4i．
(1)求|z2|；
(2)若z1+z2∈R，求实数a的值；
(3)若a=2，求z1z2．
17.(本小题15分)
已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,〈a,b〉=60°．
(1)求(2a+b)⋅b的值；
(2)求向量2a+b与b的夹角θ的余弦值．
18.(本小题15分)
如图，圆锥的底面直径和高均是4，过PO的中点O′作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱．
(1)求剩余几何体的体积；
(2)求剩余几何体的表面积．
19.(本小题17分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2c=2bcsA−a．
(1)求角B；
(2)若c=2，△ABC的面积为2 3，求边b．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：∵AB+PC+BA−QC=AB+PC+(−AB)+CQ=PC+CQ=PQ；
故选：A．
利用向量加减的几何意义，直接计算即可．
本题考查向量加减混合运算的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
2.【答案】C
【解析】解：∵z=−3+4i2−i=(−3+4i)(2+i)(2−i)(2+i)=−2+i，
∴z−=−2−i．
故选：C．
根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：AB=e1+2e2，BC=2e1+7e2，CD=3(e1+e2)，
∵AC=AB+BC=3e1+9e2，CD=3(e1+e2)，
∴不存在实数λ，使得AC=λCD成立，故A错误；
∵AB=e1+2e2，AC=AB+BC=3e1+9e2，∴不存在实数λ，使得AB=λAC成立，
故B错误；
∵BC=2e1+7e2，CD=3(e1+e2)，
∴不存在实数λ，使得BC=λCD成立，故C错误；
∵AB=e1+2e2，BD=BC+CD=5e1+10e2，∴AB=15BD，故D正确．
故选：D．
根据平面向量共线定理依次判断各个选项即可．
本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由向量a,b夹角为π3，|a|=2,|b|=1，
可得向量a在向量b上的投影向量为a⋅b|b|b|b|=2×1×121×1b=b．
故选：A．
根据投影向量的定义进行计算即可．
本题考查投影向量的定义，属基础题．
5.【答案】B
【解析】解：若两个平面α/​/β，则α与β无公共点，
又a⊂α，b⊂β，则a与b无公共点，可得a/​/b或a与b异面，故AC为假命题，B为真命题；
若两个平面α∩β=b，a⊂α，则a⊂β或a/​/β或a与β相交，故D为假命题．
故选：B．
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：∵O′A′在x轴上，O′B′在y轴上，
∴OA在xx轴上，OB在y轴上，
OA=O′A′= 2，OB=2O′B′=2 2+2=4，如图，
∴S△OAB=12×OA×OB=12× 2×4=2 2．
故选：B．
利用斜二测画法的定义通过O′A′，O′B′的长确定OA，OB的长，再求出△OAB的面积．
本题考查斜二测画法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】B
【解析】解：根据题意，|a|=6，|b|=3，|a−b|=3 3，
则|a−b|2=a2+b2−2a⋅b=36+9−36cs=27，变形可得cs=12，
又由0≤≤π，则=π3，
故选：B．
根据题意，由数量积的计算公式可得|a−b|2=a2+b2−2a⋅b=36+9−36cs=27，变形可得cs的值，分析可得答案．
本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，勾股定理的逆定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
首先利用余弦定理判断B=π3，进一步利用正弦定理和勾股定理的逆定理判断出△ABC为直角三角形．
【解答】
解：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2=c2+a2−ca，
整理得：csB=a2+c2−b22ac=12，
由于B∈(0,π)，
所以B=π3，
由于sinA=2sinC，利用正弦定理：a=2c，
所以b2=a2+c2−2accsB=4c2+c2−2c2=3c2，解得b= 3c，
由于a2=b2+c2，故△ABC为直角三角形．
故选：B．
9.【答案】ABCD
【解析】解：对于A，两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同，故A错误；
对于B，非零向量AB与CD是共线，则A，B，C，D四点共线或AB与CD平行，故B错误；
对于C，若非零向量a与b共线，则a与b的方向相同或相反，零向量与任何非零向量都共线，故C错误；
对于D，若四边形ABCD是平行四边形，则必有AB=−CD，必有|AB|=|CD|故D错误；
故选：ABCD．
根据向量的相等以及向量的平行和向量的共线即可判断．
本题考查向量的相等，向量的平行，关键是掌握共线的条件，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：对于A，∵BD=2DC，∴AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC−AB)=13AB+23AC，故A正确；
对于B，AB⋅AD=AB⋅(13AB+23AC)=13AB2+23AB⋅AC=13×32=3，故B错误；
对于C，|AD|= (13AB+23AC)2= 19AB2+49AB⋅AC+49AC2= 1+4= 5，故C错误；
对于D，∵AD+DC=AC，AD−2DC=AD+DB=AB，∴(AD+DC)⋅(AD−2DC)=AC⋅AB=0，故D正确．
故选：AD．
由平面向量的线性运算和数量积、模等知识逐一判断各选项即可．
本题考查平面向量的线性运算和数量积，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：因为(1−i)z=4+6i，所以z=(4+6i)(1+i)(1−i)(1+i)=4+6i+4i+6i21−i2，
=10i−22=5i−1，所以z的虚部为5，故A错误；
而z−=−5i−1，故复数z−在复平面中对应的点在第三象限，故B正确；
z+26z=5i−1+265i−1=5i−1+26(5i+1)(5i−1)(5i+1)，
=5i−1+26(5i+1)25i2−1=5i−1+26(5i+1)−26=5i−1−5i−1=−2，故C正确；
虚数无法比较大小，故D错误．
故选：BC．
利用复数的四则运算求出复数判断A，C，利用复数与点的对应关系判断B，利用虚数的性质判断D即可．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
12.【答案】π3
【解析】解：a=(2,0)，b=(−1, 3)，
则a+b=(1, 3)，|a|=2，
故|a+b|=2，a⋅(a+b)=2+0=2，
设a与a+b的夹角为θ，θ∈[0,π]，
则csθ=a⋅(a+b)|a||a+b|=22×2=12，
故θ=π3．
故答案为：π3．
根据已知条件，结合平面向量的数量积运算，即可求解．
本题主要考查平面向量的夹角公式，属于基础题．
13.【答案】−2±2i
【解析】解：因为Δ=42−4×8=−16