2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市德强高级中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市德强高级中学高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.某公交车上有6位乘客，沿途4个车站，乘客下车的可能方式有(    )A. 64种 B. 46种 C. 24种 D. 360种2.观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断一定正确的是(    )A. 图1中y与x呈正相关B. 图2中y与x不相关C. 图3中y与x的线性相关系数小于0D. 图1中y与x的线性相关系数小于图2中y与x的线性相关系数3.无人机飞行最大距离是无人机性能的一个重要指标.普宙S2000系列是我国生产的一款民用无人机，其飞行的最大距离X(千米)服从正态分布X～N(15,σ2)，记P(X>15−σ)=a，P(15−σ0，则(    )A. 当A，B独立时，P(A|B)=P(A)B. 当A，B互斥时，P(A|B)=P(B|A)C. P(B|A)+P(B−|A)=P(A)D. P(B|A)+P(B−|A)=110.已知离散型随机变量X的分布列如下表： 则下列说法正确的是(    )A. a=0.2 B. E(X)=2 C. D(X)=2.6 D. E(2X+6)=911.抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面上的数字是1、2、3、4、5、6)，抛掷两次.设事件A：“两次向上的点数之和大于7”，事件B：“两次向上的点数之积大于20”，事件C：“两次向上的点数之和小于10”，则(    )A. 事件B与事件C互斥 B. P(AB)=572C. P(B|A)=25 D. 事件A与事件C相互独立三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.二维码的图案主要由黑、白两种小正方形组成.现对由4个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，则恰好涂成两个黑色和两个白色的概率为______．13.要把6本不同的课外书分别装到三个相同的手提袋里，一共有______种不同的装法．14.一质点落在三棱锥A−BCD的顶点A处，每次均以相同的可能性沿着某条棱移动到另一个顶点处，记事件Ei(i∈N∗)表示“该质点第i次落在顶点A”，Ei−为Ei的对立事件，则P(E3−|E6)=          ．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知(x2−1 x)n的展开式中第3项的系数与第5项的系数之比为314．(1)求n的值；(2)求展开式中的常数项．16.(本小题15分)2024年10月30日，我国神舟十九号载人飞船顺利升空，并与中国空间站成功对接.为弘扬航天精神，某大学举办了一次“逐梦星辰大海一一航天杯”知识竞赛.竞赛分为初赛和决赛，初赛规则为：每位参赛者依次回答5道题，连续答错2道题或5道题都答完，则比赛结束.假定大学生张某答对这5道题的概率依次为45,34,12,12,12，且各题是否答对互不影响．(1)若至少连续答对4道题，可得到一张直升卡，直接进入决赛，求张某得到直升卡的概率；(2)记张某初赛结束时已答题的个数为X，求X的分布列及数学期望．17.(本小题15分)为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了“消费满减乐翻天”的优惠活动，顾客消费满800元(含800元)可抽奖一次，抽奖方案有两种(顾客只能选择其中的一种)．方案1：从装有5个红球，3个蓝球(形状、大小完全相同)的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球，每摸出1次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元(即总共减650元)；方案2：从装有5个红球，3个蓝球(形状、大小完全相同)的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球，中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠．(1)顾客A选择抽奖方案2，求他能够享受优惠的概率．(2)顾客B恰好消费了800元，①若他选择抽奖方案1，求他实付金额的分布列和期望(结果精确到0.01)；②试从实付金额的期望值分析顾客B选择何种抽奖方案更合理．18.(本小题17分)一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球n(3≤n≤13)个，其余为黑球．(1)当盒中的白球数n=6时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，求P(B|A)和P(B)，并判断事件A与B是否相互独立；(2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量n？(3)若n=9，参与者从盒子中有放回的随机取m次球，若其中取到白球的个数为ξ，ξ=k(k=0,1,2,…,m)，则m为何值时，概率P(ξ=6)的值最大？19.(本小题17分)已知某商店出售商品A，根据统计分析，发现顾客对商品A的需求量相对稳定，每周内对商品A的不同需求量(单位：个)与概率的数据如下：若以商品A的库存作为供给量，为了改善经营，该商店决定每周末对商品A进行盘点存货：如果商品A都售出了，则在周末及时采购2个新的商品，只要商品A还有1个存货，就不采购新的商品.记xn为该商店第n周开始时商品A的供给量，假设X1=2．(1)求x2的分布列；(2)证φn=(P(Xn=1),P(Xn=2))为第n周开始时供给量Xn的概率向量，随着n的增大，若φn+1=φn，则φn趋向于一个定常态分布，记这个定常态分布为φ．(i)求商品A的定常态分布φ；(ii)从长远来看，求该商店改善经营后商品A需求不小于供给的概率．参考答案1.B 2.D 3.C 4.B 5.B 6.C 7.C 8.C 9.ABD 10.BC 11.AC 12.38 13.90 14.4961 15.解：(1)由题设，得Cn2(−1)2：Cn4(−1)4=314，则n(n−1)2n(n−1)(n−2)(n−3)4⋅3⋅2=314⇒4(n−2)(n−3)=114⇒n2−5n−50=0⇒n=10或n=−5(舍) (2)Tr+1=C10r(x2)10−r(−1)r(1 x)r=C10rx20−2r−12r(−1)r 当20−2r−12r=0 即当r=8时为常数项T9=C108(−1)8r=C102=45． 16.(1)用Mi(i=1,2,3,4,5)表示张某第i道题答对，用Mi−(i=1,2,3,4,5)表示张某第i道题答错，由题意得P(M1)=45，P(M2)=34，P(M3)=12，P(M4)=12，P(M5)=12，记张某得到直升卡为事件K，则P(K)=P(M1M2M3M4)+P(M1−M2M3M4M5)=45×34×12×12+15×34×12×12×12=27160，即张某得到直升卡的概率为27160；(2)由题可得X的可能取值为2，3，4，5，则P(X=2)=15×14=120，P(X=3)=45×14×12=110，P(X=4)=45×34×12×12+15×34×12×12=316，P(X=5)=1−120−110−316=5380，则X的分布列如下，所以E(X)=2×120+3×110+4×316+5×5380=35780．17.(1)若顾客A选择方案2，设事件M表示“能够享受优惠”，若顾客A选择方案2，他能够享受优惠包含两种情况：连摸三个红球，享受免单或摸出两个红球和一个蓝球，享受打五折优惠；盒中共有8颗球，不放回依次摸三个球，总情况有C83=56种；享受免单，恰从5颗红球中摸了3个球，总情况有C53=10种；恰摸出两个红球1个蓝球的情况有C52⋅C31=30种，所以P(M)=C53+C52⋅C31C83=10+3056=57．(2)①设顾客B选择抽奖方案1时实付金额为X元，从装有5个红球，3个蓝球的抽奖盒中摸一个球，摸到红球的概率为58，摸到蓝球的概率为38，当摸出0个红球时，P(X=800)=(38)3=27512，当摸出1个红球时，P(X=650)=C31×58×(38)2=135512，当摸出2个红球时，P(X=500)=C32×(58)2×38=225512，当摸出3个红球时，P(X=150)=(58)3=125512，所以实付金额的分布列为：实付金额的期望为E(X)=800×27512+650×135512+500×225512+150×125512=240600512≈469.92；②设顾客B选择抽奖方案2时实付金额为Y元，当摸出0个红球或1个红球时，P(Y=800)=C33C83+C51C32C83=27，当摸出2个红球时，P(Y=400)=C52C31C83=1528，当摸出3个红球时，P(Y=0)=C53C83=528，所以E(Y)=800×27+400×1528+0×528=2480056≈442.86，所以E(Y)f(n)，当6≤n≤12时，f(n+1)C133=f(13)，∴f(n)max=f(6)，f(n)min=f(13)，∴当n=6时，参与者获奖的可能性最大；当n=13时，参与者获奖的可能性最小．(3)若n=9，盒中有9个白球，11个黑球，则每次取到白球的概率为920，参与者从盒子中有放回的随机取m次球，若其中取到白球的个数为ξ，则ξ∼B(m,920)，∴P(ξ=k)=Cmk(920)k(1−920)m−k=Cmk(920)k(1120)m−k=Cmk9k×11m−k20m,k=0,1,2,⋯,m，若概率P(ξ=6)最大，则有P(ξ=6)≥P(ξ=7)P(ξ=6)≥P(ξ=5)⇒Cm696×11m−620m≥Cm797×11m−720mCm696×11m−620m≥Cm595×11m−520m，∴11Cm6≥9Cm59Cm6≥11Cm6⇒11(m−5)6≥99≥11(m−6)7，解得10911≤m≤12911，又m∈Z，故m=11，∴m=11时，概率P(ξ=6)的值最大．19.(1)依题意X2的可能取值为1，2，则P(X2=1)=12，P(X2=2)=1−P(X2=1)=12，所以X2的分布列如下：(2)(i)记Dn为商品A第n周内的需求量，由题意，Xn与Dn的状态有关，当n≥1时，若Dn