2024-2025学年江苏省淮安市马坝高级中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省淮安市马坝高级中学高一（下）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设i是虚数单位，则复数z=2i(1−i)的虚部是( )
A. 1B. 2C. −1D. −2
2.计算2(1+i)2的结果是( )
A. 2iB. −2iC. iD. −i
3.若向量a=( 3,1),b=(1, 3)，则a与b的夹角为( )
A. π3B. π4C. π6D. π12
4.在△ABC中，若acsB+bcsA=a，则△ABC的形状是( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等边三角形
5.与向量a=(12,5)平行的单位向量是( )
A. (1213,513)B. (−1213,−513)
C. (6,52)或(−6,−52)D. (1213,513)或(−1213,−513)
6.函数f(x)=cs2x−6csx+1的值域为( )
A. [−92,+∞)B. [−92,−4]C. [−4,8]D. [−92,8]
7.已知α∈(0,π2)，β∈(π2,π)，若sin(α+β)=−35，csβ=−513，则sinα的值为( )
A. 1665B. 3365C. 5665D. 6365
8.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若ac=8，sinB+2sinCcsA=0，则△ABC面积的最大值为( )
A. 1B. 3C. 2D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在△ABC中，已知a=6，b=3 2，B=30°，则角A的值可能为( )
A. 45°B. 60°C. 135°D. 150°
10.已知复数z=21+ 3i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的有( )
A. 复数z的共轭复数的模为1
B. 复数z在复平面内对应的点在第四象限
C. 复数z是方程x2+x+1=0的解
D. 复数ω满足|ω−z|=1，则|ω|的最大值为2
11.已知锐角三角形ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且C=π3，c=2，则下列结论正确的是( )
A. acsB+bcsA=2B. b的取值范围为[23 3,43 3]
C. △ABC的周长最小值为6D. ba的取值范围为(12,2)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(3,−1)，b=(x,2)，若a与b共线，则实数x=______．
13.如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC的直观图，其中O′B′=O′C′=2，则三角形A′B′C′的面积为______．
14.已知−π43．
16.解：(1)向量a=(1,−2)，b=(−3,4)，
则a−b=(4,−6)，
∴|a−b|= 42+(−6)2=2 13；
(2)a+b=(−2,2)，∴(a+b)⋅(a−b)=−2×4+2×(−6)=−20，
|a+b|= (−2)2+22=2 2，
∴向量a+b与a−b夹角的余弦值为
cs=(a+b)⋅(a+b)|a+b|×|a−b|=−202 2×2 13=−5 2626．
17.解：(1)因为sinθ+csθ=13，
所以(sinθ+csθ)2=19，
所以1+2sinθcsθ=19，
所以sinθcsθ=−49．
(2)因为θ∈(0,π)，sinθcsθ=−49，
所以sinθ>0，csθ0．
所以(sinθ−csθ)2=1−2sinθcsθ=1+89=179，
所以sinθ−csθ= 173．
(3)因为sinθ+csθ=13，sinθ−csθ= 173，
所以sinθ=16+ 176，csθ=16− 176，
所以tanθ=−9+ 178．
18.解：(1)根据题意，AC⋅AB=bccsA=−4…①，
结合S△ABC=12bcsinA=2 3，即bcsinA=4 3…②，
①②两式相除，可得sinAcsA=− 3，
即tanA=− 3，结合A∈(0,π)，可得A=2π3．
(2)由(1)可得bc=−4csA=8，结合AC=b=2，得c=4，
由余弦定理，得a2=b2+c2−2bccs2π3=4+16−2×2×4×(−12)=28．
所以a= 28=2 7，即BC=2 7．
(3)因为a=2 7，b=2，c=4，所以csC=a2+b2−c22ab=2 77．
结合C∈(0,π)，可知sinC= 1−cs2C= 217．
所以sin2C=2sinCcsC=4 37，cs2C=cs2C−sin2C=17．
可得sin(A+2C)=sinAcs2C+csAsin2C= 32×17−12×4 37=−3 314．
19.解：(1)因为a=(−1,2 3)，b=(sin2x−cs2x,sinxcsx)，
所以f(x)=a⋅b=cs2x−sin2x+2 3sinxcsx=cs2x+ 3sin2x=2sin(2x+π6)，
即函数的解析式为f(x)=2sin(2x+π6)，
对称中心的横坐标满足2x+π6=kπ，k∈Z，
解得x=−π12+kπ2，k∈Z，
所以函数的对称中心(−π12+kπ2,0)，k∈Z；
(2)f(π12+α2)=2sin[2(π12+α2)+π6]=2sin(α+π3)=−2 33，
所以sin(α+π3)=− 33，
所以csα+cs(α−π3)=csα+csαcsπ3+sinαsinπ3=32csα+ 32sinα= 3sin(α+π3)= 3×(− 33)=−1；
(3)若b= 3，f(B)=1，
即2sin(2B+π6)=1，
可得sin(2B+π6)=12，B∈(0,π)，
所以2B+π6=5π6，解得B=π3，
由正弦定理可得：asinA=bsinB=csinC，
所以a=2sinA，c=2sinC=2sin(π3+A)，
所以a+c=2sinA+2sin(π3+A)=3sinA+ 3csA=2 3sin(A+π6)，
而在锐角三角形中，0