2024-2025学年上海市浦东新区高桥中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市浦东新区高桥中学高二（下）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设x，y∈R，向量a=(x,2,2)，b=(2,y,2)，c=(3,−6,3)，且a⊥c，b/​/c，则x+y=( )
A. −8B. −2C. 2D. 8
2.若P(A)=23，P(B−)=23，则P(A∩B)=29是事件A与事件B相互独立的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是( )
A. a+ca+b+cB. aa+bC. ba+bD. b+ca+b+c
4.一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为2π3的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是( )
A. 2πB. 23πC. 2 23πD. 23π
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.已知P(AB)=310，P(A)=35，那么P(B|A)= ______．
6.平面α经过点B(1,0,0)，且α的法向量n=(1,1,1)，则P(1,2,3)到平面α的距离为______．
7.棱长为2的正方体外接球的表面积是______．
8.已知事件A、B互斥，且事件A发生的概率P(A)=15，事件B发生的概率P(B)=13，则事件A、B至少有一个发生的概率为______．
9.在5名男生和4名女生中选出3人，至少有一名男生的概率为______．
10.设袋中有大小质地相同的8个红球，2个白球，现从袋中任取4个球，若X表示摸出的红球个数，则E(X)=______.(用小数作答)
11.已知随机变量X的分布为P(x=k)=13，k=1，2，3，则D(X)= ______．
12.7个人站成一排，若甲和乙不能相邻排列，则不同的排法有______种.
13.已知A2n3=20An2，则正整数n= ______．
14.若(2x−1)8=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8，则(a0+a2+⋯+a8)2−(a1+a3+⋯+a7)2= ______．
15.某车队有7辆车，现在要调出4辆，再按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加而且甲车在乙车前开出，那么不同的调度方案有______种．(用数字作答)
16.如图，已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，|AA1|=3，|BD|=4，且AB1⋅BC−AD1⋅DC=2，则异面直线AA1与BD的夹角为______．
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知在(x x−1x3)9的展开式中，
(1)求常数项；
(2)求二项式系数最大的项．
18.(本小题8分)
班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单．
(1)3个唱歌节目要排在一起，有多少种排法？
(2)魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？
19.(本小题10分)
如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点．
(1)求异面直线AE与A1C所成的角的大小；
(2)若G为C1C中点，求二面角C−AG−E的正切值．
20.(本小题12分)
陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成(如图).已知一木制陀螺模型内接于一表面积为16πcm2的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点S在该球的球面上．
(1)若圆柱的高为2cm，求该陀螺的体积及表面积；
(2)规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面DC距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大，此时陀螺的高是多少呢？
21.(本小题14分)
为迎接“五一小长假”的到来，某商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中，红球2个，白球3个，黄球5个，顾客从箱子中依次不放回地摸出2个球，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖.将顾客摸出的2个球的颜色分成以下四种情况：A：1个红球1个白球，B：2个红球，C：2个白球，D：至少一个黄球.若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖．
(1)求顾客在某次抽奖中，第二个球摸到为红球的概率；
(2)求顾客分别获一、二、三等奖时对应的概率；
(3)若三名顾客每人抽奖一次，且彼此是否中奖相互独立.记中奖的人数为X，求X的分布列和期望．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：因为a⊥c，a=(x,2,2)，c=(3,−6,3)，
所以a⋅c=3x−12+6=0，解得x=2，
由b/​/c可知，23=y−6=23，解得y=−4，所以x+y=−2．
故选：B．
根据空间向量垂直、平行的坐标运算即可求解．
本题主要考查空间向量垂直、平行的性质，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由P(B−)=23，得P(B)=1−P(B−)=13，可得P(A∩B)=29=23×13=P(A)P(B)，即事件A与事件B相互独立，
反之，若事件A与事件B相互独立，则P(A∩B)=P(A)P(B)=23×13=29．
因此，“P(A∩B)=29”是“事件A与事件B相互独立”的充要条件．
故选：C．
根据给定条件求出P(B)，再利用相互独立事件的定义，结合充分条件、必要条件的定义判断，即可得到本题的答案．
本题主要考查事件的独立性、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：设事件A=“第一次抽出的是红球”，事件B=“第二次抽出的是红球”，
则B=AB+A−B，
由全概率公式P(B)=P(A)P(B|A)+P(A−)P(B|A−)，
由题意P(A)=aa+b，P(B|A)=a+ca+b+c，P(A−)=ba+b，P(B|A−)=aa+b+c，
所以P(B)=a(a+c)(a+b)(a+b+c)+ab(a+b)(a+b+c)=aa+b．
故选：B．
根据条件概率以及全概率公式即可求解．
本题主要考查了条件概率以及全概率公式，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为2π3的扇形，
由题意得，扇形的弧长l=3×2π3=2π，
所以该圆锥的底面圆的半径r=l2π=1，
所以该圆锥的高ℎ= 32−r2=2 2．
设该圆锥内的球的最大半径为R，圆锥的轴截面如图所示：
则依题意得S△ABC=12×2×2 2=12×(3+3+2)×R，
所以R= 22，
所以该球的体积V的最大值是43πR3=43( 22)3π= 23π．
故选：D．
根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，由三角形面积公式即可求解内切球半径，进而由球的体积公式求出答案．
本题主要考查了球的体积的求解，属于中档题．
5.【答案】12
【解析】解：∵P(AB)=310，P(A)=35，
∴P(B|A)=P(AB)P(A)=31035=12．
故答案为：12．
直接利用P(B|A)=P(AB)P(A)，可得结论．
本题考查二项分布中的条件概率，直接利用公式求解即可，属于基础题．
6.【答案】5 33
【解析】解：因为平面α经过点B(1,0,0)，P(1,2,3)，
所以BP=(0,2,3)，
又平面α的法向量为n=(1,1,1)，
所以点P(1,2,3)到平面α的距离d=|BP⋅n||n|=5 3=5 33．
故答案为：5 33．
求出BP，则点P到平面α的距离d=|BP⋅n||n|．
本题考查点到平面距离的求法，属基础题．
7.【答案】12π
【解析】解：正方体的对角线的长度，就是它的外接球的直径，
所以，球的直径为：2 3，半径为： 3
球的表面积为：4πr2=12π
故答案为：12π
直接求出正方体的对角线的长度，就是它的外接球的直径，求出半径即可求出球的体积，
本题考查球的体积和表面积，考查球的内接体问题，考查空间想象能力，是基础题．
8.【答案】815
【解析】解：事件A、B互斥，且事件A发生的概率P(A)=15，事件B发生的概率P(B)=13，
事件A、B至少有一个发生表示为A∪B，
则由互斥事件的概率加法公式得：
事件A、B至少有一个发生的概率为：
P(A∪B)=P(A)+P(B)=15+13=815．
故答案为：815．
利用互斥事件的概率加法公式可求得结果．
本题考查互斥事件的概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】2021
【解析】解：选出的3人都是女生的概率p=C43C93=484=121．
所以至少有一名男生的概率为1−p=2021．
故答案为：2021．
先计算全是女生的概率，再直接由对立事件概率性质得到至少有一名男生的概率．
本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
10.【答案】3.2
【解析】解：因为袋中有大小质地相同的8个红球，2个白球，现从袋中任取4个球，X表示摸出的红球个数，
所以X服从超几何分布，且N=10，M=8，n=4，
故E(X)=n×MN=4×810=165．
故答案为：3.2．
根据超几何的期望公式即可求解．
本题主要考查了超几何分布的期望公式，属于基础题．
11.【答案】23
【解析】解：根据期望公式可得E(X)=1×13+2×13+3×13=2，
进而得到方差公式为D(X)=(1−2)2×13+(2−2)2×13+(3−2)2×13=23．
故答案为：23．
根据给定的分布列，利用期望、方差的定义求解．
本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，属于基础题．
12.【答案】3600
【解析】解：先将除甲乙外的5个人全排列，有A55种排法，
再将甲和乙插入六个空挡中，有A62种方式，
则符合题意的不同排法有A55A62=120×30=3600种．
故答案为：3600．
根据题意利用插空法计算即可．
本题考查简单的排列问题，考查运算求解能力，属于基础题．
13.【答案】3
【解析】解：由题意A2n3=20An2，
可得2n(2n−1)(2n−2)=20n(n−1)，n∈N∗⇒2n−1=5⇒n=3．
故答案为：3．
直接利用排列数公式求解即可．
本题考查了排列数公式，是基础题．
14.【答案】6561
【解析】解：令x=1可得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=1，
令x=−1可得a0−a1+a2−a3+a4−a5+a6−a7+a8=38，
所以(a0+a2+⋯+a8)2−(a1+a3+⋯+a7)2
=(a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8)(a0−a1+a2−a3+a4−a5+a6−a7+a8)
=1×38=6561．
故答案为：6561．
令x=1可得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，令x=−1可得a0−a1+a2−a3+a4−a5+a6−a7+a8，再由平方差公式计算可得．
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
15.【答案】120
【解析】解：由题意知，本题是一个计数原理的应用，
当甲车排第①个时，乙车可排2、3、4号，有3种选择；
当甲车排第②个时，乙车可排3、4号，有2种选择；
当甲车排第③个时，乙车只可排4号，只有1种选择；
除甲、乙两车外，在其余5辆车中任意选取2辆按顺序排列，有A52种选法；
因此共有：(3+2+1)A52=120种不同的调度方案．
故答案为：120
本题是一个计数原理的应用，当甲车排第①个时，乙车可排2、3、4号；当甲车排第②个时，乙车可排3、4号；当甲车排第③个时，乙车只可排4号；除甲、乙两车外，在其余5辆车中任意选取2辆按顺序排列，根据加法和乘法原理得到结果．
本题考查分类计数和分步计数，是一个计数原理的综合应用，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步．
16.【答案】arccs16
【解析】解：四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，
AB1=AB+AA1,AD1=AD+AA1，
因为AB1⋅BC−AD1⋅DC=2，
即(AB+AA1)⋅BC−(AD+AA1)⋅DC=2，
整理可得：AB⋅BC+AA1⋅BC−AD⋅DC−AA1⋅DC=2，而AB⋅BC=AD⋅DC，
则AA1⋅BC−AA1⋅DC=2，
所以AA1⋅BD=AA1⋅(AD−AB)=AA1⋅AD−AA1⋅AB=AA1⋅BC−AA1⋅DC=2，
而|AA1|=3，|BD|=4，
因此cs〈AA1,BD〉=AA1⋅BD|AA1||BD|=23×4=16，
所以异面直线AA1与BD的夹角的余弦值为16．
所以异面直线AA1与BD的夹角为arccs16．
故答案为：arccs16．
将AB1,AD1用不共面的向量AB,AA1,AD表示出来，从而得到AA1⋅BC−AA1⋅DC=2，然后由公式计算夹角余弦值即可．
本题考查用向量的方法求异面直线所成的角的求法，属于中档题．
17.【答案】−84；
T5=126x−92和T6=−126⋅x−9．
【解析】(1)(x x−1x3)9的展开式的通项Tr+1=C9r(x32)9−r⋅(−x−3)r=C9r(−1)r⋅x27−9r2，
令27−9r2=0，可得r=3，∴常数项T4=C93(−1)3=−84；
(2)T5=C94(−1)4⋅x−92=126x−92，T6=C95(−1)5⋅x−9=−126⋅x−9，
∴二项式系数最大的项T5=126x−92和T6=−126⋅x−9．
(1)根据二项式展开式的通项特征，即可求解，
(2)根据二项式系数的单调性，即可求解．
本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．
18.【答案】144；
600．
【解析】(1)3个唱歌节目要排在一起，有A33⋅A43=144种排法；
(2)魔术节目不排在最后一个节目，有C51⋅A55=600种排法．
(1)结合相邻问题捆绑法求解即可；
(2)结合分步乘法计数原理求解即可．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，属中档题．
19.【答案】π3；
5．
【解析】(1)取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，则AE//A1E1，
∴∠E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角．
设AC=AB=AA1=2，则由∠BAC=90°，
可得A1E1=AE= 2，A1C=2 2，E1C1=EC=12BC= 2，
∴E1C= E1C12+C1C2= 6．
∵在△E1A1C中，cs∠E1A1C=2+8−62× 2×2 2=12，
∴异面直线AE与A1C所成的角为π3；
(2)连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，
则EP⊥AC，
又∵平面ABC⊥平面ACC1A1，∴EP⊥平面ACC1A1，而PQ⊥AG，则EQ⊥AG．
∴∠PQE是二面角C−AG−E的平面角．
由EP=1，AP=1，PQ=1 5，得tan∠PQE=PEPQ= 5．
∴二面角C−AG−E的平面角正切值是 5．
(1)取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，根据异面直线夹角定义可得，∠E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角，设AC=AB=AA1=2，解三角形可得答案；
(2)连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC，由直三棱锥的侧面与底面垂直，结合面面垂直的性质定理，可得EP⊥平面ACC1A1，再由二面角的定义可得∠PQE是二面角C−AG−E的平面角，求解三角形得答案．
本题考查异面直线的夹角与二面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】陀螺体积、表面积分别为7πcm3，(6 3+3)πcm2；
(2+ 2)cm．
【解析】解：(1)令陀螺外接球半径为R，则4πR2=16π，可得R=2cm，
由题意陀螺模型内接于一表面积为16πcm2的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，
可得圆柱的矩形轴截面对角线长为2R=4cm，又圆柱的高为2cm，
所以圆柱底面直径2r=2 4−1=2 3，则底面半径r= 3，
综上，圆锥的高为R−1=1cm，母线长为 3+1=2cm，
所以陀螺的体积为2×3π+13×3π×1=7πcm3，
陀螺表面积为2×2 3π+3π+12×2 3π×2=(6 3+3)πcm2；
(2)令圆柱的高为ℎcm，由(1)知陀螺外接球半径R=2cm，
所以圆柱底面直径为2r= 16−ℎ2cm，圆锥的高为R−ℎ2=2−ℎ2cm，
所以陀螺的高为2−ℎ2+ℎ=2+ℎ2cm，
由圆柱体侧面积S=2πrℎ=π ℎ2(16−ℎ2)≤π×ℎ2+16−ℎ22=8πcm2，
当且仅当ℎ=2 2cm时取等号，
所以陀螺的高是(2+ 2)cm时，圆柱体侧面积最大．
(1)根据题意求得外接球半径R=2cm，进而可求得底面半径r= 3，再应用圆锥、圆柱体积、表面积公式求结果；
(2)令圆柱的高为ℎcm，有陀螺的高为2+ℎ2cm，应用圆柱体体积公式、基本不等式求侧面积最大值，确定取值条件，即可得结果．
本题考查了圆柱、圆锥的侧面积和体积，是中档题．
21.【答案】解：(1)设顾客第i次摸到红球为Ei(i=1,2)，
则P(E2)=P(E1E2)+P(E1−E2)=210×19+810×29=15；
(2)由题意知，P(A)=C21C31C102=645=215，P(B)=C22C102=145，
P(C)=C32C102=345=115，P(D)=1−P(A)−P(B)−P(C)=79，
因此，顾客分别获一、二、三等奖的概率分别为145、115、215；
(3)由(2)可知，顾客抽奖一次获奖的概率为P=145+115+215=29，
则X∼B(3,29)，
所以P(X=0)=C30(29)0(79)3=343729，P(X=1)=C31(29)1(79)2=294729，
P(X=2)=C32(29)2(79)1=84729，P(X=3)=C33(29)3(79)0=8729，
则X分布列为：
所以E(X)=3×29=23．
【解析】(1)根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得；
(2)根据古典概型的概率公式及组合数公式计算可得；
(3)由(2)可知，顾客抽奖一次获奖的概率为P=29，则X∼B(3,29)，利用二项分布的概率公式求出分布列与数学期望．
本题考查二项分布的概率分布列与期望的求解，属中档题．X
0
1
2
3
P
343729
294729
84729
8729