2024-2025学年上海市浦东新区新川中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市浦东新区新川中学高二（下）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有100名志愿者服用此药.结果：体重减轻的人数为59人，体重不变的
21人，体重增加的20人.如果另外有一人服用此药.请你估计这个人体重减轻的概率为( )
A. 59100B. 21100C. 15D. 45
2.在一次男子10米气手枪射击比赛中，甲运动员的成绩(单位：环)为7.5、7.8、…、10.9；乙运动员的成绩为8.3、8.4、…、10.1，如下茎叶图所示.从这组数据来看，下列说法正确的是( )
A. 甲的平均成绩和乙一样，且甲更稳定
B. 甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定
C. 甲的平均成绩高于乙，且甲更稳定
D. 乙的平均成绩高于甲，且乙更稳定
3.已知事件A与B相互独立，P(A)=0.3，P(B)=0.4，则P(A∪B)=( )
A. 0.58B. 0.12C. 0.7D. 0.88
4.某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件M：该家庭中有男孩、又有女孩，事件N：该家庭中最多有一个女孩.有以下两个命题：①若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥；②若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立.则：( )
A. ①②均为真命题B. ①为真命题，②为假命题
C. ①为假命题，②为真命题D. ①②均为假命题
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.一组样本数据1，2，2，3，3，4，4，4，4，5，则该组数据的中位数和众数之和为______．
6.若C19m=C192m−2，则m的值为______．
7.(x−1x)6的展开式中的常数项是：______.(请用数字作答)
8.某次期中考试随机抽取了12名同学的数学成绩作为样本，分别是53，59，61，62，67，75，77，80，82，86，90，93.则这组数据的60百分位数为______．
9.一个袋子中装有大小与质地均相同的红色和黄色小球共5个，小明每次从中抽取一个观察颜色后并放回，进行100次后统计发现，红色小球出现了58次，黄色小球出现了42次，则袋中红球最有可能有______个.
10.设某产品的一个部件来自三个供应商，这三个供应商的良品率分别是0.92，0.95，0.94，若这三个供应商的供货比例为3：2：1，那么这个部件的总体良品率是 (用分数作答)．
11.省农科站要检测某品牌种子的发芽率，计划采用随机数表法从该品牌800粒种子中抽取60粒进行检测，现将这800粒种子编号如下001，002，…，800，若从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，则所抽取的第4粒种子的编号是______.(如下是随机数表第8行至第9行)
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
12.已知书架的第一层随机摆放了1本语文书，2本不同的数学书，3本不同的英语书.现从中抽取2本书，则在已经确定第一本抽取的是语文书的条件下，第二本抽取的是数学书的概率为______．
13.目前，全国所有省份已经开始了新高考改革.改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成.已知某班甲、乙同学都选了物理和地理科目，且甲同学的另一科目会从化学、生物、政治这3科中选1科，乙同学的另一科目会从化学、生物这2科中选1科，则甲、乙所选科目相同的概率是______．
14.运动员在平时训练时通常会将自己的训练成绩记录下来，以此评估自己的训练成果.小明记录了他在2月份的8次训练成绩和3月份的12次训练成绩.通过计算，他发现2月份的训练成绩平均值为72，方差为4.2；3月份的训练成绩平均值为75，方差为6.1.则他在这两个月的20次训练的方差为______．
15.第33届夏季奥运会在法国巴黎举办，这届奥运会将新增霹雳舞、滑板、攀岩、冲浪四个比赛项目及两个表演项目.现有三个场地A，B，C分别承担这6个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，其中两个表演项目不在一个场地举办，则不同的安排方法有______种.
16.某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球.已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是12，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为13,23，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为35,25，记第n(n≥1,n∈N)次按下按钮后出现红球的概率为Pn，则P5= ______.(精确到0.001)
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
一种装有12颗巧克力的礼盒里有草莓和香草两个口味，其中草莓味的有4颗，现从中随机取出3颗，若取出不放回．
(1)求全是草莓味的概率；
(2)至少有一颗是草莓味的概率．
18.(本小题10分)
已知二项式(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)若(1+2x)n=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+an(x+2)n，求a1+a2+…an的值．
19.(本小题10分)
峨眉山地理位置优越，风景独特魅力，是中国佛教名山之一，是我国最著名的山岳风景区之一，为更好地提升旅游品质，风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分(满分100分)，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求x的值；
(2)计算这100名游客对景区满意度评分的平均数；
(3)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在[50,60)，[60,70)的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在[50,60)和[60,70)内各1人的概率．
20.(本小题11分)
设某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一批彩电．
(1)假设100台彩电中有10台次品，现采用不放回抽样从中依次抽取3次，每次抽1台，求第3次才抽到合格品的概率；
(2)若甲、乙、丙3个车间的产量依次占全厂的45%、35%、20%，且各车间的次品率分别为4%、2%、5%，.现从一批产品中检查出1个次品，求该次品来自甲、乙、丙车间的概率分别是多少？
21.(本小题13分)
杭州2022年第19届亚运会(Tℎe19tℎAsianGamesHangzℎu2022)将于2023年9月23日至10月8日举办.本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目.同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设了霹雳舞、电子竞技两个竞赛项目.与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军.双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组.之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军.双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为A，B，C，D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为12.最初分组时AB同组，CD同组．

(1)若p=34，在淘汰赛赛制下，A，C获得冠军的概率分别为多少？
(2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率(用p表示)，并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：结合题意100中体重减轻的人数为59人，
则另外有一人服用此药，其体重减轻的概率P=59100．
故选：A．
根据古典概型的概率公式计算即可．
本题考查了古典概型的概率计算，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：甲的平均值为：7.5+7.8+8.7+8.7+8.9+9.4+9.6+10.3+10.4+10.910=9.22，
甲的方差为：(7.5−9.22)2+(7.8−9.22)2+…+(10.9−9.22)210≈1.12，
乙的平均值为：8.3+8.4+8.6+8.7+9.2+9.4+9.5+9.9+10.1+10.110=9.22，
乙的方差为：(8.3−9.22)2+(8.4−9.22)2+…+(10.1−9.22)210≈0.43．
故甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定．
故选：B．
分别计算甲乙的平均值和方差，对比得到答案．
本题考查平均数，方程的计算，考查运算能力，属于中档题．
3.【答案】A
【解析】解：事件A与B相互独立，P(A)=0.3，P(B)=0.4，
则P(AB)=P(A)P(B)=0.12，
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)
=P(A)+P(B)−P(A)P(B)
=0.3+0.4−0.3×0.4=0.58．
故选：A．
由随机事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式计算即得．
本题主要考查随机事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，
设事件M：该家庭中有男孩、又有女孩，事件N：该家庭中最多有一个女孩，
当该家庭中有两个小孩时，
样本空间为Ω={(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，
M={(男，女)，(女，男)}，N={(男，男)，(男，女)，(女，男)}，MN={(男，女)，(女，男)}，
则M与N不互斥，故命题①错误；
当该家庭中有三个小孩时，
样本空间为Ω={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，
M={(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}，
N={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，
MN={(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，
则P(M)=34,P(N)=12,P(MN)=38，
∴P(MN)=P(M)P(N)，
∴M与N相互独立，故命题②正确．
故选：C．
分别写出对应的样本空间，结合互斥事件与独立事件的概念即可判断命题的真假．
本题考查样本空间、互斥事件与独立事件的概念等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】7.5
【解析】解：因为数据从小到大排列，共10个数，
故中位数为3+42=3.5，众数为4，
所以该组数据的中位数和众数之和为7.5．
故答案为：7.5．
利用中位数、众数的定义求解．
本题主要考查中位数、众数的求解，属于基础题．
6.【答案】2或7
【解析】解：由C19m=C192m−2，结合组合数的性质可得m=2m−2或m+2m−2=19，
解得m=2或m=7，经检验，m=2或m=7都符合题意．
故答案为：2或7．
根据组合数的性质求解即可．
本题考查了组合数的性质，是基础题．
7.【答案】−20
【解析】解：(x−1x)6展开式的通项公式为Tr+1=C6rx6−r(−x−1)r=(−1)rC6rx6−2r，
令6−2r=0，解得r=3，
故(x−1x)6的展开式中的常数项是(−1)3C63=−20．
故答案为：−20．
先求出(x−1x)6展开式的通项公式，令6−2r=3，即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
8.【答案】80
【解析】解：12名同学的数学成绩分别是53，59，61，62，67，75，77，80，82，86，90，93.，
由12×60%=7.2，所以组数据的第60百分位数为80．
故答案为：80．
根据给定条件，利用第60百分位数的定义求解．
本题考查百分位数相关知识，属于中档题．
9.【答案】3
【解析】解：根据题意，红色出现的频率为58100=58%，所以红球出现的概率应接近58%，
设袋子中红球的个数为k，
则有k5≈58%，
分析可得，k=3时，最接近58%，
故袋中红球最有可能有3个．
故答案为：3．
利用频率估计概率进行分析即可求解．
本题考查模拟方法估算概率，涉及古典概型的计算，属于基础题．
10.【答案】1415
【解析】解：部件的总体良品率是：0.92×33+2+1+0.95×23+2+1+0.94×13+2+1=1415．
故答案为：1415．
部件的总体良品率是0.92×33+2+1+0.95×23+2+1+0.94×13+2+1，计算得到答案．
本题主要考查全概率公式，属于基础题．
11.【答案】507
【解析】解：由题意可知，依次读取的种子编号为785，916(舍去)，955(舍去)，567，199，810(舍去)，507，
故所抽取的第4粒种子的编号是507．
故答案为：507．
根据已知条件，依次取的种子编号，即可求解．
本题主要考查简单随机抽样，属于基础题．
12.【答案】25
【解析】解：在已经确定第一本抽取的是语文书的条件下，抽取第二本书有5个不同结果，第二本抽取的是数学书有2个结果，
所以所求概率为p=25．
故答案为：25．
根据给定条件，利用缩小空间的方法求出条件概率．
本题主要考查了条件概率的定义，属于基础题．
13.【答案】13
【解析】解：某班甲、乙同学都选了物理和地理科目，且甲同学的另一科目会从化学、生物、政治这3科中选1科，
乙同学的另一科目会从化学、生物这2科中选1科，
基本事件总数n=C31C21=6，
甲、乙所选科目相同包含的基本事件个数m=C21=2，
则甲、乙所选科目相同的概率是P=mn=26=13．
故答案为：13．
基本事件总数n=C31C21=6，甲、乙所选科目相同包含的基本事件个数m=C21=2，由此能求出甲、乙所选科目相同的概率．
本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】7.5
【解析】解：2月份的训练成绩平均值为72，3月份的训练成绩平均值为75，
这两个月的20次训练的平均数为72×8+75×128+12=73.8，
故这两个月的20次训练的方差为：
812+8×[4.2+(72−73.8)2]+1212+8×[6.1+(75−73.8)2]=7.5．
故答案为：7.5．
计算出两个月的20次训练的平均数，进而代入总体方差和样本方差的相关公式进行计算．
本题主要考查方差的求解，属于基础题．
15.【答案】390
【解析】解：根据题意可得先按222，123，114分组，再分配，分类讨论如下：
当三个场地分别承担2，2，2个项目，不同安排方法种数为C41C31A33=72；
当三个场地分别承担1，2，3个项目，不同安排方法种数为(A22C41+A22C42+A22C41C32)A33=264；
当三个场地分别承担1，1，4个项目，不同安排方法种数为A33+A21C43A33=54，
所以不同的安排方法共有72+264+54=390(种)．
故答案为：390．
根据给定条件，利用分类加法计数原理，结合分组分配问题列式求解．
本题考查排列组合的综合应用，属基础题．
16.【答案】0.474
【解析】解：设C1=“第n−1次出现红球”，C2=“第n−1次出现绿球”，D=“第n次出现红球”，
则P(C1)=Pn−1，P(C2)=1−Pn−1，P(D|C1)=13，P(D|C2)=35，
由全概率公式得Pn=P(D)=P(C1)P(D|C1)+P(C2)P(D|C2)
=−415Pn−1+35，n∈N，n≥2，
Pn−919=−415(Pn−1−919)，P1−919=12−919=138，
因此数列{Pn−919}是首项为138，公比为−415的等比数列，
Pn−919=138⋅(−415)n−1，所以P5=138⋅(−415)4+919=2398750625≈0.474．
故答案为：0.474．
根据条件概率分别求出第n−1次出现红球、绿球情况下第n次出现红球的概率，利用全概率公式计算求出Pn的递推公式，进而求出P5．
本题考查概率的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)从12颗巧克力的礼盒里取出3颗共有C123=220种，其中全是草莓味的有C43=4种，
故全是草莓味的概率P=C43C123=155；
(2)取出3颗全不是草莓味的有C83=56种，
所以至少有一颗是草莓味的概率P=1−C83C123=4155．
【解析】(1)根据古典型用组合数计算即可；
(2)用对立事件计算．
本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
18.【答案】解：(1)二项式(1+2x)n的展开式中的第r+1项为Tr+1=Cnr(2x)r，
由题得25Cn5=26Cn6，解得n=8，
所以展开式中共9项，第5项的二项式系数最大，
第5项为T5=C84(2x)4=1120x4．
(2)由(1)知，n=8，
所以(1+2x)8=[−3+2(x+2)]8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+⋯+a8(x+2)8，
令x=−1得a0+a1+⋯+a8=(−1)8=1，
令x=−2得a0=(−3)8=6561，
所以a1+a2+a3+⋯+a8=1−6561=−6560．
【解析】(1)根据展开式的通项公式求出n，确定二项式系数最大的项即可得解；
(2)变形二项式为(1+2x)8=[−3+2(x+2)]8，赋值即可得解．
本题考查二项式定理相关知识，属于中档题．
19.【答案】解：(1)根据题意可得(0.005+0.01+0.015+x+0.04)×10=1，解得x=0.03；
(2)根据题意可估计这100名游客对景区满意度评分的平均数为：
55×0.05+65×0.1+75×0.15+85×0.3+95×0.4=84.0(分)；
(3)∵评分在[50,60)、[60,70)内的频率之比为0.05：0.1=1：2，
∴评分在[50,60)抽取2人，评分在[60,70)内抽取4人，
∴从这6人中随机抽取2人共有C62=15个结果，
而选取的2人评分分别在[50,60)和[60,70)内各1人有C21⋅C41=8个结果，
∴所求概率为815．
【解析】(1)根据频率分布直方图的性质，建立方程，即可求解；
(2)根据平均数的概念，即可求解；
(3)根据分层抽样的概念，古典概型的概率公式，即可求解．
本题考查频率分布直方图的性质，平均数的求解，古典概型的概率公式的应用，属中档题．
20.【答案】91078；
甲车间1835，乙车间15，丙车间27．
【解析】(1)第3次才抽到合格品的概率P=10×9×90100×99×98=91078；
(2)设B=“从一批产品中检查出1个次品”，A1=“零件为甲车间加工”，A2=“零件为乙车间加工”，A3=“零件为丙车间加工”，
则Ω=A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，
由题意可知，P(A1)=0.45，P(A2)=0.35，P(A3)=0.2，P(B|A1)=0.04，P(B|A2)=0.02，P(B|A3)=0.05，
由全概率公式可得，P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.45×0.04+0.35×0.02+0.2×0.05=0.035，
则该次品来自甲车间的概率P(A1|B)=P(A1B)P(B)=P(B|A1)P(A1)P(B)=0.45×，
该次品来自乙车间的概率P(A2|B)=P(A2B)P(B)=P(B|A2)P(A2)P(B)=0.35×，
该次品来自丙车间的概率P(A3|B)=P(A3B)P(B)=P(B|A3)P(A3)P(B)=0.2×．
(1)根据分步乘法计数原理，可直接求解；
(2)求出各种产量的数量，然后根据全概率公式求出次品率，然后根据条件概率求解即可．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了条件概率的概率公式，属于基础题．
21.【答案】解：(1)记A，C拿到冠军分别为事件M，N，
淘汰赛赛制下，A只需要连赢两场即可拿到冠军，因此P(M)=34×34=916，
对于C想拿到冠军，首先得战胜D，然后战胜A，C中的胜者，
因此P(N)=12×34×14+12×14×12=532；
(2)记淘汰赛制和双败赛制下A获得冠军的概率分别为p1，p2，
则p1=p2，
而双败赛制下，A获得冠军有三种可能性：
①直接连赢三局；②从胜者组掉入败者组然后杀回总决赛；③直接掉入败者组拿到冠军，
因此p2=p3+p(1−p)p2+(1−p)p3=p3(3−2p)，
显然00，
则不论哪种赛制下，A获得冠军的概率均小于p，
∵p2−p1=p2(1−p)(2p−1)，
若12